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Soluciones al Examen de Práctica de Matemáticas de 7º Grado

Se presentan las soluciones a las preguntas del examen de práctica de matemáticas de 7º grado.

1 - Números Enteros

Soluciones

El valor absoluto de un número es siempre positivo o cero, por lo que solo la parte b) es verdadera.
Todos los números involucrados en las desigualdades dadas están representados en la recta numérica a continuación. Dados dos números en la recta numérica, el que está a la derecha es mayor que el que está a la izquierda o viceversa.

Por lo tanto:
a) NO ES VERDADERO (-5 a la derecha de - 7) b) ES VERDADERO ,
c) NO ES VERDADERO (-1 a la izquierda de 0) d) ES VERDADERO

2 - Decimales

Soluciones

Escribe los números en una tabla que incluya el valor posicional como se muestra a continuación
Tabla de Valores Positionales

$\require{cancel}$
1) Comparamos los dígitos en las unidades y todos son iguales
2) Luego comparamos las décimas y la más alta es la correspondiente al número en la primera fila.

$2.32$ es el más grande.
3) Luego comparamos los centésimos y los dos más altos están en la segunda y cuarta filas.
4) Luego comparamos los milésimos de los números en la segunda y cuarta filas y el de la cuarta fila es el más alto.

$2.033$ es el segundo más grande.
5)

$2.032$ es el tercero más grande y

$2.032$ es el cuarto más grande.
El orden de mayor a menor es:

$2.32$ ,

$2.033$ ,

$2.032$ ,

$2.023$

$4.01$ tiene un

$0$ en las décimas, por lo tanto, no hay cambio en las unidades y, por lo tanto, la respuesta es

$4$
b)

$6.8$ tiene un

$8$ en las décimas, por lo tanto, sumamos

$1$ a las unidades y, por lo tanto, la respuesta es

$7$
c)

$11.5$ tiene un

$5$ en las décimas, por lo tanto, sumamos

$1$ a las unidades y, por lo tanto, la respuesta es

$12$

$0.15 \div 3 = 0.05$
b)

$5 - 1.2 \times 0.2 = 5 - 0.24 = 4.76$
c)

$2.3 - 0.7 \div 7 = 2.3 - 0.1 = 2.2$

3 - Factores, Múltiplos y Divisibilidad de Números

Soluciones

Los factores de

$18$ son:

$1, 2, 3, \color{red}6, 9, 18$
Los factores de

$24$ son:

$1, 2, 3, 4, \color{red}6, 8, 12, 24$
El Mayor Común Factor (MCF) de

$24$ y

$18$ es

$\color{red}6$

Los múltiplos de

$8$ son:

$8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64,\color{red}{72}, 80$
Los múltiplos de

$18$ son:

$18, 36, 54, \color{red}{72}, 90$
El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de

$8$ y

$18$ es

$\color{red}{72}$

Un número cuyo último dígito en las unidades (más a la derecha) es

$0$ o

$5$ es divisible por

$5$ .
Por lo tanto, los números en la parte b)

$303090$ y c)

$145055$ son divisibles por

$5$ .

Un número cuyo último dígito en las unidades (más a la derecha) es

$0, 2, 4, 6 , 8$ es divisible por

$2$ .
Por lo tanto, los números en la parte a)

$2798$ y c)

$6476$ son divisibles por

$2$ .

Un número es divisible por

$3$ si la suma de todos sus dígitos en el número es divisible por

$3$ (o es un múltiplo de

$3$ )
a)

$9240$ : suma de dígitos:

$9+2+4+0 = 15$ ,

$15$ es divisible por

$3$ y, por lo tanto,

$9240$ es divisible por 3.
b)

$4 909$ : suma de dígitos:

$4+9+0+9 = 22$ ,

$22$ no es divisible por

$3$ y, por lo tanto,

$4 909$ NO es divisible por 3.
c)

$3 282 900$ : suma de dígitos:

$3+2+8+2+9+0+0 = 24$ ,

$24$ es divisible por

$3$ y, por lo tanto,

$3 282 900$ es divisible por 3.

