Preguntas de práctica
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Razones de áreas: Los tres círculos \( C_1 \), \( C_2 \) y \( C_3 \) tienen sus centros \( O_1 \), \( O_2 \) y \( O_3 \) en la línea \( L \) y todos son tangentes en el mismo punto. Si el diámetro del círculo más grande es 20 unidades, ¿cuál es la razón entre el área del círculo más grande y el área del círculo más pequeño?
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Paso 1: Área del círculo más grande (\( C_1 \))
- El diámetro del círculo \( C_1 \) es 20 unidades, por lo que su radio (\( r_1 \)) es 10 unidades.
- Área \( A \) del círculo \( C_1 \) = \( \pi(10)^2 = 100\pi \).
Paso 2: Área del círculo más pequeño (\( C_3 \))
- Basado en el diagrama, el diámetro de \( C_2 \) es igual al radio de \( C_1 \) (10 unidades). Por lo tanto, \( r_2 = 5 \) unidades.
- El diámetro de \( C_3 \) es igual al radio de \( C_2 \) (5 unidades). Por lo tanto, el radio de \( C_3 \) (\( r_3 \)) es 2.5 unidades.
- Área \( B \) del círculo \( C_3 \) = \( \pi(2.5)^2 \).
Paso 3: Encuentre la razón
- \( \dfrac{A}{B} = \dfrac{\pi(10)^2}{\pi(2.5)^2} \)
- \( = \left(\dfrac{10}{2.5}\right)^2 = 4^2 = 16 \)
- La razón es 16:1.
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Formas compuestas: El jardín de la Sra. Parkinson está formado por 4 cuadrados y 2 semicírculos como se muestra a continuación. Cada cuadrado pequeño tiene un área de 4 metros cuadrados. Encuentre el área total del jardín.
Ver solución paso a paso
Paso 1: Área de los cuadrados
- Área total de los 4 cuadrados = \( 4 \times 4 = 16 \text{ m}^2 \).
Paso 2: Encuentre las dimensiones de los semicírculos
- El área de un cuadrado pequeño es \( 4 \text{ m}^2 \), lo que significa que la longitud de su lado es \( \sqrt{4} = 2 \text{ m} \).
- El radio de cada semicírculo coincide con el lado del cuadrado, por lo tanto \( r = 2 \text{ m} \).
Paso 3: Calcule el área total
- Los dos semicírculos se combinan para formar un círculo completo.
- Área del círculo = \( \pi \times 2^2 = 4\pi \text{ m}^2 \).
- Área total = \( 16 + 4\pi \approx 16 + 12.56 = \) \( 28.56 \text{ m}^2 \) (usando \(\pi \approx 3.14\)).
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Aplicación del mundo real: Un aspersor de agua puede rociar agua a una distancia máxima de 12 metros en todas las direcciones. ¿Qué área del jardín puede regar este aspersor? Redondee su respuesta al metro cuadrado más cercano.
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- Una rotación completa del aspersor riega un área circular con un radio de 12 metros.
- Área = \( \pi r^2 \)
- Área = \( \pi(12)^2 = 144\pi \)
- \( 144 \times 3.14159 \approx 452.389 \)
- El aspersor puede regar aproximadamente 452 metros cuadrados.
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Círculos concéntricos: Un jardín circular con un radio de 10 metros está rodeado por un camino de 1 metro de ancho. Encuentre el área del camino (la parte sombreada).
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- El camino está encerrado entre un círculo interior más pequeño y un círculo exterior más grande.
- Radio interior = 10 metros.
- Radio exterior = \( 10 + 1 = 11 \) metros.
- Área del camino = Área del círculo exterior - Área del círculo interior
- Área = \( (\pi \times 11^2) - (\pi \times 10^2) \)
- Área = \( 121\pi - 100\pi \) = \( 21\pi \text{ m}^2 \)
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Aplicación de costo unitario: Una pizza circular cuesta $19.99. ¿Cuál es el costo de 1 centímetro cuadrado si el diámetro de la pizza es de 36 cm?
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- Primero, encuentre el radio: \( 36 \div 2 = 18 \text{ cm} \).
- Calcule el área total: \( \pi \times 18^2 = 324\pi \approx 1017.87 \text{ cm}^2 \).
- Calcule el costo por cm cuadrado dividiendo el costo total por el área total.
- \( \dfrac{19.99}{1017.87} \approx 0.0196 \text{ dólares} \)
- El costo es de aproximadamente 2 centavos por centímetro cuadrado.
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Trabajando hacia atrás desde el área: ¿Cuánta cerca se necesita para el jardín de flores circular de los Robinson que tiene un área de 5 metros cuadrados? (Redondee su respuesta al metro más cercano).
Ver solución paso a paso
La cerca va alrededor del exterior, por lo que necesitamos encontrar la circunferencia. Primero, debemos encontrar el radio.
- \( \pi \times r^2 = 5 \)
- \( r^2 = \dfrac{5}{\pi} \)
- \( r = \sqrt{\dfrac{5}{\pi}} \approx 1.26 \text{ metros} \)
Ahora, calcule la circunferencia:
- \( C = 2\pi r \)
- \( C = 2 \times \pi \times 1.26 \approx 7.92 \text{ metros} \)
- Se necesitan aproximadamente 8 metros de cerca.
