Estos son ejemplos de matrices triangulares superiores.
Las entradas de la diagonal principal están en rojo y todas las entradas por debajo de ellas, en azul, son iguales a cero.
Una matriz cuadrada es una matriz triangular superior si y solo si todas sus entradas por debajo de las entradas en la diagonal principal son iguales a cero.
Estos son ejemplos de matrices triangulares superiores.
Las entradas de la diagonal principal están en rojo y todas las entradas por debajo de ellas, en azul, son iguales a cero.
Una matriz cuadrada es una matriz triangular inferior si y solo si todas sus entradas por encima de las entradas en la diagonal principal son iguales a cero.
Estos son ejemplos de matrices triangulares inferiores.
Las entradas de la diagonal principal están en rojo y todas las entradas por encima de ellas, en azul, son iguales a cero.
Algunas de las propiedades más importantes de las matrices triangulares se dan a continuación.
Ejemplo 1
¿Cuál de las siguientes matrices es una matriz triangular superior, una matriz triangular inferior o ninguna?
Solución
a) Ninguna: La matriz \( A \) no es cuadrada y por lo tanto no es triangular.
b) Superior: La matriz \( B \) es una matriz cuadrada con las entradas de la diagonal principal \( \{ -2, 0, 1 \} \). Es una matriz triangular superior porque todas sus entradas por debajo de las entradas de la diagonal principal son iguales a cero.
c) Inferior: La matriz \( C \) es una matriz cuadrada con las entradas de la diagonal principal \( \{ -1, -7, 2, 3 \} \). Es una matriz triangular inferior porque todas sus entradas por encima de las entradas de la diagonal principal son iguales a cero.
d) Ninguna: La matriz \( D \) es una matriz cuadrada con las entradas de la diagonal principal \( \{ 1, 1, 1, 0 \} \). No es una matriz triangular porque las entradas no iguales a cero están por encima de \( 9 \) y por debajo de \( -4 \) de las entradas de la diagonal principal.
Ejemplo 2
Encuentre el determinante de cada una de las siguientes matrices
a) \( A =
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
-2 & 3 & 2
\end{bmatrix} \) b) \( B =
\begin{bmatrix}
x & 0 & 1 \\
0 & x+1 & 1 \\
0 & 0 & x
\end{bmatrix} \) c) \( C =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
5 & -9 & 0 & 0\\
5 & 4 & 7 & 0\\
5 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \)
Solución
a) La matriz \( A \) es una matriz triangular inferior y por lo tanto su determinante es igual al producto de sus entradas en la diagonal principal. Por lo tanto
\( Det(A) = (3)(-1)(2) = -6 \)
b) La matriz \( B \) es una matriz triangular superior y su determinante es igual al producto de sus entradas en la diagonal principal. Por lo tanto
\( Det(B) = x(x+1)x = x^3 + x^2\)
c) La matriz \( C \) es una matriz triangular inferior y su determinante es igual al producto de sus entradas en la diagonal principal. Por lo tanto
\( Det(C) = (-1)(-9)(7)(0) = 0\)
Ejemplo 3
Encuentre todos los valores reales de \( x \) para los cuales la matriz \( A = \begin{bmatrix}
x-1 & 0 & 0 & 0\\
5 & x+1 & 0 & 0\\
5 & 4 & x^2 + 5 & 0\\
5 & 0 & x+2 & 3
\end{bmatrix} \) no es invertible.
Solución
La matriz dada es una matriz triangular inferior y su determinante es igual al producto de sus entradas en la diagonal principal. Por lo tanto
\( Det(A) = (x-1)(x+1)(x^2+5)(3) \)
La matriz \( A \) no es invertible si su determinante es igual a cero. El determinante de la matriz \( A \) es igual a cero si uno de los factores de \( Det(A) \) es igual a cero.
\( x - 1 = 0 \) da la solución \( x = 1 \)
\( x + 1 = 0 \) da la solución \( x = - 1 \)
\( x^2 + 5 = 0 \) no tiene soluciones reales
Los valores de \( x \) para los cuales la matriz dada no es invertible son \( -1 \) y \( 1 \).
Ejemplo 4
Encuentre la inversa de la matriz \( A = \begin{bmatrix}
1 & 0\\
2 & -4
\end{bmatrix} \) y verifique la propiedad 6 dada anteriormente.
Solución
Use la fórmula de la inversa de una matriz \( 2 \times 2 \) \( \begin{bmatrix}
x & y \\
z & w \\
\end{bmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{xw - yz}
\begin{bmatrix}
w & - y \\
- z & x \\
\end{bmatrix} \) para encontrar \( A^{-1} \)
\( A^{-1} = \dfrac{1}{-4}
\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
-2 & 1 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\dfrac{1}{4} & 0 \\
\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{4} \\
\end{bmatrix}
\)
Conclusión: Tanto \( A \) como su inversa son matrices triangulares inferiores que verifican la propiedad 6 anterior.
Ejemplo 5
Sea \( A = \begin{bmatrix}
3 & 0 & 0\\
5 & -2 & 0 \\
9 & -2 & 4
\end{bmatrix} \), \( B = \begin{bmatrix}
-2 & 0 & 0\\
0 & -2 & 0 \\
-3 & 4 & -1
\end{bmatrix} \) y \( C = \begin{bmatrix}
7 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0 \\
12 & -2 & 3
\end{bmatrix} \).
¿Cuál de las siguientes matrices \( A , \; B ,\; C ,\; A B ,\; A C,\; A + C \) es invertible?
Solución
Una matriz con un determinante no igual a cero es invertible.
\( Det(A) = (3)(-2)(4) = -24 \) , por lo tanto la matriz \( A \) es invertible.
\( Det(B) = (-2)(-2)(-1) = -4 \) , por lo tanto la matriz \( B \) es invertible.
\( Det(C) = (7)(0)(3) = 0 \) , por lo tanto la matriz \( C \) NO es invertible.
El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes
\( Det(A B) = Det(A) Det(B) = (-24)(-4) = 96 \) , por lo tanto la matriz \( A B \) es invertible.
\( Det(A C) = Det(A) Det(C) = (-24)(0) = 0 \) , por lo tanto la matriz \( A C \) NO es invertible.
\( Det(A+C) =
Det \left(\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0\\
5 & -2 & 0 \\
9 & -2 & 4
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
7 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0 \\
12 & -2 & 3
\end{bmatrix} \right)
\)
\(
\quad \quad =
Det \begin{bmatrix}
10 & 0 & 0\\
4 & -2 & 0 \\
21 & -4 & 7
\end{bmatrix} = (7) (-2) (7) = -98
\) , por lo tanto la matriz \( A + C \) es invertible.