4 - Fracciones y Números Mixtos

Soluciones

Podemos obtener una fracción equivalente a una dada multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador de la fracción dada por el mismo número.
a)
Dada

$\displaystyle \frac{10}{15} = \frac{?}{3}$
Para pasar de un denominador igual a

$15$ en la fracción de la izquierda a un denominador igual a

$3$ en la fracción de la derecha, dividimos por

$5$ . Por lo tanto,

$\displaystyle \frac{10}{15} = \frac{10 \color{red}{\div 5}}{15 \color{red}{\div 5}} = \frac{2}{3}$

b)
Dada

$\displaystyle \frac{17}{3} = \frac{34}{?}$
Para pasar de un numerador igual a

$17$ en la fracción de la izquierda a un numerador igual a

$34$ en la fracción de la derecha, multiplicamos por

$2$ . Por lo tanto,

$\displaystyle \frac{17}{3} = \frac{17 \color{red}{\times 2} }{3 \color{red}{\times 2} } = \frac{34}{6}$

c)
Dada

$\displaystyle \frac{11}{2} = \frac{?}{8}$
Para pasar de un denominador igual a

$2$ en la fracción de la izquierda a un denominador igual a

$8$ en la fracción de la derecha, multiplicamos por

$4$ . Por lo tanto,

$\displaystyle \frac{11}{2} = \frac{11 \color{red}{\times 4}}{2 \color{red}{\times 4}} = \frac{44}{8}$

a)
Convierte la fracción

$\displaystyle \frac{2}{5}$ a una fracción equivalente con denominador igual a

$10$

$\displaystyle \frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10}$
Sustituye la fracción

$\displaystyle \frac{2}{5}$ por su equivalente en la expresión dada

$\displaystyle \frac{2}{5} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10}$
Las fracciones en la suma/resta tienen el mismo denominador y, por lo tanto, las sumamos/restamos de la siguiente manera

$\displaystyle \frac{2}{5} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} \\ = \displaystyle \frac{4}{10} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4+3-1}{10} = \frac{6}{10}$
Reduce la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

$2$ y, por lo tanto,

$\displaystyle \frac{2}{5} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{3}{5}$

b)

$\displaystyle \frac{5}{9} \times \frac{3}{4} = \frac {5 \times 3}{9 \times 4} = \frac{15}{36}$
Divide el numerador y el denominador por el MCD de

$15$ y

$36$ que es

$3$

$\displaystyle = \frac{15 \div 3}{36 \div 3} = \frac{5}{12}$

c)
Para dividir una fracción por otra, multiplicamos la primera por el inverso de la segunda. Por lo tanto,

$\displaystyle \frac{11}{2} \div \frac{1}{8} = \frac{11}{2} \times \frac{8}{1} = \frac{88}{2} = 44$

d)

$\displaystyle 4 \frac{3}{4} - 1 \frac{1}{2} = (4 - 1) + (\frac{3}{4} - \frac{1}{2})$
Convierte

$\displaystyle \frac{1}{2}$ a una fracción equivalente con denominador igual a

$4$ y sustituye

$\displaystyle = 3 + (\frac{3}{4} - \frac{2}{4}) = 3 \frac{1}{4}$

e)
Convierte el número mixto

$\displaystyle 6 \frac{3}{4}$ a una fracción

$\displaystyle 6 \frac{3}{4} = 6 + \frac{3}{4} = \frac{24}{4} + \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$
La división se hace multiplicando por el inverso de

$2$ . Por lo tanto,

$\displaystyle \frac{27}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{27}{8}$
Convierte a un número mixto

$\displaystyle \frac{27}{8} = \frac{24+3}{8} = 3 \frac{3}{8}$

f)
Escribe

$3$ como fracción.

$\displaystyle 3 = \frac{3}{1}$
La división se convierte en una multiplicación por el inverso de

$\displaystyle \frac{3}{5}$ . Por lo tanto,

$\displaystyle 3 \div \frac{3}{5} = \frac{3}{1} \times \frac{5}{3} = 5$

g)
Convierte los números mixtos a fracciones impropias

$\displaystyle 2 \frac{3}{5} = 2 + \frac{3}{5} = \frac{2}{1} + \frac{3}{5} = \frac{2 \times 5}{1 \times 5} + \frac{3}{5} = \frac{13}{5}$

$\displaystyle 3 \frac{3}{5} = 3 + \frac{3}{5} = \frac{3 \times 5}{1 \times 5} + \frac{3}{5} = \frac{18}{5}$
Sustituye los números mixtos por las fracciones equivalentes encontradas anteriormente

$\displaystyle 2 \frac{3}{5} \div 3 \frac{3}{5} = \frac{13}{5} \div \frac{18}{5}$
Una división de fracciones se convierte en una multiplicación por el inverso.

