Espacios Vectoriales - Ejemplos con Soluciones
Introducción a los Espacios Vectoriales
Consideremos las siguientes ecuaciones:
esta ecuación involucra sumas de expresiones reales y multiplicaciones por números reales
esta ecuación involucra sumas de vectores 2-d y multiplicaciones por números reales
esta ecuación involucra sumas de matrices de 2 por 2 y multiplicaciones por números reales
esta ecuación involucra sumas de polinomios y multiplicaciones por números reales.
Es obvio que si el conjunto de números reales en la ecuación (1), el conjunto de vectores 2-d usados en la ecuación (2), el conjunto de matrices de 2 por 2 usadas en la ecuación (3) y el conjunto de polinomios usados en la ecuación (4) obedecen algunas leyes comunes de suma y multiplicación por números reales, podemos resolver todas estas 4 ecuaciones, y muchas otras preguntas más complicadas, usando el mismo algoritmo basado en las propiedades (o leyes) de suma y multiplicación por números reales.
Clasificar conjuntos por sus propiedades ayuda a resolver problemas que involucran diferentes tipos de objetos matemáticos como matrices, polinomios, vectores 2-d, vectores 3-d, vectores n-d, planos en geometría, funciones,... y desarrollar formas y métodos para resolver diferentes problemas usando los mismos algoritmos.
Definición de un Espacio Vectorial
En lo que sigue, los espacios vectoriales (1 , 2) están en mayúsculas y sus elementos (llamados vectores) están en negritas minúsculas.
Un conjunto no vacío V cuyos vectores (o elementos) pueden combinarse usando las operaciones de suma (+) y multiplicación · por un escalar se llama espacio vectorial si se satisfacen las condiciones en A y B a continuación:
Nota Un elemento u objeto de un espacio vectorial se llama vector.
A) la suma de dos vectores cualesquiera de V y la multiplicación de cualquier vector de V por un escalar producen un elemento que pertenece a V .
Sean u y v dos elementos cualesquiera del conjunto V y r cualquier número real.
\( \) \( \) \( \) \( \)
1) \( \textbf{u} + \textbf{v} = \textbf{w}\) , \( \textbf{w} \) es un elemento del conjunto \( V\) ; decimos que el conjunto \( V\) es cerrado bajo la suma de vectores
2)
\( r \cdot \textbf{u} = \textbf{z} \) , \( \textbf{z} \) es un elemento del conjunto \( V\) decimos que el conjunto \( V\) es cerrado bajo la multiplicación por escalar
B) Para cualquier vector \( \textbf{u}, \textbf{v}, \textbf{w} \) en \( V\) y cualquier número real \( r \) y \( s \), las dos operaciones descritas anteriormente deben obedecer las siguientes reglas:
3) Conmutatividad de la suma vectorial: \( \textbf{u} + \textbf{v} = \textbf{v} + \textbf{u} \)
4) Asociatividad de la suma vectorial: \( (\textbf{u} + \textbf{v}) +\textbf{w} = \textbf{v} + ( \textbf{u} + \textbf{w}) \)
5) Asociatividad de la multiplicación: \( r \cdot (s \cdot \textbf{u}) = (r \cdot s) \cdot \textbf{u} \)
6) Existe un vector cero \( \textbf{0} \) en \( V\) tal que para cualquier elemento \( \textbf{u}\) en el conjunto \( V\), tenemos: \( \textbf{u} + \textbf{0} = \textbf{u} \)
7) Para cada vector \( \textbf{u}\) en \( V\) existe un vector \( - \textbf{u} \) en \( V\), llamado el negativo de \( \textbf{u}\), tal que: \( \textbf{u} + (- \textbf{u}) = \textbf{0} \)
8) Distributividad de la suma de vectores: \( r \cdot (\textbf{u} + \textbf{v} ) = r \cdot \textbf{u} + r \cdot \textbf{v} \)
9) Distributividad de la suma de números reales: \( (r + s) \cdot \textbf{u} = r \cdot \textbf{u} + s \cdot \textbf{u} \)
10) Para cualquier elemento \( \textbf{u}\) en \( V\) tenemos: \( 1 \cdot \textbf{u} = \textbf{u} \)
NOTAS
1) Aunque el elemento de un espacio vectorial se llama vector, un espacio vectorial puede ser un conjunto de matrices, funciones, soluciones a ecuaciones diferenciales, vectores 3-d, ..., No tienen que ser VECTORES de n dimensiones como vectores de 2 o 3 dimensiones usados en física.
