Prueba de práctica de matemáticas de 8º grado y soluciones

Preguntas de práctica y soluciones

1 - Números

1. Evalúe las siguientes expresiones:
   a) \([-2 \times (-4) + 3] \times [3 \times (-4) - 4]\)
   b) \([-2 \times (-3 + 1) + 3] \times [2 \times (-3 - 5) - 4]\)
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   a)
   \([-2 \times (-4) + 3] \times [3 \times (-4) - 4]\)
   \(= [8 + 3] \times [-12 - 4]\)
   \(= 11 \times (-16) = -176\)

   b)
   \([-2 \times (-3 + 1) + 3] \times [2 \times (-3 - 5) - 4]\)
   \(= [-2 \times (-2) + 3] \times [2 \times (-8) - 4]\)
   \(= [4 + 3] \times [-16 - 4]\)
   \(= 7 \times (-20) = -140\)

2. ¿Cuál de los siguientes NO es un número racional?
   a) \(0.2\)   b) \(\pi\)   c) \(\dfrac{2}{5}\)
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   Respuesta: b) \(\pi\)

   \(\pi\) NO es un número racional porque no puede expresarse como una fracción simple de dos números enteros.

3. ¿Cuál es el valor del dígito 5 en el número 34.6597?
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   El dígito 5 está en el lugar de las centésimas, por lo que su valor es \(0.05\) o \(\dfrac{5}{100}\).

2 - Secuencias

4. ¿Cuál es el siguiente término en la secuencia? \(3, 6, 9, 12, \ldots\)
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   Notamos que a medida que pasamos de un término al siguiente, sumamos \(3\); por lo tanto, el siguiente término es igual a: \(12 + 3 = 15\).

5. ¿Cuál es el siguiente término en la secuencia? \(1, 3, 9, 27, \ldots\)
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   Notamos que a medida que pasamos de un término al siguiente, multiplicamos por \(3\); por lo tanto, el siguiente término está dado por: \(27 \times 3 = 81\).

6. Una secuencia de números se define por \(2n + 1\) para \(n = 1, 2, 3, \ldots\)
   a) Encuentre los primeros cinco términos de la secuencia comenzando con \(n = 1\).
   b) ¿Es la secuencia dada aritmética, geométrica o ninguna de las dos?
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   a) Sustituya \(n = 1, 2, 3, 4, 5\) en la expresión \(2n + 1\):
   Para \(n=1\), \(2(1)+1 = 3\)
   Para \(n=2\), \(2(2)+1 = 5\)
   Para \(n=3\), \(2(3)+1 = 7\)
   Para \(n=4\), \(2(4)+1 = 9\)
   Para \(n=5\), \(2(5)+1 = 11\)

   b) Al pasar de un término al siguiente, sumamos 2, por lo tanto es una secuencia aritmética con una diferencia común igual a 2.

7. Una secuencia de números se define por \(3 \times 2^{n-1}\) para \(n = 1, 2, 3, \ldots\)
   a) Encuentre los primeros cinco términos de la secuencia comenzando con \(n = 1\).
   b) ¿Es la secuencia dada aritmética, geométrica o ninguna de las dos?
   Ver solución paso a paso

   a) Sustituya \(n = 1, 2, 3, 4, 5\) en la expresión \(3 \times 2^{n-1}\):
   Para \(n=1\), \(3 \times 2^{1-1} = 3 \times 2^0 = 3\)
   Para \(n=2\), \(3 \times 2^{2-1} = 3 \times 2^1 = 6\)
   Para \(n=3\), \(3 \times 2^{3-1} = 3 \times 2^2 = 12\)
   Para \(n=4\), \(3 \times 2^{4-1} = 3 \times 2^3 = 24\)
   Para \(n=5\), \(3 \times 2^{5-1} = 3 \times 2^4 = 48\)

   b) Al pasar de un término al siguiente, multiplicamos por 2, por lo tanto es una secuencia geométrica con una razón común igual a 2.

3 - Conjuntos

8. Los conjuntos \(S_1\) y \(S_2\) se definen como: \(S_1 = \{0, 2, 9, 12\}\) y \(S_2 = \{2, 9, 10, 11, 12\}\). Encuentre los elementos de:
   a) \(S_1 \cap S_2\)
   b) \(S_1 \cup S_2\)
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   a) La intersección de dos conjuntos es el conjunto de todos los elementos comunes a ambos conjuntos. Por lo tanto \(S_1 \cap S_2 = \{2, 9, 12\}\).

   b) La unión de dos conjuntos es el conjunto de todos los elementos en los dos conjuntos (sin repetición). Por lo tanto \(S_1 \cup S_2 = \{0, 2, 9, 10, 11, 12\}\).

