Grado 8 problemas y preguntas con respuestas en círculos

Las soluciones detalladas y explicaciones completas a grado 8 problemas y preguntas sobre los círculos se presentan.

1. Los tres círculos C1, C2 y C3 tienen sus centros O1, O2 y O3 en la línea L y son todos tangentes en el mismo punto. Si el diámetro del círculo más grande es de 20 unidades, ¿cuál es la relación entre el área del círculo más grande y el área del círculo más pequeño?
   

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   Solución
   El diámetro del círculo C1 es igual a 20 unidades y, por lo tanto, su radio es igual a 10 unidades. El área A del círculo más grande C1 es igual a
   A = π 10²
   El diámetro del círculo C2 es igual al radio del círculo C1 que es 10 unis. El diámetro del círculo C3 es igual al radio del círculo C2 que es 5 unidades. El radio del círculo C3 es igual a 2.5. Ahora calculamos el área B del círculo más pequeño C3.
   B = π 2.5²
   La relación de A a B está dada por
   A / B = π 10² / (π 2.5²)
   Simplificar
   = (10)² / (2.5)²
   = (10 / 2.5)² = 4² = 16
   
   

2. El jardín de la Sra. Parkinson está formado por 4 cuadrados y 2 semicírculos, como se muestra a continuación. Cada cuadrado pequeño tiene un área de 4 metros cuadrados. Encuentra el área total del jardín.
   

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   Solución
   El jardín está formado por 4 cuadrados y 2 semicírculos. El área total de los 4 cuadrados es igual a
   4 × 4 = 16 square meters
   
   Como el área de un cuadrado pequeño es igual a 4 metros cuadrados, el lado de un cuadrado pequeño es igual a 2 metros. También el radio de un semicírculo es igual a la longitud del lado del cuadrado que 2 metros. El área de la superficie dentro de los dos semicírculos es igual al área dentro de un círculo completo y es igual a
   π (2)² = 4 π
   El área total del jardín es igual a
   16 + 4π = 28.56 square meters. (with π = 3.14)
   
   

3. Un rociador de agua puede rociar agua a una distancia máxima de 12 m en todas las direcciones. ¿Qué área del jardín puede regar este aspersor? redondee su respuesta al metro cuadrado más cercano.
   Solución
   Una rotación completa del rociador irrigaría un área encerrada por un círculo de radio de 12 m. Por lo tanto, el área del jardín que el aspersor puede regar está dada por
   π 12² = 144 π = 452 square meters
   
   

4. Un jardín circular con un diámetro de 10 metros está rodeado por una pasarela de ancho de 1 metro. Encuentra el área de la pasarela (parte sombreada).
   

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   Solución
   La pasarela está encerrada entre un círculo más pequeño de radio de 10 metros y un círculo mayor de radio de 11 metros y, por lo tanto, el área de la pasarela es igual al área encerrada por el círculo más grande menos el área encerrada por el círculo más pequeño y es igual a
   π × 11² - Pi × 10² = 121π - 100π = 21π square meters
   
   

5. Una pizza circular cuesta $ 19.99. ¿Cuál es el costo de 1 centímetro cuadrado si el diámetro de la pizza es de 36 cm?
   Solución
   Los $19.99 son el costo total de la pizza entera, cuya área es
   π × (36/2)² = 1017 square cm
   El costo de 1 cm cuadrado es igual a
   19.99 / 1017 = $ 0.02 = 2 centavos por cm cuadrado
   
   

6. ¿Qué cantidad de cercado se necesita para el jardín de flores circular de Robinson que tiene un área de 5 metros cuadrados? (Redondee su respuesta al metro más cercano).
   Solución
   La cerca se colocará alrededor del jardín circular y, por lo tanto, la longitud de la cerca es igual a su circunferencia. El radio r del jardín se encuentra usando el área
   π × r² = 5
   r² = 5 / π
   r = √ (5 / π) = 1.26 meters
   La circunferencia del jardín es igual a
   2r × π = 2.52 π = 8 metros (redondeado al metro más cercano)
   La longitud de la cerca necesaria es igual a 8 metros
   
   

7. El radio del disco circular se incrementa en un 20%. ¿Cuál es el porcentaje de aumento en el área del disco?
   Solución
   Si r es el radio del disco, su área (antes del aumento) es igual a
   π r²
   Si r se incrementa en un 20%, se convierte
   r + 20% r = r + (20/100) r = 4 + 0.2 r = 1.2 r
   y el área (después del aumento) del disco se convierte
   π (1.2 r)² = 1.44 π r²
   Cambio en el área
   Cambio = Área después del aumento - Área antes del aumento = 1.44 π r² - π r²
   = π r² (1.44 - 1) = 0.44 π r²
   Porcentaje de cambio en el área
   (Cambio / Área antes del cambio) × 100% = (0.44 π r²/ π r²) × 100%
   = 0.44 × 100% = 44%
   
   

8. Una mesa circular tiene un diámetro de 100 pulgadas. Un mantel circular cuelga sobre la mesa 15 pulgadas alrededor de la mesa. ¿Cuál es el área del mantel?
   Solución
   Si la mesa tiene un diámetro de 100 pulgadas y el mantel cuelga 15 pulgadas alrededor de la mesa, entonces el diámetro del mantel es igual a
   100 + 15 + 15 = 130 pulgadas
   El área del mantel es igual a
   π (130 / 2) = 4,225 π = 13,267 pulgadas cuadradas
   
   

9. ABCD es un cuadrado con un vértice en el centro del círculo y dos vértices en el círculo. ¿Cuál es la longitud de AC si el área del círculo es de 100 cm cuadrados?
   

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   Solución
   Tenga en cuenta que la longitud del lado del cuadrado AB tiene la misma longitud que el radio r del círculo. Dado que el área está dada, podemos escribir
   100 = π r²
   Resolver r²
   r² = 100 / π
   Ahora usamos el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC para encontrar la longitud de AC
   AC² = AB² + AC²
   Ambas longitudes de AB y BC son iguales a r. Por lo tanto
   AC² = r² + r²
   = 2 r² = 2 (100 / π) = 200 / π
   AC = √ (2 × 100 / π) = √ (100) × √ (2 / π)
   = 10 √ (2 / π) cm
   
   

10. La relación del perímetro del círculo A con respecto al perímetro del círculo B es 3: 1. ¿Cuál es la relación entre el área del círculo A y el área del círculo B?
    Solución
    Deje Ra el radio del círculo A y Rb el radio del círculo B. La relación del perímetro del círculo A con el perímetro del círculo B da
    (Pi 2 Ra) / (Pi 2 Rb) = 3/1 = Ra / Rb
    lo que da
    Ra = 3 Rb
    Ahora expresamos las áreas Aa y Ab de los dos círculos
    Aa = π Ra² = π (3 Rb)²
    Ab = π Rb²
    La relación de las áreas está dada por
    Aa / Ab = [ π (3 Rb)² ] / [ π Rb² ]
    = π 9 Rb² / (π Rb²)
    = 9
    La relación es 9:1
    

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