$\displaystyle 2 \frac{3}{5} \div 3 \frac{3}{5} = \frac{13}{5} \times \frac{5}{18} = \frac{13}{18}$

a)
El número tiene el dígito

$2$ en las décimas. Por lo tanto,

$0.2 = \displaystyle \frac {2}{10}$
Reduce las fracciones

$= \displaystyle \frac {1}{5}$

b)
El número tiene

$1$ en las unidades,

$2$ en las décimas y

$4$ en las centésimas. Por lo tanto,

$\displaystyle 1.24 = 1 + \frac{2}{10} + \frac{4}{100} = 1 + \frac{2 \times 10}{10 \times 10} + \frac{4}{100} = 1 \frac{24}{100}$
Reduce la fracción

$\displaystyle = 1 \frac{6}{25}$

c)

$\displaystyle 2.326 = 2 + \frac{3}{10} + \frac{2}{100} + \frac{6}{1000} = 2 \frac{163}{500}$

Usa las reglas de división por

$10$ ,

$100$ ,

$1000$ ,

$10000$ , ...
a)

$\displaystyle \frac{9}{100} = 0.09$
b)

$\displaystyle \frac{17}{10000} = 0.0017$
c)

$\displaystyle 3 \frac{11}{100000} = 0.00011$

a)
Convierte las fracciones al mismo denominador

$\displaystyle \frac{2}{5} = \frac{8}{20}$

$\displaystyle \frac{3}{4} = \frac {15}{20}$
Por lo tanto, la afirmación

$\displaystyle \frac{2}{5} \lt \frac{3}{4}$ es verdadera

b)
Convierte las fracciones al mismo denominador

$\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{10}{30}$

$\displaystyle \frac{3}{10} = \frac {9}{30}$
Por lo tanto, la afirmación

$\displaystyle \frac{1}{3} \lt \frac{3}{10}$ NO es verdadera

5 - Exponentes

Soluciones

$3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$
b)

$7 \times 4 \times 4 \times 4 \times 5 \times 5 = 7 \times (4 \times 4 \times 4 \times) \times (5 \times 5) = 7 \times 4^3 \times 5^2$

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$
b)

$3^2 \times 4^2 = (3 \times 3) \times (4 \times 4) = 9 \times 16 = 144$
c)
Observa que

$10^0 = 1$ , por lo tanto,

$10^0 \times 4^2 = 1 \times 4 \times 4 = 16$

6 - Razones, Tasas y Problemas Relacionados

Soluciones

a) triángulos a cuadrados : 4 a 7 b) cuadrados a triángulos : 7 a 4 c) cuadrados al total de figuras: 7:11

Escuela A:

$1200$ estudiantes ,

$400$ niños , niñas

$1200 - 400 = 800$ , razón niñas a niños como fracción:

$\displaystyle \frac{800}{400}$ que se reduce a

$\displaystyle \frac{2}{1}$

Escuela B:

$800$ estudiantes ,

$300$ niños , niñas

$800 - 300 = 500$ , razón niñas a niños como fracción:

$\displaystyle \frac{500}{300}$ que se reduce a

$\displaystyle \frac{5}{3}$
Compara las razones dadas por las fracciones y conviértelas a un denominador común
Escuela A:

$\displaystyle \frac{2}{1} = \frac{6}{3}$
Escuela B:

$\displaystyle \frac{5}{3}$
Comparando las razones dadas por las fracciones, la escuela A tiene una mayor proporción de niñas a niños.

Tasa unitaria:

$\displaystyle \frac{\$15}{5 \; \text{kg}} = 3 \; \$/\text{kg}$

Tasa unitaria:

$\displaystyle \frac{350 \; \text{km}}{5 \; \text{hrs}} = 70 \; \text{km} / \text{hrs}$

7 - Proporcionalidad y Problemas Relacionados

Soluciones

La distancia es proporcional al tiempo de la siguiente manera:
Distancia = velocidad × tiempo , la velocidad (o tasa) es constante
velocidad =

$\displaystyle \frac{240 \; \text{km}}{3 \; \text{hrs}} = 80 \; \text{km/hrs}$

$400 \; \text{km}$ = velocidad × tiempo
tiempo =

$\displaystyle \frac{400 \; \text{km}}{80 \; \text{km/hrs} } = 5 \; \text{hrs}$

Sea

$x$ la cantidad en dólares necesaria para comprar 320 dírhams.
Tasa de cambio:

$4 \; \text{Dhs/\$}$ y es constante

$320 \; \text{Dhs} = x \times \; 4 \; \text{Dhs/\$}$

$x = \displaystyle \frac{320 \; \text{Dhs} }{4 \; \text{Dhs/\$}} = 80 \; \text{\$}$

a)
Distancia =

$k \times$ tiempo
Del gráfico, en el tiempo

$2$ hrs la distancia

$d = 8$ km
Por lo tanto,

$8 = k \times 2$
Calcula

$k$

$k = 8/2 = 4$
para el tiempo = 2.5 hrs;
d =

$4 \times 2.5 = 10$ km
b)
Es la constante

$k = 4$ km/hrs
c)
Usando la fórmula Distancia =

$k \times$ tiempo, escribimos

$32 = 4 \times$ tiempo
El tiempo necesario para recorrer

$32$ km es

$32 / 4 = 8$ hrs,
Distancia contra Gráfico de Tiempo

Para que

$y$ sea proporcional a

$x$ , necesitamos tener la relación

$y = k x$ donde

$k$ debe ser constante
La relación anterior también se puede escribir como

$\frac{y}{x} = k$ A continuación se muestra la misma tabla completada por la razón

$y \div x$ a la derecha
Las razones

$y \div x$ en las tablas A) y C) NO son constantes (ver círculo rojo).
Sin embargo, las razones

$y \div x$ en las tablas B) y D) son constantes e iguales a

$2$ y

$3$ respectivamente.
Por lo tanto,

$y$ es proporcional a

$x$ en las tablas B) y D), pero no en A) y C)
Tablas de Proporcionalidad Solución

8 - Porcentaje y Problemas Relacionados

Soluciones

$\displaystyle 20\%$ de

$\displaystyle 10 = \frac{20}{100} \times 10 = \frac{200}{100} = 2$

$50\%$ de

$\displaystyle \frac{1}{4} = \frac{50}{100} \times \frac{1}{4} = \frac{50}{400} = \frac{1}{8}$

Un porcentaje es una fracción con denominador igual a 100. Por lo tanto, para pasar de un denominador igual a

$5$ a un denominador igual a

$100$ , multiplicamos por

$20$ .

$\displaystyle \frac {3}{5} = \frac {3 \times 20}{5 \times 20} = \frac{60}{100} = 60\%$

Porcentaje de su salario mensual gastado en ropa =

$\displaystyle \frac {600}{3000} = \frac {600 \div 30}{3000 \div 30 } = \frac{20}{100} = 20\%$

Cambio en porcentaje =

$\displaystyle \frac{100 - 120}{100} = \frac{-20}{100} = - 20 \%$

Sea

$x$ el número tal que

$10\%$ de

$x = 3$

$10\%$ de

$x = \displaystyle \frac {10}{100}\times x = \frac{10 x}{100}$
Por lo tanto, la ecuación

$\displaystyle \frac{10 x}{100} = 3$
Multiplica ambos lados de la ecuación por

$100$

$\displaystyle \frac{10 x}{100} \times 100= 3 \times 100$
Simplifica

$10 x = 300$
Resuelve para

$x$

$x = 30$

Después del aumento del 20%, el precio se vuelve

$40 + 20\% \times 40 = \$48$
Después de la disminución del 20% (del último precio) el precio final de la camisa es

$48 - 20\% \times 48 = 48 - 9.6 = \$38.4$

9 - Convertir Unidades de Medida

Soluciones

Divide ambos lados de la igualdad dada

$1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$ por

$1 \text{ km}$ para obtener un factor de conversión dado por

$\frac {1000 \text{ m}}{1 \text{ km}} = 1$ Ahora escribimos que

$1.2 \text{ km} = 1.2 \text{ km} \times 1$ El factor de conversión encontrado anteriormente también es igual a 1 , por lo tanto, la sustitución

$\displaystyle 1.2 \text{ km} = 1.2 \text{ km} \times \frac {1000 \text{ m}}{1 \text{ km}}$ Cancela

$\text{ km}$

$\displaystyle 1.2 \text{ km} = 1.2 \cancel{\text{ km}} \times \frac {1000 \text{ m}}{1 \cancel{\text{ km}}}$ Simplifica y evalúa

$1.2 \text{ km} = 1200 \text{ m}$

Divide ambos lados de la igualdad dada

$1 \text{ galón estadounidense} = 3.78541 \text{ L}$ por

$3.78541 \text{ L}$ para escribir el factor de conversión

$\displaystyle \frac{1 \text{ galón estadounidense}}{3.78541 \text{ L}} = 1$ Ahora escribimos