9. Sea \(Q\) = Todos los números racionales, \(P\) = Todos los números irracionales, \(R\) = Todos los números reales. ¿Qué es cierto?
   a) \(Q \cap P = R\)   b) \(Q \cup P = R\)   c) \(Q \cup P = \text{Conjunto vacío}\)   d) \(Q \cap P = \text{Conjunto vacío}\)
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   Cualquier número real es racional o irracional, pero no ambos, por lo tanto \(Q \cap P = \text{Conjunto vacío}\) es cierto. El conjunto de todos los números reales es la unión de los números racionales e irracionales, por lo tanto \(Q \cup P = R\) es cierto.

   Las afirmaciones b) y d) son ciertas.

4 - Factores, múltiplos y divisibilidad

10. Exprese como un producto de factores primos: a) 345   b) 150   c) 210
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    a) \(345 = 3 \times 5 \times 23\)

    b) \(150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5\)

    c) \(210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7\)

11. ¿Cuál es el máximo común divisor (MCD) de 100 y 180?
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    El máximo común divisor de 100 y 180 es 20.

12. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo (MCM) de 100 y 15?
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    El mínimo común múltiplo de 100 y 15 es 300.

13. ¿Cuál es divisible por 3? a) 101899   b) 900234   c) 134567280
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    Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3.

    a) 101899: Suma = \(1+0+1+8+9+9 = 28\). (No divisible)

    b) 900234: Suma = \(9+0+0+2+3+4 = 18\). (Sí, divisible)

    c) 134567280: Suma = \(1+3+4+5+6+7+2+8+0 = 36\). (Sí, divisible)

14. ¿Cuál es divisible por 4? a) 189001   b) 1005612   c) 1003456024
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    Un número es divisible por 4 si sus dos últimos dígitos a la derecha forman un número que es divisible por 4.

    a) 189001: Últimos dos dígitos \(01\). (No divisible)

    b) 1005612: Últimos dos dígitos \(12\). (Sí, divisible)

    c) 1003456024: Últimos dos dígitos \(24\). (Sí, divisible)

15. ¿Cuál es divisible por 6? a) 234   b) 12345   c) 12114290910
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    Para que un número sea divisible por 6, tiene que ser divisible por 2 (par) y por 3.

    a) 234: Par, suma de dígitos \(2+3+4=9\) (Sí, divisible)

    b) 12345: Impar (No divisible por 2, por lo tanto no divisible por 6)

    c) 12114290910: Par, suma de dígitos \(30\). (Sí, divisible)

5 - Fracciones y números mixtos

16. ¿Qué pares de fracciones son equivalentes?
    a) \(\dfrac{10}{15}, \dfrac{7}{3}\)   b) \(\dfrac{8}{12}, \dfrac{2}{3}\)   c) \(\dfrac{7}{12}, \dfrac{21}{36}\)
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    Comience con la fracción en términos reducidos y multiplique por un factor para obtener la segunda fracción.

    a) Multiplique el numerador y el denominador de \(\dfrac{7}{3}\) por 5 para obtener \(\dfrac{35}{15}\). Esto no coincide con \(\dfrac{10}{15}\). (No equivalentes)

    b) Multiplique el numerador y el denominador de \(\dfrac{2}{3}\) por 4 para obtener \(\dfrac{8}{12}\). (Equivalentes)

    c) Multiplique el numerador y el denominador de \(\dfrac{7}{12}\) por 3 para obtener \(\dfrac{21}{36}\). (Equivalentes)

17. Evalúe:
    a) \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{10} - \dfrac{1}{15}\)   b) \(\dfrac{7}{16} \times \dfrac{4}{14}\)   c) \(\dfrac{11}{2} \div 4\)
    d) \(4\dfrac{3}{4} - 1\dfrac{1}{2} + 1\dfrac{1}{8}\)   e) \(1\dfrac{3}{4} \div \left(3 + \dfrac{1}{3}\right)\)
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    a) El MCM de \(5, 10, 15\) es \(30\). \(\dfrac{12}{30} + \dfrac{9}{30} - \dfrac{2}{30} = \dfrac{19}{30}\)

    b) \(\dfrac{7}{16} \times \dfrac{4}{14}\). Factorice los términos: \(\dfrac{7 \times 4}{(4 \times 4) \times (2 \times 7)}\). Cancele los factores comunes para obtener \(\dfrac{1}{8}\)

    c) Multiplique por el recíproco: \(\dfrac{11}{2} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{11}{8}\)

    d) Agrupe las partes enteras y las fracciones: \((4-1+1) + (\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}) = 4 + (\dfrac{6}{8} - \dfrac{4}{8} + \dfrac{1}{8}) = 4\dfrac{3}{8}\)

    e) Convierta a fracciones: \(\dfrac{7}{4} \div \dfrac{10}{3} = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{21}{40}\)

