Se presentan ejemplos y preguntas con sus soluciones sobre cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando los métodos Gaussiano ( forma escalonada por filas ) y Gauss-Jordan ( forma escalonada reducida por filas ).
Los métodos aquí presentados encuentran su explicación en el método más general de resolver un sistema de ecuaciones lineales por eliminación. El método de eliminación Gauss-Jordan es el corazón del álgebra lineal. Es un método computacionalmente eficiente y potente que también puede usarse para encontrar la inversa de una matriz, el determinante de una matriz, el rango de una matriz y también puede usarse para expresar una matriz en términos de matrices elementales.
Se incluye una calculadora en línea para reducir por filas matrices aumentadas .
Se necesita una buena revisión de las matrices aumentadas y las matrices en forma escalonada reducida por filas para comprender los métodos de Gauss y Gauss-Jordan descritos aquí.
Ejemplo 1
Resuelva el sistema de ecuaciones lineales dado reescribiendo la matriz aumentada del sistema en forma escalonada por filas .
\( \left\{
\begin{array}{lcl}
x + y - z & = & - 3 \\
2 x + 3 y - 8 z & = & - 18 \\
5x + 6y - 10 z & = & - 25
\end{array}
\right.
\)
Solución del Ejemplo 1
La matriz aumentada del sistema está dada por.
\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & - 1 &|& -3\\
2 & 3 & - 8 &|& - 18\\
5 & 6 & - 10 &|& - 25
\end{bmatrix}
\)
Paso 1: Produce un pivote, si lo hay, en la columna 1 usando cualquiera de las tres operaciones de fila o sus combinaciones.
Suma -2 veces la fila (1) a la fila (2) y suma -5 veces la fila (1) a la fila (3)
\(
\color{red}{\begin{matrix}
\\
R_2 - 2R_1\\
R_3 - 5R_1\\
\end{matrix}}
\begin{bmatrix}
\color{blue}1 & 1 & - 1 &|& -3\\
\color{red}0 & 1 & - 6 &|& - 12\\
\color{red}0 & 1 & - 5 &|& - 10
\end{bmatrix}
\)
Paso 2: Produce un pivote, si lo hay, en la columna 2 usando cualquiera de las tres operaciones de fila o sus combinaciones.
Suma -1 vez la fila (2) a la fila (3)
\(
\color{red}{\begin{matrix}
\\
\\
R_3 - R_2\\
\end{matrix}}
\begin{bmatrix}
\color{blue}1 & 1 & - 1 &|& -3\\
\color{red}0 & \color{blue}1 & - 6 &|& - 12\\
\color{red}0 & \color{red}0 & \color{blue}1 &|& 2
\end{bmatrix}
\) (I)
Nota que la operación en el paso 2 también ha producido un pivote en la columna (3)
La matriz anterior está en forma escalonada por filas . El sistema correspondiente está dado por
\( \left\{
\begin{array}{lcl}
x + y - z & = & - 3 \\
y - 6 z & = & - 12 \\
z & = & 2
\end{array}
\right.
\)
que puede resolverse por sustitución hacia atrás comenzando desde la última ecuación.
\( z = 2 \) , \( y = 6 z - 12 = 6(2) - 12 = 0 \) , \( x = - y + z - 3 = 0 + 2 - 3 = - 1\)
lo que da la solución al sistema dado como
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
x & = & -1 \\
y & = & 0 \\
z & = & 2
\end{array}
\end{equation}
\)
Ahora continuamos con más pasos basados en las tres operaciones de fila para obtener una matriz aumentada en forma escalonada reducida por filas , un método llamado método de eliminación de Gauss-Jordan descrito a continuación.
Eliminación Gaussiana para Resolver un Sistema de 3 por 3 Ecuaciones .
Una matriz está en forma escalonada reducida por filas si está en forma escalonada por filas y con ceros arriba y abajo de los 1 principales. El método para obtener la forma escalonada reducida por filas de una matriz se llama método de Gauss-Jordan.
Continuamos con las operaciones de fila en la última matriz aumentada (I) \( \begin{bmatrix}
\color{blue}1 & 1 & - 1 &|& -3\\
\color{red}0 & \color{blue}1 & - 6 &|& - 12\\
\color{red}0 & \color{red}0 & \color{blue}1 &|& 2
\end{bmatrix}
\) en el ejemplo anterior para producir ceros arriba de los 1 principales (pivotes) como sigue.
Ahora comenzamos desde la columna más a la derecha con un pivote, que aquí es la columna (3).
Paso 3: Use cualquiera de las tres operaciones de fila o sus combinaciones para producir ceros arriba del 1 en la columna (3) fila (3).