$120 \text{ L} = 120 \text{ L} \times 1$ y sustituimos

$1$ por el factor de conversión que también es igual a

$1$

$\displaystyle 120 \text{ L} = 120 \text{ L} \times \frac{1 \text{ galón estadounidense}}{3.78541 \text{ L}}$ Cancela

$\text{ L}$

$\displaystyle 120 \text{ L} = 120 \cancel{\text{ L}} \times \frac{1 \text{ galón estadounidense}}{3.78541 \cancel{\text{ L}}}$ Simplifica y evalúa

$\displaystyle 120 \text{ L} = \frac{120 \times 1 \text{ galón estadounidense}}{3.78541 } = 31.70066 \text{ galones estadounidenses}$

Observa que el símbolo

$m^2$ que se lee como "metro cuadrado" se puede escribir como

$m^2 = m \times m$ y el símbolo

$ft^2$ que se lee como "pies cuadrados" se puede escribir como

$ft^2 = ft \times ft$ .
Multiplica ambos lados de la igualdad dada

$1 \text{ m} = 3.28084 \text{ ft}$ por sí misma (elevar al cuadrado) para obtener

$(1 \text{ m})(1 \text{ m}) = (3.28084 \text{ ft})(3.28084 \text{ ft})$ Simplifica para obtener una igualdad con

$m^2$ y

$ft^2$

$1 \; m^2 = 10.76391 \; ft^2$ Divide ambos lados por

$1 \; m^2$ para obtener un factor de conversión dado por

$\displaystyle \frac{ 10.76391 \; ft^2 }{1 \; m^2} = 1$ Escribe

$0.3 \; m^2$ como

$0.3 \; m^2 = 0.3 \; m^2 \times 1$ Sustituye

$1$ por el factor de conversión que también es igual a

$1$

$0.3 \; m^2 = 0.3 \; m^2 \times \displaystyle \frac{ 10.76391 \; ft^2 }{1 \; m^2}$ Cancela

$m^2$

$0.3 \; m^2 = 0.3 \; \cancel{m^2} \times \displaystyle \frac{ 10.76391 \; ft^2 }{1 \; \cancel{m^2}}$ Simplifica y evalúa

$0.3 \; m^2 = \displaystyle \frac{ 0.3 \times 10.76391 \; ft^2 }{1} = 3.229173 \; ft^2$

Dada la tasa

$60$ kilómetros por hora se puede escribir como

$\displaystyle \frac{60 \; km}{hr}$ Convierte

$km$ a

$m$ y

$hr$ a minutos (

$min$ ) usando el hecho de que

$1 km = 1000 \; m$ y

$1 \; hr = 60 \; min$

$\displaystyle \frac{60 \; km}{hr} = \frac{60 \times 1000 \; m }{60 \; min}$ Simplifica

$\displaystyle \frac{60 \; km}{hr} = \frac{60 \times 1000 \; m}{60 \; min} = 1000 \; m/min$

10 - Evaluar Expresiones

Soluciones

Expresión dada

$\; 2x - 2 \;$
Sustituye

$x$ por

$-2$ en la expresión dada

$2 \times(-2) - 2$ Evalúa

$= -4 -2 = -6$

Expresión dada

$\; | -5 + b | \;$
Sustituye

$b$ por

$-10$ en la expresión dada

$\; | -5 + (-10) | \;$
Evalúa

$= | -5 -10 | = | -15 | = 15$

Expresión dada

$\; a - b \;$
Sustituye

$a$ por

$-5$ y

$b$ por

$-8$ en la expresión dada

$\; -5 - (-8) = - 5 + 8 = 3 \;$

11 - Álgebra

Soluciones

a)
Agrupa términos semejantes

$3x - 2 + 4 x - 5 = (3x+4x) + (-2-5)$
Simplifica

$= 7x + (-7) = 7 x - 7$
b)
Expande los corchetes

$3 (a + b + 2 ) + a + 4b - 12 = 3 a + 3 b + 6 + a + 4b - 12$
Agrupa términos semejantes

$= (3a + a) + (3b+4b) + (6-12)$
Simplifica

$= 4 a + 7 b - 6$
c)

$\displaystyle \frac{1}{3}( 6 x + 9) + 3$
Expande los corchetes

$= \displaystyle \frac{1}{3}( 6 x) + \frac{1}{3} (9) + 3$
Simplifica

$2x + 3 + 3 = 2x + 6$
d)
Usa el factorización para escribir la expresión dada de la siguiente manera