18. Escriba como fracciones en forma reducida: a) \(0.2 \div 0.6\)   b) \(1 \div 0.4\)
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    a) \(0.2 \div 0.6 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)

    b) \(1 \div 0.4 = \dfrac{10}{4} = \dfrac{8+2}{4} = 2\dfrac{1}{2}\)

19. Dalia gasta una cuarta parte de su salario en comida y bebidas. Gasta una quinta parte de eso en refrescos y una sexta parte de eso en galletas. ¿Qué fracción de su salario se gasta en refrescos y galletas?
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    Refrescos: \(\dfrac{1}{5}\) de \(\dfrac{1}{4}\) de su salario.

    Galletas: \(\dfrac{1}{6}\) de \(\dfrac{1}{4}\) de su salario.

    Total: \(\dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{11}{30}\right) = \dfrac{11}{120}\)

20. James dedica 2 horas/día a la tarea de lunes a viernes. Ben dedica \(\dfrac{3}{4}\) de ese tiempo; Linda dedica \(\dfrac{5}{4}\) de ese tiempo. ¿Cuántas horas dedican en una semana?
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    James: \(2 \times 5 = 10\) horas de tarea durante los días de semana.

    Ben: \(\dfrac{3}{4} \times 10 = 7.5\) horas de tarea durante los días de semana.

    Linda: \(\dfrac{5}{4} \times 10 = 12.5\) horas de tarea durante los días de semana.

21. Sara preparó 1.5 L de jugo. Sus vasos tienen una capacidad de \(\dfrac{1}{6}\) L. ¿Cuántos vasos puede llenar?
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    Usando números mixtos, 1.5 L se escribe como \(1\dfrac{1}{2}\) o \(\dfrac{3}{2}\) L.

    Número de vasos = \(\dfrac{3}{2} \div \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{2} \times 6 = 9\) vasos.

6 - Exponentes y notación científica

22. Evalúe:
    a) \((-2)^3 - 5^3 + (-3)^4\)
    b) \((-1)^{-3} - 5^0 + \dfrac{4^2}{(-2)^4}\)
    c) \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{3}\right)^{-2}\)
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    a) \(-8 - 125 + 81 = -52\)

    b) \(\dfrac{1}{(-1)^3} - 1 + \dfrac{16}{16} = -1 - 1 + 1 = -1\)

    c) \(\dfrac{3^2}{4^2} + \dfrac{4^{-2}}{3^{-2}} = \dfrac{9}{16} + \dfrac{3^2}{4^2} = \dfrac{9}{16} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{18}{16} = \dfrac{9}{8}\)

23. Escriba en forma exponencial (base diez): a) 10000   b) 0.0000001   c) \(\dfrac{1}{100000}\)
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    a) \(10^4\)   b) \(10^{-7}\)   c) \(\dfrac{1}{10^5} = 10^{-5}\)

24. Escriba en notación científica: a) \(12.4 \times 10^3\)   b) \(0.0023 \times 10^{-2}\)   c) \(\dfrac{12}{100000}\)
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    a) \(1.24 \times 10^4\)   b) \(2.3 \times 10^{-5}\)   c) \(\dfrac{12}{10^5} = 12 \times 10^{-5} = 1.2 \times 10^{-4}\)

7 - Raíces

25. Simplifique: a) \(\sqrt{16}\)   b) \(\sqrt{9}\)   c) \(\sqrt[3]{8}\)
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    a) 4 porque \(4^2=16\)   b) 3 porque \(3^2=9\)   c) 2 porque \(2^3=8\)

26. Reduzca a su forma más simple: a) \(\sqrt{3 \times 25}\)   b) \(\sqrt{36 \times 5}\)   c) \(\sqrt[3]{8 \times 7}\)
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    a) \(\sqrt{3} \times \sqrt{25} = 5\sqrt{3}\)   b) \(\sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)   c) \(\sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{7} = 2\sqrt[3]{7}\)

8 - Proporcionalidad

27. Leila caminó durante 5 horas. El gráfico muestra la distancia \(d\) contra el tiempo \(t\).
    a) Escriba una ecuación \(d = kt\).
    b) Si comenzó a las 8 AM, ¿a qué hora estaba a 10 km de distancia?
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    a) Utilice un punto del gráfico. Por ejemplo, cuando \(t = 1\), \(d = 4\). Sustituya \(t\) por 1 y \(d\) por 4 en la ecuación \(d = k \times t\) para obtener \(4 = k \times 1\), por lo tanto \(k = 4\). La relación es \(d = 4t\).

    b) Encuentre el tiempo que le toma a Leila caminar \(d = 10\) km resolviendo la ecuación \(10 = 4t \rightarrow t = 10 \div 4 = 2.5\) horas. 2.5 horas se puede escribir como 2:30. Ella está a 10 km de distancia a las: 8:00 + 2:30 = 10:30 AM.

