Regla de Cramer con Preguntas y Soluciones
La regla de Cramer se utiliza para resolver sistemas de n ecuaciones lineales con n variables usando fórmulas explícitas.
Comenzamos con una demostración de la regla de Cramer para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2. También se presentan las reglas para sistemas de ecuaciones de 3 por 3. Luego se presentan ejemplos y preguntas con soluciones detalladas.
Para verificar las respuestas al resolver sistemas de ecuaciones de 2 por 2 y 3 por 3, puede utilizar estos Calculadora y Solucionador de Sistemas de Ecuaciones en línea.
Regla de Cramer para un Sistema de Ecuaciones de 2 por 2
Para encontrar reglas (o fórmulas) que puedan usarse para resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2, necesitamos resolver el sistema general de la forma
Multiplicamos la ecuación (1) por b 2 y la ecuación (2) por - b 1.
\(
\left\{
\begin{array}{lcl}
a_1 b_ 2 x + b_1 b_2 y & = & c_1 b_2\\
-a_2 b_1 x - b_2 b_1 y & = & - c_2 b_1
\end{array}
\right.
\)
Sumamos los lados izquierdos y los lados derechos de las ecuaciones anteriores y simplificamos para obtener una ecuación en una variable.
\(
a_1 b_2 x - a_2 b_1 x = c_1 b_2 - c_2 b_1
\)
Factorizamos x en el lado izquierdo
\(
x(a_1 b_2 - a_2 b_1) = b_2 c_1 - b_1 c_2
\)
Resolvemos la ecuación anterior para x
\(
x = \dfrac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}
\)
Podemos usar pasos similares para eliminar x y resolver para y para obtener.
\(
y = \dfrac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}
\)
La solución al sistema dado de ecuaciones lineales de 2 por 2 viene dada por la regla de Cramer de la siguiente manera
\[ x = \dfrac{D_x}{D} , y = \dfrac{D_y}{D} \]
Usando la notación del determinante de una matriz de 2 por 2, \( D \), \( D_x \) y \( D_y \) se definen como
\( D = \begin{vmatrix}a_1&b_1\\ a_2&b_2\end{vmatrix} = a_1 b_2 - b_1 a_2\)
\( D_x = \begin{vmatrix}\color{red}{c_1} & b_1\\ \color{red}{c_2} & b_2\end{vmatrix} = c_1 b_2 - b_1 c_2\)
\( D_y = \begin{vmatrix}a_1 & \color{red}{c_1}\\ a_2 & \color{red}{c_2}\end{vmatrix} = a_1 c_2 - c_1 a_2\)
- Ejemplo 1
Usa la regla de Cramer para resolver el sistema
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
2 x - 3 y & = & 5 \\
-4 x + 7 y & = & -11
\end{array}
\right.
\]
Solución del Ejemplo 1
Calcula los determinantes \( D, D_x \text{ y } D_y \)
\( D = \begin{vmatrix}2 & -3\\ -4 & 7\end{vmatrix} = (2)(7) - (-3)(-4) = 2 \)
\( D_x = \begin{vmatrix} 5 & -3\\ -11 & 7\end{vmatrix} = (5)(7) - (-3)(-11) = 2 \)
\( D_y = \begin{vmatrix} 2 & 5\\ -4 & -11\end{vmatrix} = (2)(-11) - (5)(-4) = -2 \)
Ahora usamos la regla de Cramer para calcular las incógnitas \(x\) y \(y\).
\( x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{2}{2} = 1 \)
\( y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{-2}{2} = -1 \)
Como ejercicio, sustituye \(x\) e \(y\) por 1 y -1 respectivamente en el sistema dado y verifica que la solución encontrada satisface el sistema de ecuaciones.
Nota: Si el determinante D es igual a cero, la regla de Cramer no se puede usar para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Regla de Cramer para un Sistema de Ecuaciones de 3 por 3
Un sistema general de ecuaciones lineales de 3 por 3 puede escribirse de la siguiente manera:
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
a_1 x + b_1 y + c_1 z = & \color{red}{d_1} & (1)\\
a_2 x + b_2 y + c_2 = & \color{red}{d_2} & (2) \\
a_3 x + b_3 y + c_3 = & \color{red}{d_3} & (3) \\
\end{array}
\right.