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Aumento porcentual: El radio de un disco circular aumenta un 20%. ¿Cuál es el aumento porcentual en el área del disco?
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- Área original = \( \pi r^2 \).
- Si el radio aumenta un 20%, el nuevo radio es \( r + 0.20r = 1.2r \).
- Nueva área = \( \pi(1.2r)^2 = 1.44\pi r^2 \).
- Encuentre la diferencia en el área: \( 1.44\pi r^2 - 1\pi r^2 = 0.44\pi r^2 \).
- Para encontrar el cambio porcentual, divida la diferencia por el área original y multiplique por 100.
- \( \left(\dfrac{0.44\pi r^2}{\pi r^2}\right) \times 100\% = 0.44 \times 100\% = \) \( 44\% \).
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Aplicación de voladizo: Una mesa circular tiene un diámetro de 100 pulgadas. Un mantel circular cuelga sobre los bordes 15 pulgadas alrededor de toda la mesa. ¿Cuál es el área del mantel?
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- Si el diámetro de la mesa es de 100 pulgadas, y el mantel cuelga 15 pulgadas sobre ambos lados, el diámetro total del mantel es \( 100 + 15 + 15 = 130 \text{ pulgadas} \).
- El radio del mantel es \( 130 \div 2 = 65 \text{ pulgadas} \).
- Área = \( \pi r^2 = \pi(65)^2 \)
- Área = \( 4225\pi \approx \) \( 13,273 \text{ pulgadas cuadradas} \) (Nota: Si usa 3.14 para \(\pi\), la respuesta se redondea a aproximadamente 13,267 pulgadas cuadradas).
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Cuadrados y círculos: ABCD es un cuadrado con un vértice en el centro del círculo y dos vértices en el círculo. ¿Cuál es la longitud de la diagonal \( AC \) si el área del círculo es 100 centímetros cuadrados?
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Paso 1: Encuentre el radio al cuadrado
- Área = \( \pi r^2 = 100 \implies r^2 = \dfrac{100}{\pi} \).
Paso 2: Use el teorema de Pitágoras
- Debido a que el vértice A está en el centro y B y D están en el círculo, los lados \( AB \) y \( AD \) son iguales al radio del círculo (\( r \)).
- En el triángulo rectángulo \( \triangle ABC \), la diagonal \( AC \) es la hipotenusa.
- \( AC^2 = AB^2 + BC^2 = r^2 + r^2 = 2r^2 \)
- Sustituya el valor de \( r^2 \): \( AC^2 = 2\left(\dfrac{100}{\pi}\right) = \dfrac{200}{\pi} \).
- \( AC = \sqrt{\dfrac{200}{\pi}} = 10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \approx \) \( 8 \text{ cm} \).
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Razones de perímetro vs área: La razón entre el perímetro del círculo A y el perímetro del círculo B es 3:1. ¿Cuál es la razón entre el área del círculo A y el área del círculo B?
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- Sea \( R_A \) el radio del círculo A y \( R_B \) el radio del círculo B.
- La razón de sus perímetros (circunferencias) es \( \dfrac{2\pi R_A}{2\pi R_B} = \dfrac{R_A}{R_B} = \dfrac{3}{1} \).
- Por lo tanto, \( R_A = 3R_B \).
- La razón de sus áreas es \( \dfrac{\pi R_A^2}{\pi R_B^2} \).
- Sustituya \( 3R_B \) por \( R_A \): \( \dfrac{\pi(3R_B)^2}{\pi R_B^2} = \dfrac{9\pi R_B^2}{\pi R_B^2} = 9 \).
- La razón de las áreas es 9:1.
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Cuerdas que se intersecan: En un círculo con centro \( O \), una cuerda \( AB \) es perpendicular a un radio. El radio interseca la cuerda en su punto medio, \( P \). Si la longitud del radio del círculo es 10 unidades y la distancia desde el centro a la cuerda (\( OP \)) es 6 unidades, encuentre la longitud de la cuerda \( AB \).
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- Debido a que el radio es perpendicular a la cuerda, crea un triángulo rectángulo \( \triangle OAP \), donde \( O \) es el centro, \( A \) es un punto final de la cuerda y \( P \) es el punto medio.
- La hipotenusa \( OA \) es el radio = 10 unidades.
- El cateto \( OP \) es la distancia a la cuerda = 6 unidades.
Paso 1: Use el teorema de Pitágoras para encontrar \( AP \)
- \( OA^2 = OP^2 + AP^2 \)
- \( 10^2 = 6^2 + AP^2 \)
- \( 100 = 36 + AP^2 \)
- \( AP^2 = 100 - 36 = 64 \implies AP = 8 \text{ unidades} \).
Paso 2: Encuentre la longitud total de la cuerda
- Como \( P \) biseca la cuerda, \( AB = 2 \times AP \).
- \( AB = 2 \times 8 = \) \( 16 \text{ unidades} \).