28. ¿Indica la tabla que \(y\) es proporcional a \(x\)?
    a) Si es así, encuentre \(k\) tal que \(y = kx\).
    b) Encuentre \(y\) para \(x=10.2\).
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    Se agregó una columna que contiene la razón \(y / x\) y muestra que \(y / x\) es constante e igual a 3. Por lo tanto \(y\) es proporcional a \(x\).

    

    a) Dado que \(y / x = 3\), podemos escribir \(y = 3x\). Por lo tanto \(k = 3\).

    b) \(y = 3 \times 10.2 = 30.6\).

29. Un grifo llena 10 L en 2 min, 20 L en 4 min, 30 L en 6 min.
    a) Trace puntos con \(V\) en el eje vertical y \(t\) en el horizontal.
    b) ¿Es \(V\) proporcional a \(t\)?
    c) Si es así, encuentre \(k\) tal que \(V = kt\).
    d) Encuentre el tiempo para llenar 100 L.
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    a) A partir de la información dada, podemos escribir tres puntos \((V, t)\): \((2,10)\), \((4,20)\) y \((6,30)\) que se trazan a continuación.

    

    b) Los tres puntos están ubicados en la misma línea que pasa por el origen y, por lo tanto, existe una relación de proporcionalidad entre \(V\) y \(t\).

    c) La constante de proporcionalidad \(k\) es \(V \div t\). \(k = 10 \div 2 = 5\). Por lo tanto \(V = 5t\).

    d) Sustituya \(V=100\) en la ecuación: \(100 = 5t \rightarrow t = 100 \div 5 = 20\) minutos.

9 - Porcentaje

30. Un artículo cuesta $120 y aumenta un 12%. ¿Cuál es el nuevo precio?
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    Precio después del aumento = $120 + 12% de $120.

    Escrito matemáticamente: \(120 + \dfrac{12}{100} \times 120 = 120 + 14.4 = \$134.40\).

31. Jimmy gasta el 50% de su salario en alquiler + facturas, y el 15% de esa cantidad en facturas. ¿Qué porcentaje de su salario total se gasta en facturas?
    Ver solución paso a paso

    Porcentaje gastado en facturas = 15% del 50% de su salario.

    Escrito matemáticamente: \(\dfrac{15}{100} \times \dfrac{50}{100} = \dfrac{750}{10000} = \dfrac{7.5}{100} = 7.5\%\).

32. Una comida cuesta $40. El impuesto es del 15%; la propina es del 5% del monto con impuesto incluido. ¿Cuál es el costo total?
    Ver solución paso a paso

    Costo después del impuesto = \(40 + \dfrac{15}{100} \times 40 = \$46\).

    Costo después de la propina = \(46 + \dfrac{5}{100} \times 46 = \$48.30\).

33. Kamelea gana \( \$5000 \) y gasta: \( \$400 \) en ropa, \( \$1200 \) de alquiler, \( \$200 \) en facturas, \( \$1200 \) en comida/salidas, \( \$600 \) en su coche, y ahorra el resto. ¿Qué porcentaje ahorra?
    Ver solución paso a paso

    Gastos de Kamelea = \(\$400 + \$1200 + \$200 + \$1200 + \$600 = \$3600\).

    Ahorros = Salario - gastos = \(\$5000 - \$3600 = \$1400\).

    Los ahorros de Kamelea en porcentaje del salario = \(\dfrac{1400}{5000} = 0.28 = 28\%\).

34. El 10% de un tercio de un número es 3. ¿Cuál es el número?
    Ver solución paso a paso

    Sea \(x\) el número desconocido. \(\dfrac{10}{100} \times \dfrac{1}{3} \times x = 3\).

    \(\dfrac{10x}{300} = 3\). Multiplique ambos lados por 300 para obtener \(10x = 900 \rightarrow x = 90\).

35. La gasolina subió de \( \$3 \) a \( \$4 \) por galón en EE. UU. y de €1.5 a €2 por litro en Francia. ¿Cuál experimentó un mayor aumento porcentual?
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    Aumento porcentual de gasolina en EE. UU. = \(\dfrac{4 - 3}{3} = 0.33333 = 33.33\%\).

    Aumento porcentual de gasolina en Francia = \(\dfrac{2 - 1.5}{1.5} = 0.33333 = 33.33\%\).

    Ambos experimentaron exactamente el mismo aumento porcentual.