Ejemplos de Espacios Vectoriales
Ejemplo 1
Los siguientes son ejemplos de espacios vectoriales:
- El conjunto de todos los números reales \( \mathbb{R} \) asociado con la suma y multiplicación por escalar de números reales.
- El conjunto de todos los números complejos \( \mathbb{C} \) asociado con la suma y multiplicación por escalar de números complejos.
- El conjunto de todos los polinomios \( R_n(x) \) con coeficientes reales asociado con la suma y multiplicación por escalar de polinomios.
- El conjunto de todos los vectores de dimensión \( n \) escritos como \( \mathbb{R}^n \) asociado con la suma y multiplicación por escalar como se define para vectores 3-d y 2-d, por ejemplo.
- El conjunto de todas las matrices de dimensión \( m \times n \) asociado con la suma y multiplicación por escalar como se define para matrices.
- El conjunto de todas las funciones \( \textbf{f} \) que satisfacen la ecuación diferencial \( \textbf{f} = \textbf{f '} \)
Ejemplo 2
Demuestre que el conjunto de todas las matrices de 2 por 2 asociado con la suma de matrices y la multiplicación por escalar de matrices es un espacio vectorial.
Solución al Ejemplo 2
Sea \( V\) el conjunto de todas las matrices de 2 por 2.
1) Suma de matrices da
\( \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
a' & b' \\
c' & d'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a+a' & b+b' \\
c+c' & d+d'
\end{bmatrix}
\)
Sumar dos matrices de 2 por 2 da una matriz de 2 por 2 y por lo tanto el resultado de la suma pertenece a \( V\).
2) Multiplicación por escalar de matrices da
\( r \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
r a & r b \\
r c & r d
\end{bmatrix} \)
Multiplicar cualquier matriz de 2 por 2 por un escalar y el resultado es una matriz de 2 por 2, que es un elemento de \( V\).
3) Conmutatividad
\( \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
a' & b' \\
c' & d'
\end{bmatrix}
\\\\
=
\begin{bmatrix}
a+a' & b+b' \\
c+c' & d+d'
\end{bmatrix}
\\\\ =
\begin{bmatrix}
a'+a & b'+b \\
c'+c & d'+d
\end{bmatrix}
\\\\ =
\begin{bmatrix}
a' & b' \\
c' & d'
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\)
4) Asociatividad de la suma vectorial
\(
\left (
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
a' & b' \\
c' & d'
\end{bmatrix}
\right)
+
\begin{bmatrix}
a'' & b'' \\
c'' & d''
\end{bmatrix}
\\ =
\begin{bmatrix}
a+a' & b+b' \\
c+c' & d+d'
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
a'' & b'' \\
c'' & d''
\end{bmatrix}
\\\\ =
\begin{bmatrix}
(a+a')+a'' & (b+b')+b'' \\
(c+c') + c''& (d+d')+d''
\end{bmatrix}
\\\\ =
\begin{bmatrix}
a+(a'+a'') & b+(b'+b'') \\
c+(c' + c'')& d+(d'+d'')
\end{bmatrix}
\\\\ =
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} +
\left(
\begin{bmatrix}
a' & b' \\
c' & d'
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
a'' & b'' \\
c'' & d''
\end{bmatrix}
\right)
\)
5) Asociatividad de la multiplicación
\(
r \left( s \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} \right)
=
r \left( \begin{bmatrix}
s a & s b \\
s c & s d
\end{bmatrix} \right)
\\\\ =
\begin{bmatrix}
r s a & r s b \\
r s c & r s d
\end{bmatrix}
\\\\ =
\begin{bmatrix}
(r s) a & (r s) b \\
(r s) c & (r s) d
\end{bmatrix}
\\\\ =
(r s)
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\)
6) Vector cero
\( \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\\\\ =
\begin{bmatrix}
a+0 & b+0 \\
c+0 & d+0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\)
7) Vector negativo
\( \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
- a & - b \\
- c & - d
\end{bmatrix}
\\\\ =
\begin{bmatrix}
a+(-a) & b+(-b) \\
c+(-c) & d+(-d)
\end{bmatrix}
\\\\ =
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\)
8) Distributividad de sumas de matrices:
\(
r
\left (
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
a' & b' \\
c' & d'
\end{bmatrix}
\right)
\\\\ =
\begin{bmatrix}
r(a+a') & r(b+b') \\
r(c+c') & r(d+d')
\end{bmatrix}
\\\\ =
\begin{bmatrix}
r a+ r a' & r b+ r b \\
r c+r c' & r d+ r d
\end{bmatrix}
\\\\ =
r \left (
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} \right) + r \left(\begin{bmatrix}
a' & b' \\
c' & d'
\end{bmatrix} \right)
\)
9) Distributividad de sumas de números reales:
\(
(r + s ) \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(r + s ) a & (r + s ) b \\
(r + s ) c & (r + s ) d
\end{bmatrix}
\\\\=
\begin{bmatrix}
r a + s a & r b + s b \\
r c + s c & r d + s d
\end{bmatrix}
\\\\=
\begin{bmatrix}
r a & r b \\
r c & r d
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
s a & s b \\
s c & s d
\end{bmatrix}
\\\\=
r \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} + s \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\)
10) Multiplicación por 1.