\]
Para un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3, la regla de Cramer da la solución de la siguiente manera
\[ x = \dfrac{D_x}{D} , y = \dfrac{D_y}{D} , z = \dfrac{D_z}{D} \]
donde \( D, D_x, D_y \text{ y } D_z \) son determinantes de matrices de 3 por 3 definidas por
\( D = \begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\)
\( D_x = \begin{vmatrix}\color{red}{d_1} & b_1 & c_1\\ \color{red}{d_2} & b_2 & c_2 \\ \color{red}{d_3} &b_3&c_3 \end{vmatrix} \),
\( D_y = \begin{vmatrix}a_1&\color{red}{d_1}&c_1\\ a_2&\color{red}{d_2}&c_2\\a_3 & \color{red}{d_3} & c_3 \end{vmatrix}\)
,
\( D_z = \begin{vmatrix}a_1&b_1&\color{red}{d_1}\\ a_2&b_2&\color{red}{d_2}\\a_3 & b_3 & \color{red}{d_3} \end{vmatrix}\)
- Ejemplo 2
Usa la regla de Cramer para resolver el sistema
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
- x - 3 y - z & = & 6 \\
2 x - 5 y - 2 z & = & 14 \\
x + y & = & -1
\end{array}
\right.
\]
Solución del Ejemplo 2
Calcula los determinantes \( D, D_x ,D_y \text{ y } D_z \)
\( D = \begin{vmatrix} -1 & - 3 & -1 \\ 2 & -5 & -2\\ 1&1&0\end{vmatrix} = -1\cdot \begin{vmatrix}-5&-2\\ 1&0\end{vmatrix}-\left(-3\right) \begin{vmatrix}2&-2\\ 1&0\end{vmatrix}-1\cdot \begin{vmatrix}2&-5\\ 1&1\end{vmatrix} = -3\)
\( D_x = \begin{vmatrix} 6 & - 3 & -1 \\ 14 & -5 & -2\\ -1&1&0\end{vmatrix} = 6\cdot \begin{vmatrix}-5&-2\\ 1&0\end{vmatrix}-\left(-3\right)\begin{vmatrix}14&-2\\ -1&0\end{vmatrix}-1\cdot \begin{vmatrix}14&-5\\ -1&1\end{vmatrix} = -3\)
\( D_y = \begin{vmatrix} -1 & 6 & -1 \\ 2 & 14 & -2\\ 1& -1&0\end{vmatrix} = -1\cdot \begin{vmatrix}14&-2\\ -1&0\end{vmatrix}-6\cdot \begin{vmatrix}2&-2\\ 1&0\end{vmatrix}-1\cdot \begin{vmatrix}2&14\\ 1&-1\end{vmatrix} = 6\)
\( D_z = \begin{vmatrix} -1 & - 3 & 6 \\ 2 & -5 & 14\\ 1&1&-1\end{vmatrix} = -1\cdot \begin{vmatrix}-5&14\\ 1&-1\end{vmatrix}-\left(-3\right) \begin{vmatrix}2&14\\ 1&-1\end{vmatrix}+6\cdot \begin{vmatrix}2&-5\\ 1&1\end{vmatrix} = 3\)
Usa la regla de Cramer para calcular las incógnitas \(x\), \(y\) y \(z\).
\( x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{-3}{-3} = 1 \)
\( y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{6}{-3} = -2 \)
\( z = \dfrac{D_z}{D} = \dfrac{3}{-3} = -1 \)
Como ejercicio, sustituye \(x\), \(y\) y \(z\) por 1, -2 y -1 respectivamente en el sistema dado para verificar la solución encontrada.
Preguntas con Solución
- Parte 1
Usa la regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
a)
\(
\left\{
\begin{array}{lcl}
5 x - \dfrac{2}{3} y & = & \dfrac{1}{3} \\
- x + \dfrac{1}{2} y & = & - \dfrac{1}{2}
\end{array}
\right.