$0.2 x + x = (0.2+1) x$
Simplifica

$= 1.2 x$

Factoriza las expresiones
a)

$14 x - 2 = \color{red}2 \times 7 x - \color{red}2 \times 1 = \color{red}2 (7x-1)$
b)

$9 - 18 x = \color{red}9 \times 1 - \color{red}9 \times 2x = \color{red}9(1 - 2x)$
c)

$4 b - 16 a + 4 = \color{red}4 \times b - \color{red}4 \times 4 a + \color{red}4 \times 1 = \color{red}4 (b - 4a +1)$

12 - Ecuación con una Variable y Problemas Relacionados

Soluciones

a)
Dada la ecuación

$3x - 2 = 4$
Suma

$2$ a ambos lados

$3x - 2 + \color{red}2 = 4 + \color{red}2$
Simplifica

$3x = 6$
Divide ambos lados por

$3$

$\displaystyle \frac{3x}{3} = \frac{6}{3}$
Simplifica

$x = 2$
b)
Dada la ecuación

$9 - 3 = - x + 5$
Simplifica el lado izquierdo

$6 = - x + 5$
Suma

$-5$ a ambos lados

$6 + \color{red}{-5} = - x + 5 + \color{red}{-5}$
Simplifica

$1 = - x$
Multiplica ambos lados por

$-1$

$1 (-1) = - x (-1)$
Simplifica

$-1 = x$
c)
Dada

$\displaystyle \frac{x}{3} = - 7$
Multiplica ambos lados por

$3$

$\displaystyle \frac{x}{3} \times \color{red}{3} = - 7 \times \color{red}{3}$
Simplifica

$x = - 21$
d)
Dada

$4 \left(x + \displaystyle \frac{1}{4} \right) = -15$
Expande los corchetes

$4 x + 4 \times \displaystyle \frac{1}{4} = - 15$
Simplifica

$4 x + 1 = - 15$
Resta

$-1$ a ambos lados

$4 x + 1 \color{red}{-1} = - 15 \color{red}{-1}$
Simplifica

$4 x = - 16$
Divide ambos lados por

$4$

$\displaystyle \frac{4x}{4} = \frac{-16}{4}$
Simplifica

$x = - 4$
e)
Dada

$\displaystyle \frac{x+2}{-3} = 3$
Multiplica ambos lados por

$-3$

$\displaystyle \frac{x+2}{-3} \times \color{red}{(-3)} = 3 \color{red}{(-3)}$
Simplifica

$x + 2 = - 9$
Resta

$-2$ a ambos lados y simplifica

$x = - 11$
f)

$2(x-1) = 3(x+2)$
Expande los corchetes

$2x - 2 = 3x + 6$
Resta

$-6$ a ambos lados

$2x - 2 + \color{red}{(-6 )} = 3x + 6 + \color{red}{(-6 )}$
Simplifica

$2x - 8 = 3x$
Resta

$2 x$ a ambos lados

$2x - 8 \color{red}{-2x} = 3x \color{red}{-2x}$
Simplifica

$- 8 = x$
g)
Dada

$\displaystyle x - 2 \frac{1}{4} = 3$
Añade el número mixto

$2 \frac{1}{4}$ a ambos lados

$\displaystyle x - 2 \frac{1}{4} \color{red}{ + 2 \frac{1}{4}} = 3 \color{red}{ + 2 \frac{1}{4}}$
Simplifica

$\displaystyle x = 5 \frac{1}{4}$

El perímetro de un jardín rectangular es de 340 m y su longitud es de 120 m. Sea

$x$ el ancho del jardín.
a)
Fórmula: Perímetro

$= 2 \times \text{longitud} + 2 \times \text{ancho}$
Sustituye el perímetro por 340, la longitud por 120 y el ancho por

$x$

$340 = 2 \times 120 + 2 \times x$ Simplifica

$340 = 240 + 2 x$
b)
Resuelve la ecuación en la parte a)

$x = 50$
c)
Verifica la respuesta
Perímetro =

$2 \times \text{longitud} + 2 \times \text{ancho}$
Sustituye la longitud y el ancho (

$x = 50$ ) encontrados anteriormente
Perímetro =

$2 \times 120 + 2 \times 50 = 340$
como se da en el problema.

