Escribir Funciones Racionales: Problemas de Práctica con Soluciones sobre Asíntotas y Ceros
Aprende a escribir funciones racionales basándote en sus características clave, incluyendo asíntotas verticales y horizontales, asíntotas oblicuas, intersecciones con el eje X, ceros y huecos. Las soluciones paso a paso te ayudan a dominar cada tipo de problema.
Problema 1: Función Racional con Asíntotas Vertical y Horizontal
Escribe una función racional \( f \) que tenga una asíntota vertical en \( x = 2 \), una asíntota horizontal \( y = 3 \), y un cero en \( x = -5 \).
Dado que \( f \) tiene una asíntota vertical en \( x = 2 \), el denominador de la función racional contiene el término \( (x - 2) \). Por lo tanto, \( f \) tiene la forma \[ f(x) = \frac{g(x)}{x - 2}. \] El numerador \( g(x) \) debe tener el mismo grado que el denominador para asegurar una asíntota horizontal, y debe contener el término \( (x + 5) \) ya que \( f \) tiene un cero en \( x = -5 \). Por lo tanto, \[ f(x) = \frac{3(x + 5)}{x - 2}. \] Verifica que todas las características enumeradas en el problema aparecen en la gráfica de \( f \) que se muestra a continuación.
Problema 2: Función Racional con Dos Asíntotas Verticales y Sin Intersección con el Eje X
Escribe una función racional \( g \) con asíntotas verticales en \( x = 3 \) y \( x = -3 \), una asíntota horizontal en \( y = -4 \), y sin intersección con el eje X.
Dado que \( g \) tiene asíntotas verticales en \( x = 3 \) y \( x = -3 \), el denominador contiene el producto \( (x - 3)(x + 3) \). Por lo tanto, \[ g(x) = \frac{h(x)}{(x - 3)(x + 3)}. \] Para lograr la asíntota horizontal \( y = -4 \), el numerador \( h(x) \) debe tener el mismo grado que el denominador con coeficiente principal \(-4\). Para no tener ceros reales, podemos tomar \[ g(x) = \frac{-4x^2 - 6}{(x - 3)(x + 3)}. \] Verifica las características en la gráfica de \( g \) que se muestra a continuación.
Problema 3: Función Racional con Hueco y Asíntota Vertical
Escribe una función racional \( h \) con un hueco en \( x = 5 \), una asíntota vertical en \( x = -1 \), una asíntota horizontal en \( y = 2 \), y una intersección con el eje X en \( x = 2 \).
Dado que \( h \) tiene un hueco en \( x = 5 \), tanto el numerador como el denominador tienen un factor \( (x - 5) \). La asíntota vertical en \( x = -1 \) proporciona un factor \( (x + 1) \) en el denominador, y la intersección con el eje X en \( x = 2 \) proporciona un factor \( (x - 2) \) en el numerador. Para satisfacer la asíntota horizontal \( y = 2 \), el numerador y el denominador deben tener el mismo grado y la relación de los coeficientes principales debe ser 2. Por lo tanto, \[ h(x) = \frac{2(x - 5)(x - 2)}{(x - 5)(x + 1)}. \] La gráfica de \( h \) se muestra a continuación; verifica las características.
Problema 4: Función Racional con Asíntota Oblicua
Escribe una función racional \( f \) con una asíntota oblicua \( y = x + 4 \), una asíntota vertical en \( x = 5 \), y uno de los ceros en \( x = 2 \).
La gráfica de \( f \) tiene una asíntota oblicua \( y = x + 4 \) y una asíntota vertical en \( x = 5 \). Por lo tanto, \( f(x) \) se puede escribir como \[ f(x) = (x + 4) + \frac{a}{x - 5}, \] donde \( a \) es una constante determinada por el cero en \( x = 2 \): \[ f(2) = (2 + 4) + \frac{a}{2 - 5} = 0 \implies a = 18. \] Por lo tanto, \[ f(x) = (x + 4) + \frac{18}{x - 5} = \frac{x^2 - x - 2}{x - 5}. \] Verifica las características de la gráfica de \( f \) que se muestra a continuación.