Suma 6 veces la fila (3) a la fila (2)
\( \color{red}{\begin{matrix}
\\
R_2 + 6R_3\\
\\
\end{matrix}} \)
\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & - 1 &|& -3\\
0 & 1 & 0 &|& 0\\
0 & 0 & 1 &|& 2
\end{bmatrix}
\)
Suma la fila (3) a la fila (1)
\( \color{red}{\begin{matrix}
R_1+R_3\\
\\
\\
\end{matrix}} \)
\(\begin{bmatrix}
\color{blue}1 & 1 & \color{red}0 &|& - 1\\
\color{red}0 & \color{blue}1 & \color{red}0 &|& 0\\
\color{red}0 & \color{red}0 & \color{blue}1 &|& 2
\end{bmatrix}
\)
Paso 4: Use cualquiera de las tres operaciones de fila o sus combinaciones para producir ceros arriba del 1 en la columna (2) fila (2).
Suma -1 vez la fila (2) a la fila (1)
\( \color{red}{\begin{matrix}
R_1-R_2\\
\\
\\
\end{matrix}} \)
\(\begin{bmatrix}
\color{blue}1 & \color{red}0 & \color{red}0 &|& - 1\\
\color{red}0 & \color{blue}1 & \color{red}0 &|& 0\\
\color{red}0 & \color{red}0 & \color{blue}1 &|& 2
\end{bmatrix}
\)
La ventaja de reescribir la matriz aumentada en forma escalonada reducida por filas es que da la solución al sistema de ecuaciones dado sin cálculos adicionales de la siguiente manera:
\( \begin{equation}
\begin{array}{ccl}
x & = & -1 \\
y & = & 0 \\
z & = & 2
\end{array}
\end{equation}
\)
Ejemplo 2
Escriba la matriz aumentada del sistema a continuación en forma escalonada reducida por filas y encuentre la solución al sistema dado.
\( \left\{
\begin{array}{lcl}
2x - y - z + w & = & -2 \\
- x + y + 2z + 2 w & = & - 5 \\
3x + y - z - 3w & = & 8 \\
2x + 2y - 2 z - w & = & 6
\end{array}
\right.
\)
Solución del Ejemplo 2
La matriz aumentada del sistema dado es la siguiente
\(\begin{bmatrix}
2 & -1 & -1 & 1 &|& - 2\\
-1 & 1 & 2 & 2 &|& -5\\
3 & 1 & -1 & -3 &|& 8 \\
2 & 2 & -2 & - 1 &|& 6
\end{bmatrix}
\)
Paso 1: Produce un pivote, si lo hay, en la columna 1
Comenzamos reduciendo las entradas en la columna (1) a cero excepto la fila (1).
La fila (2) tiene -1 en la primera columna y, por lo tanto, podría usarse en la fila (1). Intercambia las filas (1) y (2)
\( \color{red}{\begin{matrix}
R_2 \\
R_1\\
\\
\\
\end{matrix}} \)
\(\begin{bmatrix}
-1 & 1 & 2 & 2 &|& -5\\
2 & -1 & -1 & 1 &|& - 2\\
3 & 1 & -1 & -3 &|& 8 \\
2 & 2 & -2 & - 1 &|& 6
\end{bmatrix}
\)
Multiplica la fila (1) por -1.
\( \color{red}{\begin{matrix}
-R_1 \\
\\
\\
\\
\end{matrix}} \)
\(\begin{bmatrix}
1 & -1 & -2 & -2 &|& 5\\
2 & -1 & -1 & 1 &|& - 2\\
3 & 1 & -1 & -3 &|& 8 \\
2 & 2 & -2 & - 1 &|& 6
\end{bmatrix}
\)
Las entradas en la columna (1) de las Filas (2), (3) y (4) deben reducirse a cero de la siguiente manera: suma -2 × fila (1) a la fila (2), suma -3 × fila (1) a la fila (3) y suma -2 × fila (1) a la fila (4) para obtener
\( \color{red}{\begin{matrix}
\\
R_2 - 2R_1\\
R_3 - 3R_1\\
R_4 - 2R_1
\end{matrix}} \)
\(\begin{bmatrix}
\color{blue}1 & -1 & -2 & -2 &|& 5\\
\color{red}{0} & 1 & 3 & 5 &|& - 12\\
\color{red}{0} & 4 & 5 & 3 &|& -7 \\
\color{red}{0} & 4 & 2 & 3 &|& -4
\end{bmatrix}
\)
Paso 2: Produce un pivote, si lo hay, en la columna 2
La fila (2) comienza con un 1, por lo tanto, necesitamos reducir las entradas en la columna (2) de las filas (3) y (4) de la siguiente manera: suma -4 × fila (2) a la fila (3) y suma -4 × fila (2) a la fila (4).