13 - Desigualdad con una Variable

Soluciones

Las tres desigualdades se representan en las rectas numéricas a continuación en rojo. Un círculo cerrado (rojo) significa que el valor está incluido. Un círculo abierto (rojo) significa que el valor está excluido
a), b) y c)

Inequalities on a Number Line

a) Dada

$4x - 2 \gt 18$
Añade

$2$ a ambos lados de la desigualdad

$4x - 2 \color{red}{+2} \gt 18 \color{red}{+2}$ Simplifica

$4x \gt 20$ Divide ambos lados por

$4$

$\displaystyle \frac{4 x}{4} \gt \frac{20}{4}$ Simplifica para obtener la solución de la desigualdad dada

$x \gt 5$
b)

$2(x + 3) \le 6$
Expande los corchetes en el lado izquierdo

$2 x + 6 \le 6$ Resta

$6$ a ambos lados de la desigualdad

$2 x + 6 \color{red}{-6} \le 6 \color{red}{-6}$ Simplifica

$2 x \le 0$ Divide ambos lados por

$2$

$\displaystyle \frac{2 x}{2} \le \frac{0}{2}$ Simplifica para obtener la solución de la desigualdad dada

$x \le 0$

14 - Figuras Bidimensionales

Soluciones

Se nos dan las medidas de dos ángulos; sea

$x$ la medida del tercer ángulo y la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a

$180^{\circ}$ , por lo tanto

$36^{^{\circ}} + 54^{^{\circ}} + x = 180^{\circ}$ Simplifica el lado izquierdo

$90^{^{\circ}} + x = 180^{\circ}$ Resuelve para

$x$ para obtener

$x = 90^{^{\circ}}$ Por lo tanto, el triángulo dado es un triángulo rectángulo y b) es verdadero.

El ángulo

$\angle AOC$ es un ángulo recto y, por lo tanto, los ángulos

$\angle AOB$ y

$\angle COB$ son ángulos suplementarios y su suma es igual a

$180^{\circ}$ . Por lo tanto,

$\angle AOB + 27^{\circ} = 180^{\circ}$
Resuelve para

$\angle AOB$ para obtener

$\angle AOB = 153^{\circ}$
Ángulos suplementarios

Lista de los pares de ángulos verticales en la figura de abajo:

$\angle AOB \; \text{y} \; \angle DOE \quad$ ,

$\angle BOC \; \text{y} \; \angle EOF \quad$ ,

$\angle COD \; \text{y} \; \angle FOA$

$\angle FOB \; \text{y} \; \angle COE \quad$ ,

$\angle AOC \; \text{y} \; \angle DOF \quad$ ,

$\angle BOD \; \text{y} \; \angle EOA$
Ángulos verticales

a) Hexágono: 6 lados b) Pentágono: 5 lados c) Octágono: 8 lados

Un triángulo equilátero tiene 3 líneas de simetría como se muestra a continuación.
Líneas de simetría de un triángulo equilátero

15 - Perímetro y Área de Figuras Planas

Soluciones

$\text{radio} = \displaystyle \frac{\text{diámetro}}{ 2} = \frac{20 \; cm}{2} = 10 \; cm$

$\text{Área} = 3.14 \times \text{radio} \times \text{radio} = 3.14 \times 10 \times 10 = 314 \; cm^2$

Perímetro del rectángulo =

$2 \times \text{longitud} + 2 \times \text{ancho}$
Sustituye la longitud y el ancho por los valores dados Perímetro =

$2 \times 10 + 2 \times 8 = 36 \text{ pulgadas}$

Área del triángulo =

$\frac{1}{2} \times \text{altura} \times \text{base}$
Sustituye la altura y la base por los valores dados
Área del triángulo =

$\frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25 \; cm^2$

Para encontrar el área sombreada, resta el área de la semicircunferencia del área del rectángulo principal.
Área sombreada = área del rectángulo - área de la semicircunferencia

$\text{El radio de la semicircunferencia = diámetro} / 2 = 50/2 = 25 \; cm$
Área del rectángulo

$= \text{longitud} \times \text{ancho} = 100 \times 50 = 5000 cm^2$
Área de la semicircunferencia

$= \frac{1}{2} \times 3.14 \times \text{radio} \times \text{radio} = \frac{1}{2} \times 3.14 \times 25 \times 25 = 981.25 \; cm^2$
Área sombreada

$= 5000 \; cm^2 - 981.25 \; cm^2 = 4018.75 \; cm^2$

Rectángulo con una semicircunferencia

16 - Datos e Interpretación de Gráficos

Soluciones

a) Sábado
b) Jueves
c) Número total de horas dedicadas a la tarea

$= 3 + 3 + 2 + 4 + 3 + 1 = 16 \; horas$
Diagrama de línea

a) El número de estudiantes en esta clase se obtiene sumando el número de estudiantes (en el eje vertical) correspondiente a cada rango. Número de estudiantes en esta clase

