Esta página está diseñada para ayudar a los estudiantes a dominar el concepto de tasas y tasas unitarias. A continuación, encontrará ejemplos introductorios que explican cómo establecer ecuaciones de tasas, seguidos de preguntas de práctica cuidadosamente seleccionadas con soluciones paso a paso.
Una tasa es una razón que compara dos cantidades que tienen unidades diferentes (por ejemplo, kilómetros y horas, o dólares y kilogramos).
El coche A recorre $150$ kilómetros en $3$ horas. El coche B recorre $220$ kilómetros en $4$ horas. Suponiendo que ambos coches viajan a velocidades constantes, ¿cuál de los dos coches viaja más rápido?
Primero, calcule qué distancia recorre el coche A en exactamente una hora:
$$\frac{150 \text{ km}}{3 \text{ horas}} = \frac{50 \text{ km}}{1 \text{ hora}} = 50 \text{ km/h}$$
A continuación, calcule qué distancia recorre el coche B en una hora:
$$\frac{220 \text{ km}}{4 \text{ horas}} = \frac{55 \text{ km}}{1 \text{ hora}} = 55 \text{ km/h}$$
Las cantidades $50 \text{ km/h}$ y $55 \text{ km/h}$ se denominan tasas unitarias porque el denominador es exactamente una unidad de tiempo. Al comparar estas tasas unitarias, podemos ver claramente que el coche B viaja más rápido.
Un coche recorre $150$ kilómetros en $3$ horas. Suponiendo una velocidad constante, ¿cuántas horas se necesitan para que este coche recorra $250$ kilómetros?
Sea $t$ el número de horas necesarias para recorrer $250 \text{ km}$. Como la velocidad es constante, la tasa sigue siendo la misma. Podemos establecer una proporción:
$$\frac{150 \text{ km}}{3 \text{ horas}} = \frac{250 \text{ km}}{t}$$
Para resolver $t$, podemos usar el método de multiplicación cruzada. Multiplique en diagonal a través del signo igual:
$$150 \text{ km} \times t = 250 \text{ km} \times 3 \text{ horas}$$
Aísle $t$ dividiendo ambos lados por $150 \text{ km}$:
$$t = \frac{250 \times 3}{150} \text{ horas}$$
$$t = \frac{750}{150} \text{ horas} = \mathbf{5 \text{ horas}}$$
Nota: Si se queda atascado, expanda el bloque de solución para ver la lógica paso a paso.
Sea $d$ la distancia real en kilómetros. Establezca una proporción comparando la escala del mapa con la distancia desconocida:
$$\frac{15 \text{ km}}{5 \text{ cm}} = \frac{d}{15 \text{ cm}}$$
Multiplique cruzado:
$$15 \text{ km} \times 15 \text{ cm} = d \times 5 \text{ cm}$$
Divida ambos lados por $5 \text{ cm}$:
$$d = \frac{15 \times 15}{5} \text{ km} = \frac{225}{5} \text{ km} = \mathbf{45 \text{ km}}$$
Sea $x$ el número de galones necesarios para recorrer $330 \text{ millas}$. Establezca la proporción:
$$\frac{220 \text{ millas}}{10 \text{ galones}} = \frac{330 \text{ millas}}{x}$$
Multiplique cruzado:
$$220 \times x = 330 \times 10$$
Divida ambos lados por $220$ para aislar $x$:
$$x = \frac{3300}{220} = \mathbf{15 \text{ galones}}$$
Primero, encuentre el costo de exactamente una entrada (la tasa unitaria):
$$c = \frac{\$66}{10 \text{ entradas}} = \$6.60 \text{ por entrada}$$
Para encontrar el costo total ($C$) de $22$ entradas, multiplique la tasa unitaria por $22$:
$$C = 22 \text{ entradas} \times \$6.60 \text{ por entrada} = \mathbf{\$145.20}$$