\) b)
\(
\left\{
\begin{array}{lcl}
0.1 x - 0.3 y & = & 1.1 \\
- 0.2 x + 1.3 y & = & - 1.5
\end{array}
\right.
\)
c) \(
\left\{
\begin{array}{lcl}
- 3x + 5 y - z & = & \dfrac{1}{2} \\
\dfrac{1}{5} x - 5 y - \dfrac{3}{5} z & = & 0 \\
-4 x + \dfrac{4}{5} y - z & = & - 7
\end{array}
\right.
\)
- Parte 2
Usa la regla de Cramer para encontrar la solución de los sistemas de ecuaciones lineales en términos del parámetro k.
a)
\(
\left\{
\begin{array}{lcl}
5 x - k y & = & 6 \\
- 2 x + 2 k y & = & - 3
\end{array}
\right.
\) b)
\(
\left\{
\begin{array}{lcl}
2 x - 3 y & = & k \\
x + 2 y & = & -2k
\end{array}
\right.
\)
- Parte 3
Usa la regla de Cramer para encontrar la solución de los sistemas de ecuaciones lineales en términos de los parámetros p y q.
a) \(
\left\{
\begin{array}{lcl}
- x - 3 y & = & 5 p \\
- 2 x - 5 y & = & - 2 q
\end{array}
\right.
\)
b) Usa tu respuesta de a) para resolver los sistemas
1) \(
\left\{
\begin{array}{lcl}
- x - 3 y & = & 10 \\
- 2 x - 5 y & = & - 4
\end{array}
\right. \) 2) \(
\left\{
\begin{array}{lcl}
- x - 3 y & = & 5/2 \\
- 2 x - 5 y & = & - 2
\end{array}
\right. \) 3) \(
\left\{
\begin{array}{lcl}
- x - 3 y & = & 50 \\
- 2 x - 5 y & = & 6
\end{array}
\right. \)
- Parte 4
Resuelve el sistema y muestra que la solución no depende del parámetro p.
\(
\left\{
\begin{array}{lcl}
5 x - 6 y + 6 z & = & -14 \\
9 x - p y - z & = & 22 \\
-2 x - 6 y & = & -4
\end{array}
\right.
\)
Soluciones a las Preguntas Anteriores
- Parte 1
a) Calcula los determinantes
\( D = \begin{vmatrix} 5 & -2/3\\ -1 & 1/2 \end{vmatrix} = (5)(1/2)-(-2/3)(-1) = 11/6\)
\( D_x = \begin{vmatrix} 1/3 & -2/3\\ -1/2 & 1/2 \end{vmatrix} = (1/3)(1/2)-(-2/3)(-1/2) = -1/6\)
\( D_y = \begin{vmatrix} 5 & 1/3\\ -1 & -1/2 \end{vmatrix} = (5)(-1/2)-(1/3)(-1) = -13/6\)
La solución viene dada por la regla de Cramer de la siguiente manera
\( x = \dfrac{D_x}{D} = -\dfrac{1}{11} \)
\( y = \dfrac{D_y}{D} = -\dfrac{13}{11} \)
b) Los determinantes son
\( D = \begin{vmatrix} 0.1 & -0.3\\ -0.2 & 1.3 \end{vmatrix} = (0.1)(1.3) - (-0.3)(-0.2) = 0.07\)
\( D_x = \begin{vmatrix} 1.1 & -0.3\\ -1.5 & 1.3 \end{vmatrix} = (1.1)(1.3) - (-0.3)(-1.5) = 0.98\)
\( D_y = \begin{vmatrix} 0.1 & 1.1\\ -0.2 & -1.5 \end{vmatrix} = (0.1)(-1.5) - (1.1)(-0.2) = 0.07\)
La solución es
\( x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{0.98}{0.07} = 14 \)
\( y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{0.07}{0.07} = 1\)
c)
Los determinantes de 3 por 3 \( D, D_x ,D_y \text{ y } D_z \) se calculan usando determinantes de 2 por 2 de la siguiente manera
\( D = \begin{vmatrix} -3 & 5 & -1 \\ 1/5 & -5 & - 3/5\\ -4 & 4/5 & -1 \end{vmatrix} = -3\cdot \begin{vmatrix}-5&-\frac{3}{5}\\ \frac{4}{5}&-1\end{vmatrix}-5\cdot \begin{vmatrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\ -4&-1\end{vmatrix}-1\cdot \begin{vmatrix}\frac{1}{5}&-5\\ -4&\frac{4}{5}\end{vmatrix} = 82/5 \)