\( 1 \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 a & 1 b \\
1 c & 1 d
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\)
Ejemplo 3
Demuestre que el conjunto de todas las funciones reales continuas en \( (-\infty,\infty) \) asociado con la suma de funciones y la multiplicación de matrices por un escalar forma un espacio vectorial.
Solución al Ejemplo 3
Del cálculo, sabemos si \( \textbf{f} \) y \( \textbf{g} \) son funciones reales continuas en \( (-\infty,\infty) \) y \( r \) es un número real, entonces
\( (\textbf{f} + \textbf{g})(x) = \textbf{f}(x) + \textbf{g}(x) \) también es continua en \( (-\infty,\infty) \)
y
\( r \textbf{f}(x) \) también es continua en \( ( -\infty,\infty ) \)
Por lo tanto, el conjunto de funciones continuas en \( (-\infty,\infty) \) es cerrado bajo la suma y la multiplicación por escalar (las dos primeras condiciones anteriores).
Las 8 reglas restantes se satisfacen automáticamente ya que las funciones son funciones reales.
Ejemplo 4
Demuestre que el conjunto de todos los polinomios reales con grado \( n \le 3 \) asociado con la suma de polinomios y la multiplicación de polinomios por un escalar forma un espacio vectorial.
Solución al Ejemplo 4
La suma de dos polinomios de grado menor o igual a 3 es un polinomio de grado menor o igual a 3.
La multiplicación de un polinomio de grado menor o igual a 3 por un número real da como resultado un polinomio de grado menor o igual a 3.
Por lo tanto, el conjunto de polinomios de grado menor o igual a 3 es cerrado bajo la suma y la multiplicación por escalar (las dos primeras condiciones anteriores).
Las 8 reglas restantes se satisfacen automáticamente ya que los polinomios son reales.
Ejemplo 5
Demuestre que el conjunto de polinomios con grado \( n = 4 \) asociado con la suma de polinomios y la multiplicación de polinomios por un número real NO ES un espacio vectorial.
Solución al Ejemplo 5
La suma de dos polinomios de grado 4 puede no resultar en un polinomio de grado 4.
Ejemplo: Sea \( \textbf{P}(x) = -2 x^4+3x^2- 2x + 6 \) y \( \textbf{Q}(x) = 2 x^4 - 5x^2 + 10 \)
\( \textbf{P}(x) + \textbf{Q}(x) = (-2 x^4+3x^2- 2x + 6 ) + ( 2 x^4 - 5x^2 + 10) = - 5x^2 - 2 x + 16 \)
El resultado no es un polinomio de grado 4. Por lo tanto, el conjunto no es cerrado bajo la suma y, en consecuencia, NO ES un espacio vectorial.
Ejemplo 6
Demuestre que el conjunto de enteros asociado con la suma y la multiplicación por un número real NO ES un espacio vectorial
Solución al Ejemplo 6
La multiplicación de un entero por un número real puede no ser un entero.
Ejemplo: Sea \( x = - 2 \)
Si multiplicas \( x \) por el número real \( \sqrt 3 \) el resultado NO es un entero.
Más Referencias y Enlaces
- Álgebra Lineal y sus Aplicaciones - 5ª Edición - David C. Lay , Steven R. Lay , Judi J. McDonald
- Álgebra Lineal Elemental - 7ª Edición - Howard Anton y Chris Rorres
- Matrices con Ejemplos y Preguntas con Soluciones
- Polinomios
- Números Complejos
- Sumar, Restar y Multiplicar Matrices por Escalar