Parte a: Primero, encuentre el número de latas por caja (tasa unitaria):
$$\text{Tasa unitaria} = \frac{36 \text{ latas}}{4 \text{ cajas}} = 9 \text{ latas por caja}$$
En $7$ cajas, el número de latas es:
$$7 \text{ cajas} \times 9 \text{ latas por caja} = \mathbf{63 \text{ latas}}$$
Parte b: Sea $B$ el número de cajas necesarias para empaquetar $99 \text{ latas}$. Usando la tasa unitaria, escriba la proporción:
$$\frac{9 \text{ latas}}{1 \text{ caja}} = \frac{99 \text{ latas}}{B}$$
Multiplique cruzado y resuelva para $B$:
$$9 \times B = 99 \times 1 \implies B = \frac{99}{9} = \mathbf{11 \text{ cajas}}$$
Primero, encuentre el costo de $1 \text{ kg}$ de manzanas (la tasa unitaria):
$$c = \frac{\$15}{4 \text{ kg}} = \$3.75 \text{ por kg}$$
Conociendo el costo de $1 \text{ kg}$, el costo ($C$) de $11 \text{ kg}$ es:
$$C = 11 \text{ kg} \times \$3.75 \text{ por kg} = \mathbf{\$41.25}$$
Parte a: Encuentre el número de galones movidos en un minuto (tasa unitaria):
$$\text{Tasa unitaria} = \frac{55 \text{ galones}}{10 \text{ minutos}} = 5.5 \text{ galones por minuto}$$
El número de galones movidos en $22 \text{ minutos}$ es:
$$22 \text{ minutos} \times 5.5 \text{ galones por minuto} = \mathbf{121 \text{ galones}}$$
Parte b: Sea $T$ el número de minutos para mover $165 \text{ galones}$. Establezca la proporción:
$$\frac{55 \text{ galones}}{10 \text{ minutos}} = \frac{165 \text{ galones}}{T}$$
Multiplique cruzado y resuelva:
$$55 \times T = 165 \times 10 \implies T = \frac{1650}{55} = \mathbf{30 \text{ minutos}}$$
Sea $T$ el número total de horas que tardan en gotear los $324 \text{ litros}$. Usando la igualdad de tasas:
$$\frac{3 \text{ litros}}{5 \text{ horas}} = \frac{324 \text{ litros}}{T}$$
Multiplique cruzado:
$$3 \times T = 5 \times 324$$
Divida ambos lados por $3$ y simplifique:
$$T = \frac{1620}{3} = \mathbf{540 \text{ horas}}$$
Sea $W$ el peso de $5 \text{ latas}$. Usando la igualdad de tasas:
$$\frac{20 \text{ latas}}{7300 \text{ gramos}} = \frac{5 \text{ latas}}{W}$$
Multiplique cruzado:
$$20 \times W = 5 \times 7300$$
Divida ambos lados por $20$ y simplifique:
$$W = \frac{36500}{20} = \mathbf{1825 \text{ gramos}}$$
En este problema, tenemos dos tasas competitivas: la tasa de llenado ($R_f$) y la tasa de fuga ($R_l$). Encontremos la tasa unitaria por segundo para ambas:
$$R_f = \frac{5 \text{ litros}}{45 \text{ segundos}} = \frac{1}{9} \text{ litros por segundo}$$
$$R_l = \frac{1 \text{ litro}}{180 \text{ segundos}}$$
Sabemos que $1 \text{ hora} = 3600 \text{ segundos}$. Calculemos el volumen total para ambas acciones durante este periodo de tiempo.
La cantidad ($Q_1$) de agua bombeada después de $1 \text{ hora}$ es:
$$Q_1 = R_f \times 3600 = \frac{1}{9} \times 3600 = 400 \text{ litros}$$
La cantidad ($Q_2$) de agua perdida por la fuga después de $1 \text{ hora}$ es:
$$Q_2 = R_l \times 3600 = \frac{1}{180} \times 3600 = 20 \text{ litros}$$
Por lo tanto, la cantidad total ($Q$) de agua que queda en el contenedor después de $1 \text{ hora}$ es:
$$Q = Q_1 - Q_2 = 400 - 20 = \mathbf{380 \text{ litros}}$$