10 - Conversión de unidades

36. Convierta 10.5 pies a metros dado que 1 m = 3.28084 pies.
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    Divida ambos lados de la igualdad por 3.28084 pies para obtener \(\dfrac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ pies}} = 1\).

    \(10.5 \text{ pies} \times \dfrac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ pies}} = 3.20039 \text{ m}\).

37. Convierta 1.3 km a yardas dado que 1 km = 1093.61 yd.
    Ver solución paso a paso

    \(1.3 \text{ km} = 1.3 \times 1093.61 \text{ yd} = 1421.69 \text{ yd}\).

38. Convierta \(1.2 \text{ m}^2\) a \(\text{yd}^2\) dado que 1 m = 1.09361 yd.
    Ver solución paso a paso

    Eleve al cuadrado ambos lados de la igualdad dada para obtener \(1 \text{ m}^2 = (1.09361)^2 \text{ yd}^2 = 1.19598 \text{ yd}^2\).

    \(1.2 \text{ m}^2 = 1.2 \times 1.19598 \text{ yd}^2 = 1.435176 \text{ yd}^2\).

39. Convierta 100 km/hr a m/s.
    Ver solución paso a paso

    \(1 \text{ km} = 1000 \text{ m}\) y \(1 \text{ hr} = 3600 \text{ seg}\).

    \(\dfrac{100 \text{ km}}{1 \text{ hr}} = \dfrac{100 \times 1000 \text{ m}}{1 \times 3600 \text{ seg}} \approx 27.77777 \text{ m/seg}\).

11 - Evaluar expresiones

40. Evalúe \(\dfrac{1}{x+2} - \dfrac{1}{x-2}\) para \(x=1\).
    Ver solución paso a paso

    Sustituya \(x\) por 1: \(\dfrac{1}{(1)+2} - \dfrac{1}{(1)-2} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{-1} = \dfrac{1}{3} + 1 = 1\dfrac{1}{3}\).

41. Evalúe \(\left|\dfrac{-x+1}{-6}\right| + x^2 - 1\) para \(x=-5\).
    Ver solución paso a paso

    Sustituya \(x\) por -5: \(\left|\dfrac{-(-5)+1}{-6}\right| + (-5)^2 - 1 = \left|\dfrac{5+1}{-6}\right| + 25 - 1 = |-1| + 25 - 1 = 1 + 25 - 1 = 25\).

42. Evalúe \(2^a - \sqrt{b^2}\) para \(a=2\), \(b=-2\).
    Ver solución paso a paso

    Sustituya \(a\) por 2 y \(b\) por -2: \(2^{(2)} - \sqrt{(-2)^2} = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2\).

12 - Álgebra

43. Simplifique: a) \(3(x+2) + x - 12\)   b) \(\dfrac{1}{5}(15x+20) + 2x + 4\)   c) \(0.2(5x+10) + 3x - 4\)
    Ver solución paso a paso

    a) \(3x + 6 + x - 12 = (3x+x) + (6-12) = 4x - 6\)

    b) \(\dfrac{1}{5} \times 15x + \dfrac{1}{5} \times 20 + 2x + 4 = 3x + 4 + 2x + 4 = 5x + 8\)

    c) \(0.2 \times 5x + 0.2 \times 10 + 3x - 4 = x + 2 + 3x - 4 = 4x - 2\)

44. Simplifique: a) \(2x \cdot 3x\)   b) \(\dfrac{1}{2}x \cdot \dfrac{4}{5}x\)   c) \(3x^2 \cdot 5x^3\)
    Ver solución paso a paso

    a) \((2 \times 3) \times (x \times x) = 6x^2\)

    b) \(\left(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{5}\right) \times (x \times x) = \dfrac{2}{5}x^2\)

    c) \((3 \times 5) \times (x^2 \times x^3) = 15x^5\)

45. Factorice: a) \(21x + 7\)   b) \(24 - 20x\)   c) \(8b - 4a + 32\)
    Ver solución paso a paso

    a) El máximo común divisor de 21 y 7 es 7. \(7(3x + 1)\)

    b) El máximo común divisor de 24 y 20 es 4. \(4(6 - 5x)\)

    c) El máximo común divisor de 8, 4 y 32 es 4. \(4(2b - a + 8)\)

