¿Cómo resolver preguntas sobre razones en matemáticas? Se presentan preguntas de matemáticas de séptimo grado junto con soluciones y explicaciones detalladas.
¿Qué son las razones en matemáticas y dónde se necesitan?
La razón es una proporción de dos cantidades con unidades diferentes.
¿Dónde se necesitan?
Ejemplo 1: El carro A recorre 150 kilómetros en 3 horas. El carro B recorre 220 kilómetros en 4 horas. Suponemos que ambos carros viajan a velocidades constantes. ¿Cuál de los dos carros viaja más rápido?
Solución
El carro A recorre 150 kilómetros en 3 horas. En una hora recorre
\( \dfrac{150 \,\, \text{kilómetros}}{3 \,\, \text{horas}} = \dfrac{50 \,\, \text{km}}{1 \,\, \text{hora}} \) = 50 km / hora
El carro B recorre 220 kilómetros en 4 horas. En una hora recorre
\( \dfrac{220 \,\, \text{kilómetros}}{4 \,\, \text{horas}} = \dfrac{55 \,\, \text{km}}{1 \,\, \text{hora}} \) = 55 km / hora
Las cantidades 50 km / hora y 55 km / hora se llaman tasas unitarias porque el denominador es una unidad de tiempo: 1 hora. En este caso, las tasas unitarias se pueden utilizar para descubrir qué carro viaja más rápido porque ahora sabemos cuántos kilómetros recorre cada carro en una hora y, por lo tanto, podemos comparar la velocidad (o tasas) y decir que el carro B viaja más rápido.
Ejemplo 2: Un carro recorre 150 kilómetros en 3 horas. Suponemos que el carro viaja a una velocidad constante. ¿Cuántas horas se necesitan para que este carro recorra 250 kilómetros a la misma velocidad?
Sea \( t \) el número de horas necesarias para recorrer 250 kilómetros. Dado que el carro se mueve a una velocidad constante (velocidad), podemos escribir que la tasa unitaria es la misma, independientemente de los valores que usemos para la distancia y el tiempo. Por lo tanto, escribimos
\( \dfrac{150 \,\, \text{km}}{3\,\,\text{horas}} = \dfrac{250 \,\, \text{km}}{\text{t}} \) , t en horas
La ecuación anterior en \( t \) tiene la forma.
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \)
Multiplica ambos términos de la ecuación por el producto de los denominadores \(b \times d\).
\( b \times d \times \dfrac{a}{b} = b \times d \times \dfrac{c}{d} \)
Simplifica
\( \cancel{b}\times d \times\dfrac{a}{\cancel{b}} = b \times \cancel{d} \times \dfrac{c}{\cancel{d}} \)
para obtener
\( a \times d = b \times c \)
Por lo tanto, las ecuaciones \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \) y \( a \times d = b \times c \) son equivalentes y tienen la misma solución. Este método de cambiar una ecuación de fracciones a productos en cada lado se llama método de "multiplicación cruzada", que usaremos para resolver nuestros problemas.
Ahora volvemos a nuestra ecuación \( \dfrac{150 \,\, \text{km}}{3\,\,\text{hora}} = \dfrac{250 \,\, \text{km}}{\text{t}} \) y usamos el método de "multiplicación cruzada" para escribirlo de la siguiente manera.
\( 150 \,\, \text{km} \times t = 250 \text{km}\times 3 \text{horas} \)
Dado que necesitamos encontrar \( t \), lo aislamos dividiendo ambos lados de la ecuación anterior por \( 150 \,\, \text{km} \).
\( \dfrac{150 \,\, \text{km} \times t}{150 \,\, \text{km}} = \dfrac{250 \text{km}\times 3 \text{horas}}{150 \,\, \text{km}} \)
Simplifica.
\( \dfrac{\cancel{150 \,\, \text{km}} \times t}{\cancel{150 \,\, \text{km}}} = \dfrac{250 \cancel{\text{km}}\times 3 \text{horas}}{150 \,\, \cancel{\text{km}}} \)
\( t = \dfrac{250 \times 3}{150} \, \, \text{horas} = 5 \,\, \text{horas}\)
Los ejercicios a continuación con soluciones y explicaciones son todo acerca de resolver problemas de razón.
Resuelve los siguientes problemas de razón.
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