\( D_x = \begin{vmatrix} 1/2 & 5 & -1 \\ 0 & -5 & - 3/5\\ -7 & 4/5 & -1 \end{vmatrix} = \frac{1}{2} \begin{vmatrix}-5&-\frac{3}{5}\\ \frac{4}{5}&-1\end{vmatrix}-5\cdot \begin{vmatrix}0&-\frac{3}{5}\\ -7&-1\end{vmatrix}-1\cdot \begin{vmatrix}0&-5\\ -7&\frac{4}{5}\end{vmatrix} = 2937/50\)
\( D_y = \begin{vmatrix} -3 & 1/2 & -1 \\ 1/5 & 0 & - 3/5\\ -4 & -7 & -1 \end{vmatrix} = -3\cdot \begin{vmatrix}0&-\frac{3}{5}\\ -7&-1\end{vmatrix}-\frac{1}{2} \begin{vmatrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\ -4&-1\end{vmatrix}-1\cdot \begin{vmatrix}\frac{1}{5}&0\\ -4&-7\end{vmatrix} = 153/10\)
\( D_z = \begin{vmatrix} -3 & 5 & 1/2 \\ 1/5 & -5 & 0\\ -4 & 4/5 & - 7 \end{vmatrix} = -3\cdot \begin{vmatrix}-5&0\\ \frac{4}{5}&-7\end{vmatrix}-5\cdot \begin{vmatrix}\frac{1}{5}&0\\ -4&-7\end{vmatrix}+\frac{1}{2} \begin{vmatrix}\frac{1}{5}&-5\\ -4&\frac{4}{5}\end{vmatrix} = -2698/25\)
La solución es
\( x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{2937/50}{82/5} = \dfrac{2937}{820} \)
\( y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{153/10}{82/5} = \dfrac{153}{164} \)
\( z = \dfrac{D_z}{D} = \dfrac{-2698/25}{82/5} = -\dfrac{1349}{205} \)
- Parte 2
a) Los determinantes son
\( D = \begin{vmatrix} 5 & -k\\ -2 & 2k \end{vmatrix} = (5)(2k)-(-k)(-2) = 8 k \)
\( D_x = \begin{vmatrix} 6 & -k\\ -3 & 2k \end{vmatrix} = (6)(2k)-(-k)(-3) = 9 k \)
\( D_y = \begin{vmatrix} 5 & 6\\ -2 & -3\end{vmatrix} = (5)(-3)-(6)(-2) = - 3 \)
Solución del sistema
\( x = \dfrac{D_x }{D} = \dfrac{9k}{8k} = \dfrac{9}{8} \)
, \( y = \dfrac{D_y }{D} = \dfrac{-3}{8k} = -\dfrac{3}{8k} \)
b) Los determinantes son
\( D = \begin{vmatrix} 2 & - 3\\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2)(2) - (-3)(1) = 7 \)
\( D_x = \begin{vmatrix} k & - 3\\ -2 k & 2 \end{vmatrix} = (k)(2) - (-3)(-2k) = -4k \)
\( D_y = \begin{vmatrix} 2 & k\\ 1 & -2k \end{vmatrix} = (2)(-2k) - (k)(1) = -5k \)
Solución del sistema
\( x = \dfrac{D_x }{D} = \dfrac{-4k}{7} = -\dfrac{4}{7}k \)
, \( y = \dfrac{D_y }{D} = \dfrac{-5k}{7} = -\dfrac{5}{7}k \)
- Parte 3
a) Usando la regla de Cramer, las soluciones son
\( x = 6 q + 25 p \) \( y = -2 q - 10 p \)
b)
1) Si sustituimos los parámetros p y q en el sistema de ecuaciones de a) por 2 y 2 respectivamente, obtenemos el sistema de ecuaciones
\(
\left\{
\begin{array}{lcl}
- x - 3 y & = & 10 \\
- 2 x - 5 y & = & - 4
\end{array}
\right. \)
que tenemos que resolver. Pero el sistema en a) se ha resuelto para todos los valores de p y q. Por lo tanto, para resolver el sistema en b) 1), sustituimos p y q por sus valores (2 y 2) en las soluciones obtenidas en a), lo que da.