13 - Ecuaciones y problemas de palabras

46. Resuelva las ecuaciones:
    a) \(3(x - 2 ) = 3\)
    b) \(2(9 - x) = - (x + 5)\)
    c) \(\dfrac{x+1}{3} = 6\)
    d) \(4\left(x + \dfrac{1}{4}\right) = -15\)
    e) \(x - \dfrac{x}{2} = 3\)
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    a) \(3x - 6 = 3 \rightarrow 3x = 9 \rightarrow x = 3\)

    b) \(18 - 2x = -x - 5 \rightarrow 18 = x - 5 \rightarrow x = 23\)

    c) Multiplique por 3: \(x + 1 = 18 \rightarrow x = 17\)

    d) \(4x + 1 = -15 \rightarrow 4x = -16 \rightarrow x = -4\)

    e) Multiplique por 2: \(2x - x = 6 \rightarrow x = 6\)

47. Un jardín rectangular tiene una longitud de 12 m y un ancho de 8 m. Se construye un camino de ancho \(x\) alrededor del jardín para que el perímetro exterior sea el doble del perímetro original.
    a) Escriba una ecuación en \(x\).
    b) Resuelva para \(x\).
    c) Encuentre la longitud y el ancho del perímetro exterior.
    d) Encuentre el área total (jardín + camino).
    e) Encuentre el área del jardín.
    f) Encuentre el área del camino.
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    a) Longitud del perímetro exterior: \(L = 12 + 2x\). Ancho: \(W = 8 + 2x\). Perímetro exterior = \(2(12 + 2x) + 2(8 + 2x) = 40 + 8x\). Perímetro del jardín (blanco) = \(2(12) + 2(8) = 40\). El exterior es el doble del jardín, por lo tanto \(40 + 8x = 2 \times 40\).

    b) \(40 + 8x = 80 \rightarrow 8x = 40 \rightarrow x = 5 \text{ m}\).

    c) Longitud = \(12 + 2(5) = 22 \text{ m}\), Ancho = \(8 + 2(5) = 18 \text{ m}\).

    d) Área total = \(22 \times 18 = 396 \text{ m}^2\).

    e) Área del jardín = \(12 \times 8 = 96 \text{ m}^2\).

    f) Área del camino = Área total - Área del jardín = \(396 - 96 = 300 \text{ m}^2\).

48. Cuando se resta 10 del doble de un número y el resultado se multiplica por un medio, la respuesta es 5. ¿Cuál es el número original?
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    Sea \(x\) el número original. "Se resta 10 del doble de un número" es \(2x - 10\). "El resultado se multiplica por la mitad" es \(\dfrac{1}{2}(2x - 10)\). La respuesta es 5: \(\dfrac{1}{2}(2x - 10) = 5\).

    Multiplique ambos lados por 2: \(2x - 10 = 10 \rightarrow 2x = 20 \rightarrow x = 10\).

14 - Desigualdades

49. Resuelva: a) \(x + 2 < 4\)   b) \(2(x + 3) \ge 2\)   c) \(-3x + 2 \le 11\)   d) \(\dfrac{4x+1}{2} \ge x + 3\)
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    a) \(x < 2\)

    b) \(2x + 6 \ge 2 \rightarrow 2x \ge -4 \rightarrow x \ge -2\)

    c) \(-3x \le 9 \rightarrow x \ge -3\) (cambie el símbolo de la desigualdad porque -3 es negativo).

    d) \(4x + 1 \ge 2x + 6 \rightarrow 2x \ge 5 \rightarrow x \ge 5/2\)

15 - Funciones

50. ¿Cuál de los pares ordenados representa una función?
    a) \(\{(1,2), (3,4), (5,7), (5,9)\}\)
    b) \(\{(-1,-2), (3,4), (5,7), (7,9)\}\)
    c) \(\{(3,3), (9,4), (5,7), (9,0)\}\)
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    Una función es una relación entre dos conjuntos tal que a cada entrada le corresponde solo una salida.

    La relación b) es una función. La opción a) tiene la entrada 5 asignada a 7 y 9. La opción c) tiene la entrada 9 asignada a 4 y 0.

51. ¿Cuál de los siguientes gráficos puede ser el gráfico de una función lineal? Encuentre su ecuación.
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    El gráfico (3) es una línea recta y, por lo tanto, es el gráfico de una función lineal.

    Encuentre dos puntos (0,2) y (2,6) y calcule la pendiente: \( m = \dfrac{6-2}{2-0} = 2 \)

    Escriba la ecuación de la recta en forma pendiente-intersección: \( y = 2 + 2 x \)

52. Dado \(y = 2x + 1\):
    a) Encuentre \(y\) para \(x = 0\) y \(x = 1\).
    b) Use estos valores para graficar \(y = 2x + 1\).
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    a) Para \(x=0\), \(y = 2(0)+1 = 1\). Para \(x=1\), \(y = 2(1)+1 = 3\). Los pares ordenados son \((0, 1)\) y \((1, 3)\).

    b) El gráfico de una función lineal es una línea recta. Los dos pares ordenados obtenidos se pueden utilizar para graficar la función como se muestra a continuación.

