Operaciones con matrices como sumar, restar y multiplicar por un escalar, junto con la igualdad de matrices, se presentan mediante ejemplos y preguntas con soluciones.
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Solo matrices del mismo orden pueden ser sumadas o restadas. Sumamos (o restamos) dos matrices sumando (o restando) sus entradas correspondientes.
a) Las matrices en la parte a) tienen el mismo orden, por lo tanto, podemos sumarlas sumando sus entradas correspondientes. Por lo tanto,
Para multiplicar una matriz por un escalar, multiplicas todas las entradas de esa matriz por el escalar. Ten en cuenta que la multiplicación por un escalar no cambia el orden de la matriz.
Expresa como una sola matriz.
a) \[ - 5 \begin{bmatrix}
5 & - 7 \\
4 & 6
\end{bmatrix} \]
b) \[ 2 \begin{bmatrix}
x & x + y & 6\\
-2 & - x & 1
\end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix}
- x & -2y & 0\\
3x & x & -1
\end{bmatrix} \]
a) \[ - 5 \begin{bmatrix} 5 & - 7 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5(5) & -5(- 7) \\ -5(4) & -5(6) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -25 & 35 \\ -20 & - 30 \end{bmatrix}\] b) \[ 2 \begin{bmatrix} x & x + y & 6\\ -2 & - x & 1 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} - x & -2y & 0\\ 3x & x & -1 \end{bmatrix} \] Multiplica la primera matriz por 2 y la segunda matriz por \( 3 \) \[ = \begin{bmatrix} 2(x) & 2(x + y) & 2(6)\\ 2(-2) & 2(- x) & 2(1) \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3(-x) & 3(-2y) & 3(0)\\ 3(3x) & 3(x) & 3(-1) \end{bmatrix} = \] Resta, agrupa y simplifica las expresiones algebraicas \[ = \begin{bmatrix} 5x & 2x+8y & 12\\ -4 - 9x & -5x & 5 \end{bmatrix}\]
Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden (igual número de filas e igual número de columnas) y sus entradas correspondientes son iguales.
¿Cuáles de las siguientes matrices son iguales? \[ \text{a)} \quad \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} , \quad \text{b)} \begin{bmatrix} x & 2x \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} , \quad \text{c)} \begin{bmatrix} 1 & -x \\ 3x & 5 \\ \end{bmatrix} , \quad \text{d)} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} , \quad \text{e)} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5\\ 3 & 4 & 8\\ \end{bmatrix} \],
Las matrices a), b), c) y d) tienen el mismo orden 2 por 2. Pero solo las matrices a) y d) son iguales ya que tienen entradas correspondientes iguales. La matriz e) tiene el orden 2 por 3, que es diferente al orden de todas las demás matrices, por lo tanto, no es igual a ninguna de las matrices.
Encuentra x e y de modo que \[ \begin{bmatrix} 2x + y & - 7 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & - 7 \\ 4 & 4x + y \end{bmatrix} \].
Las dos matrices tienen el mismo orden. Para que estas matrices sean iguales, todas sus entradas correspondientes deben ser iguales. Las entradas correspondientes -7 y 4 son iguales. Las entradas con las incógnitas x e y deben ser iguales. Por lo tanto,
\[ 2 x + y = 2 \; \text{y} \; 6 = 4 x + y \] Resuelve el sistema de ecuaciones anterior para encontrar \[ x = 2 , y = - 2 \] Como ejercicio, sustituye x por 2 e y por -2 en las matrices y verifica que son iguales.
Encuentra x e y, si es posible, tales que \[ \text{A)} \quad \begin{bmatrix} 2x + y & 3 & 10 \\ y + 1 & -2 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 10 \\ 3 & -2 & 0 \\ \end{bmatrix} \] \[ \text{B)} \quad \begin{bmatrix} 6 & -4 & -6 & x - y \end{bmatrix} = - 2 \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2x + 2y & 13 \end{bmatrix} \]
Escribe como una sola matriz \[ \text{A)} \quad \begin{bmatrix} -2 & 4 & 3 \\ -6 & 3 & -4 \\ -1 & 0 & 9 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 0 & 23 \\ -4 & -3 & 9 \\ 2 & -5 & 0 \\ \end{bmatrix} \] \[ \text{B)} \quad - 2 \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -5 \end{bmatrix} + 4 \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -2 & 9 \end{bmatrix} \] \[ \text{C)} \quad -3 \begin{bmatrix} -2x & y + 2 & 6\\ 4 & - x & -4 \\ \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} 3x & 5y & -5\\ 3y & x+y & -1 \end{bmatrix} \]