$= 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 3 = 25$
b)
De 70 a 89, tenemos dos rangos: de 70 a 79 con 6 estudiantes y de 80 a 89 con 7 estudiantes.
Hence

$6 + 7 = 13$ estudiantes obtuvieron entre 70 y 89 inclusive.
c)
El número de estudiantes que reprobaron son los rangos de 40 a 49 y 50 a 59 y el número de estudiantes en cada rango son 2 y 3 respectivamente. Por lo tanto,
El número de estudiantes que reprobaron

$= 2 + 3 = 5$
El porcentaje del número total de estudiantes que reprobaron el examen

$= \frac{5}{25} = 20\%$
Histograma

17 - Estadísticas

Soluciones

Media

$= \displaystyle \frac{9 + 4 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 1 + 9}{9} = 4$
Ordena los datos dados de menor a mayor

$\{ 1, 2, 2, 3, \color{red}3, 3, 4, 9, 9 \}$
El valor de datos

$3$ tiene el mayor número de ocurrencias y, por lo tanto, es la moda
Hay 9 valores de datos y el valor de datos

$3$ (en rojo) está en el medio y, por lo tanto, es la mediana

Deja que

$x$ sea la puntuación del cuarto cuestionario de Joel. La media se da como 90, por lo tanto
Media

$= \displaystyle \frac{78+95+92+x}{4} = 90$
Simplifica y escríbelo como una ecuación

$\displaystyle \frac{265+x}{4} = 90$
Multiplica ambos lados de la ecuación por

$4$

$\displaystyle \frac{265+x}{4} \times 4 = 90 \times 4$
Simplifica

$265 + x = 360$
Por lo tanto

$x = 360 - 265 = 95$
Joel debería obtener 95 en su cuarto cuestionario para que el promedio de los 4 cuestionarios sea 90.

18 - Principio de Conteo

Soluciones

La cantidad de formas en que se puede servir el almuerzo en este restaurante es

$3 \times 5 \times 4 = 60$

El primer concesionario de automóviles tiene

$3 \times 4 \times 3 = 36$ opciones
El segundo concesionario de automóviles tiene

$2 \times 5 \times 4 = 40$ opciones
El segundo concesionario tiene más opciones.

19 - Probabilidades

Soluciones

Una medida de probabilidad toma valores entre 0 y 1 inclusive. Por lo tanto, b) -0.5 y c) 2 no pueden ser medidas de probabilidades

Lanzar una moneda tiene 2 resultados: cara y cruz
Seleccionar una carta de cinco cartas diferentes tiene 5 resultados.
Usa el principio de conteo para encontrar el número de resultados cuando lanzas una moneda y seleccionas una de las cinco cartas al azar.

$2 \times 5 = 10$ posibles resultados

a) El dado no tiene una cara con un cero y, por lo tanto, la probabilidad de obtener un cero es igual a cero.
b) Una cara de las 6 tiene un 5, la probabilidad es igual a 1/6
c) Las caras con 5 y 6 tienen números mayores que 4. Por lo tanto, dos caras de las 6 son mayores que 4, la probabilidad es igual a 2/6 = 1/3.

En este experimento, 5 estudiantes eligieron el azul como su color favorito y, por lo tanto, 15 eligieron un color favorito que no es azul.
Por lo tanto, si se encuesta a un estudiante, la probabilidad de que elija un color que no sea azul es igual a 15/20 = 3/4.

Soluciones al Examen de Práctica de Matemáticas de 7º Grado

1 - Números Enteros

2 - Decimales

3 - Factores, Múltiplos y Divisibilidad de Números

4 - Fracciones y Números Mixtos

5 - Exponentes

6 - Razones, Tasas y Problemas Relacionados

7 - Proporcionalidad y Problemas Relacionados

8 - Porcentaje y Problemas Relacionados

9 - Convertir Unidades de Medida

10 - Evaluar Expresiones

11 - Álgebra

12 - Ecuación con una Variable y Problemas Relacionados

13 - Desigualdad con una Variable

14 - Figuras Bidimensionales

15 - Perímetro y Área de Figuras Planas

16 - Datos e Interpretación de Gráficos

17 - Estadísticas

18 - Principio de Conteo

19 - Probabilidades

Más referencias y enlaces