    
53. A continuación se grafican dos funciones.
    a) Sin cálculos, ¿cuál tiene la mayor tasa de cambio?
    b) Encuentre las coordenadas de dos puntos en cada una.
    c) Calcule cada tasa de cambio para confirmar (a).
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    a) La función correspondiente al gráfico (1) tiene una mayor tasa de cambio porque aumenta más rápido a medida que \(x\) aumenta.

    

    b) Puntos en el Gráfico (1): \((0,1)\) y \((3,7)\). Puntos en el Gráfico (2): \((0,3)\) y \((8,8)\).

    c) Tasa 1: \(\dfrac{7-1}{3-0} = \dfrac{6}{3} = 2\). Tasa 2: \(\dfrac{8-3}{8-0} = 5/8\). Los cálculos confirman que la tasa de cambio de (1) es mayor.

16 - Figuras bidimensionales

54. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm y 8 cm. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?
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    Sea \(h\) la hipotenusa. Usando el teorema de Pitágoras: \(h^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\). \(h = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}\).

55. Tres líneas rectas se cruzan en \(O\). Dado que \(\angle AOB = 31^\circ\) y \(\angle AOC = 79^\circ\), encuentre \(\angle EOF\).
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    Tenga en cuenta que \(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\). Por lo tanto, \(79^\circ = 31^\circ + \angle BOC\). De ahí \(\angle BOC = 79^\circ - 31^\circ = 48^\circ\).

    Los ángulos \(\angle BOC\) y \(\angle EOF\) son verticales y, por lo tanto, tienen medidas iguales. \(\angle EOF = 48^\circ\).

56. ¿Cuántas líneas de simetría tiene un cuadrado?
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    Un cuadrado tiene 4 líneas de simetría como se muestra a continuación.

    
57. Dado que \(m\angle 1 = 40^\circ\), encuentre las medidas de los ocho ángulos en la intersección con la línea paralela.
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    Los ángulos \(m\angle 1\) y \(m\angle 2\) son suplementarios y suman \(180^\circ\). Por lo tanto \(m\angle 2 = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\).

    \(m\angle 1\) y \(m\angle 3\) son opuestos por el vértice (iguales). \(m\angle 3 = 40^\circ\).

    \(m\angle 2\) y \(m\angle 4\) son opuestos por el vértice (iguales). \(m\angle 4 = 140^\circ\).

    \(m\angle 1\) y \(m\angle 5\) son correspondientes (iguales). \(m\angle 5 = 40^\circ\).

    \(m\angle 2\) y \(m\angle 6\) son correspondientes (iguales). \(m\angle 6 = 140^\circ\).

    \(m\angle 4\) y \(m\angle 8\) son correspondientes (iguales). \(m\angle 8 = 140^\circ\).

    \(m\angle 3\) y \(m\angle 7\) son correspondientes (iguales). \(m\angle 7 = 40^\circ\).

17 - Perímetro y área

58. Calcule el área de un círculo con un diámetro de 20 cm.
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    Radio \(r = \text{Diámetro} \div 2 = 20 \div 2 = 10 \text{ cm}\). Área \(= \pi \times r^2 = 3.14 \times 10^2 = 314 \text{ cm}^2\).

59. Calcule el área de un triángulo rectángulo con un cateto de 16 cm y una hipotenusa de 20 cm.
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    Use el teorema de Pitágoras para encontrar el segundo cateto \(b\): \(b^2 + 16^2 = 20^2 \rightarrow b^2 = 400 - 256 = 144 \rightarrow b = 12 \text{ cm}\).

    Área \(= \dfrac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 \text{ cm}^2\).

60. En la figura, ABDE es un cuadrado y FC es una línea de simetría. Encuentre el área de la flecha azul.
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    Debido a la simetría, calculamos el área de la parte inferior de la flecha, que es un trapecio.

    

    Área del trapecio \(= \dfrac{1}{2}(\overline{FG} + \overline{ED}) \times \overline{HE}\).

    \(\overline{FG} = 12 + 16 - 4 = 24\). \(\overline{ED} = 16\). \(\overline{HE} = \dfrac{1}{2} \overline{AE} = 8\).

    Área \(= \dfrac{1}{2}(24 + 16) \times 8 = 160\).

    El área de la flecha es el doble del trapecio: \(2 \times 160 = 320 \text{ unidades}^2\).

61. Encuentre el área de la forma limitada por un semicírculo (diámetro DE) y un triángulo isósceles ABG. Redondee a dos decimales.
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    Descomponemos la forma dada en formas básicas cuyas áreas se calculan fácilmente mediante fórmulas.