\( x = 6 q + 25 p = 6(2) + 25(2) = 62 \) \( y = -2 q - 10 p = -2 (2) - 10 (2) = -24 \)
2) Para este sistema p = 1/2 y q = 1; por lo tanto, la solución
\( x = 6 q + 25 p = 6(1) + 25(1/2) = 37/2 \) \( y = -2 q - 10 p = -2 (1) - 10 (1/2) = - 7 \)
3) Para este sistema p = 10 y q = -3; por lo tanto, la solución
\( x = 6 q + 25 p = 6(-3) + 25(10) = 232 \) \( y = -2 q - 10 p = -2(-3) - 10(10) = - 94 \)
- Parte 4
Los determinantes utilizados en la regla de Cramer son
\( D = \begin{vmatrix}5&-6&6\\ \:\:9&-p&-1\\ \:\:-2&-6&0\end{vmatrix} =5\cdot \begin{vmatrix}-p&-1\\ -6&0\end{vmatrix}-\left(-6\right) \begin{vmatrix}9&-1\\ -2&0\end{vmatrix}+6\cdot \begin{vmatrix}9&-p\\ -2&-6\end{vmatrix} = -12p-366\)
\( D_x = \begin{vmatrix}-14&-6&6\\ \:\:22&-p&-1\\ \:\:\:-4&-6&0\end{vmatrix} = -14\cdot \begin{vmatrix}-p&-1\\ -6&0\end{vmatrix}-\left(-6\right) \begin{vmatrix}22&-1\\ -4&0\end{vmatrix}+6\cdot \begin{vmatrix}22&-p\\ -4&-6\end{vmatrix} = -24p-732\)
\( D_y = \begin{vmatrix}5&-14&6\\ \:\:\:9&22&-1\\ \:\:\:-2&-4&0\end{vmatrix} = =5\cdot \begin{vmatrix}22&-1\\ -4&0\end{vmatrix}-\left(-14\right) \begin{vmatrix}9&-1\\ -2&0\end{vmatrix}+6\cdot \begin{vmatrix}9&22\\ -2&-4\end{vmatrix} = 0 \)
\( D_z = \begin{vmatrix}5&-6&-14\\ \:\:\:9&-p&22\\ \:\:\:-2&-6&-4\end{vmatrix} = =5\cdot \begin{vmatrix}-p&22\\ -6&-4\end{vmatrix}-\left(-6\right) \begin{vmatrix}9&22\\ -2&-4\end{vmatrix}-14\cdot \begin{vmatrix}9&-p\\ -2&-6\end{vmatrix} = 48p+1464\)
Las soluciones vienen dadas por la regla de Cramer de la siguiente manera
\( x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{-24p-732}{-12p-366} = 2 \)
\( y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{0}{-12p-366} = 0 \)
\( z = \dfrac{D_z}{D} = \dfrac{48p+1464}{-12p-366} = -4 \)
Referencias y Enlaces Relacionados con Sistemas de Ecuaciones y Determinantes
Eliminación Gaussiana para Resolver Sistemas - Preguntas con Soluciones.
Calculadora de Eliminación Gaussiana para un Sistema de Ecuaciones de 3 por 3.
Calculadora para Resolver Sistemas de Ecuaciones de 3 por 3 Usando la Regla de Cramer.
Resolver Sistemas de Ecuaciones - Tutorial. Método de eliminación.
Más sobre Determinante de una Matriz y la Regla de Cramer.
Resolver Sistemas de Ecuaciones - Tutorial.
Calculadora y Solucionador de Sistemas de Ecuaciones.