\( \color{red}{\begin{matrix}
\\
\\
R_3 - 4R_2\\
R_4 - 4R_2
\end{matrix}} \)
\(\begin{bmatrix}
\color{blue}1 & -1 & -2 & -2 &|& 5\\
\color{red}{0} & \color{blue}1 & 3 & 5 &|& - 12\\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & -7 & -17 &|& 41 \\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & -10 & -17 &|& 44
\end{bmatrix}
\)
La fila (3) comienza con -7, por lo tanto, necesitamos reducir la entrada en la columna (3) de la fila (4), lo que se logra en dos pasos de la siguiente manera: multiplica la fila (4) por -7
\( \color{red}{\begin{matrix}
\\
\\
\\
- 7 R_4
\end{matrix}} \)
\(\begin{bmatrix}
1 & -1 & -2 & -2 &|& 5\\
\color{red}{0} & 1 & 3 & 5 &|& - 12\\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & -7 & -17 &|& 41 \\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & 70 & 119 &|& -308
\end{bmatrix}
\)
Paso 3: Produce un pivote, si lo hay, en la columna 3
Suma 10 × fila (3) a la fila (4)
\( \color{red}{\begin{matrix}
\\
\\
\\
R_4 + 10 R_3
\end{matrix}} \)
\(\begin{bmatrix}
1 & -1 & -2 & -2 &|& 5\\
\color{red}{0} & 1 & 3 & 5 &|& - 12\\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & -7 & -17 &|& 41 \\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{0} & - 51 &|& 102
\end{bmatrix}
\)
Multiplica la fila (3) por \( -\frac{1}{7} \)
\( \color{red}{\begin{matrix}
\\
\\
-\frac{1}{7} R_3\\
\\
\end{matrix}} \)
\(\begin{bmatrix}
\color{blue}1 & -1 & -2 & -2 &|& 5\\
\color{red}{0} & \color{blue}1 & 3 & 5 &|& - 12\\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{blue}1 & 17/7 &|& -41/7 \\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{0} & - 51 &|& 102
\end{bmatrix}
\)
Paso 4: Produce un pivote en la columna 4 si lo hay
Multiplica la fila (4) por -1/51
\( \color{red}{\begin{matrix}
\\
\\
\\
-R_4/51
\end{matrix}} \)
\(\begin{bmatrix}
\color{blue}1 & -1 & -2 & -2 &|& 5\\
\color{red}{0} & \color{blue}1 & 3 & 5 &|& - 12\\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{blue}1 & 17/7 &|& -41/7 \\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{blue}1 &|& -2
\end{bmatrix}
\)
Hemos reescrito la matriz aumentada en forma escalonada por filas. Ahora continuamos el proceso para producir una matriz aumentada en forma escalonada reducida por filas.
Paso 5: Ahora necesitamos producir ceros arriba del 1 principal en la fila (4)
Suma 2 × fila (4) a la fila (1), suma -5 × fila (4) a la fila (2) y suma -17 × fila (4) a la fila (3).
\( \color{red}{\begin{matrix}
R_1+2R_4\\
R_2- 5R_4\\
R_3 - (17/7) R_4\\
\\
\end{matrix}} \)
\(\begin{bmatrix}
\color{blue}1 & -1 & -2 & \color{red}{0} &|& 1\\
\color{red}{0} & \color{blue}1 & 3 & \color{red}{0} &|& - 2\\
\color{red}{0} & \color{red}{0} &\color{blue}1 & \color{red}{0} &|& -1 \\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{blue}1 &|& -2
\end{bmatrix}
\)
Paso 6: Ahora necesitamos producir ceros arriba del 1 principal en la fila (3)
Suma 2 × fila (3) a la fila (1) y suma -3 × fila (3) a la fila (2).
\( \color{red}{\begin{matrix}
R_1+2R_3\\
R_2 - 3R_3\\
\\
\\
\end{matrix}} \)
\(\begin{bmatrix}
\color{blue}1 & -1 & \color{red}{0} & \color{red}{0} &|& -1\\
\color{red}{\color{red}{0}} & \color{blue}1 & \color{red}{0} & \color{red}{0}&|& 1\\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{blue}1 & \color{red}{0} &|& -1 \\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{blue}1 &|& -2
\end{bmatrix}
\)
Paso 7: Ahora necesitamos producir ceros arriba del 1 principal en la fila (2)
Suma la fila (2) a la fila (1).
\( \color{red}{\begin{matrix}
R_1+R_2\\
\\
\\
\\
\end{matrix}} \)
\(\begin{bmatrix}
\color{blue}1 & \color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{0} &|& 0\\
\color{red}{0} & \color{blue}1 & \color{red}{0} & \color{red}{0}&|& 1\\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{blue}1 & \color{red}{0} &|& -1 \\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{blue}1 &|& -2
\end{bmatrix}
\)
Ahora leemos las soluciones:
\( x = 0 , \; y = 1, \;z = -1 ,\;w = -2 \)
Soluciones a las Preguntas Anteriores