    

    Área del triángulo isósceles ABG \(= \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8\)

    Área del trapecio BCFG \(= \dfrac{1}{2} \times 2 \times (4+1) = 5\)

    Área del trapecio CDEF \(= \dfrac{1}{2} \times 3 \times (1+3) = 6\)

    Área del semicírculo de diámetro DE \(= \dfrac{1}{2} \times \pi \times 1.5^2 \approx 3.53\)

    Área total \(= 8 + 5 + 6 + 3.53 = 22.53 \text{ mm}^2\).

18 - Volúmenes y área de superficie

62. Encuentre el volumen y el área de superficie (excluyendo la parte inferior) de un silo que consiste en un cilindro (\(h = 10\) m) y una semiesfera (\(r = 6\) m) en la parte superior.
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    El volumen de la mitad de la esfera \(= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \pi r^3 = \dfrac{4}{6} \times 3.14 \times 6^3 = 452.16 \text{ m}^3\)

    El volumen del cilindro \(= \pi \times r^2 \times h = 3.14 \times 6^2 \times 10 = 1130.4 \text{ m}^3\)

    El área de superficie de la mitad de la esfera \(= \dfrac{1}{2} \times 4 \times \pi \times r^2 = 2 \times 3.14 \times 6^2 = 226.08 \text{ m}^2\)

    El área de superficie del cilindro (sin la parte inferior) \(= 2 \times \pi \times r \times h = 2 \times 3.14 \times 6 \times 10 = 376.8 \text{ m}^2\)

    Volumen total del silo \(= 452.16 + 1130.4 = 1582.56 \text{ m}^3\)

    Área de superficie total del silo \(= 226.08 + 376.8 = 602.88 \text{ m}^2\)

63. Un prisma rectangular se divide en diagonal en dos prismas triangulares congruentes. Encuentre el volumen y el área de superficie de un prisma triangular.
    Ver solución paso a paso

    Debido a la simetría, el volumen del prisma triangular es la mitad del volumen del prisma rectangular.

    

    Volumen del prisma rectangular \(= 6 \times 3 \times 4 = 72 \text{ unidades}^3\). Volumen del prisma triangular \(= 36 \text{ unidades}^3\).

    El área de superficie es la mitad del área de superficie del prisma rectangular más el área del rectángulo formado por las diagonales rojas.

    Área de superficie del prisma rectangular \(= 2 \times (6 \times 3 + 3 \times 4 + 6 \times 4) = 108 \text{ unidades}^2\).

    Use el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud \(d\) de la diagonal: \(d^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \rightarrow d=5\).

    Área del corte rectangular \(= 5 \times 6 = 30 \text{ unidades}^2\).

    Área de superficie del prisma triangular \(= \dfrac{1}{2} \times 108 + 30 = 84 \text{ unidades}^2\).

19 - Datos y gráficos

64. El gráfico de líneas muestra las temperaturas máximas promedio (°C) de 12 meses en Ottawa.
    a) ¿Promedio máximo del mes más frío?
    b) ¿Promedio máximo del mes más caluroso?
    c) ¿Diferencia entre el más frío y el más caluroso?
    d) ¿El menor aumento entre dos meses consecutivos?
    e) ¿La menor disminución entre dos meses consecutivos?
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    a) Enero tiene la temperatura promedio más baja de \(-5^\circ\)C.

    b) Julio tiene la temperatura promedio más alta de \(26^\circ\)C.

    c) Diferencia \(= 26 - (-5) = 31^\circ\)C.

    d) Los aumentos más pequeños son de enero a febrero y de junio a julio.

    e) La disminución más pequeña es de julio a agosto.

65. Puntuaciones de pruebas: 31, 44, 54, 69, 45, 55, 91, 76, 76, 77, 78, 70, 79, 67, 60, 85, 84, 89, 56, 67, 86, 64, 97, 88, 92.
    a) Ordene de menor a mayor.
    b) Encuentre el rango.
    c) Cree una tabla de frecuencias comenzando en 30–39.
    d) Haga un histograma.
    e) Si las puntuaciones por debajo de 60 son reprobatorias, ¿qué porcentaje reprobó?
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    a) Ordenadas: \(31, 44, 45, 54, 55, 56, 60, 64, 67, 67, 69, 70, 76, 76, 77, 78, 79, 84, 85, 86, 88, 89, 91, 92, 97\).

    b) Rango = Valor mayor - valor menor \(= 97 - 31 = 66\).

    c) Comience con la clase 30-39 y sume el ancho de clase (10) para obtener las clases restantes.

    

    d) Un histograma se hace utilizando el número de estudiantes en el eje vertical y las clases en el horizontal.

    

    e) Las puntuaciones en las tres clases 30-39, 40-49 y 50-59 están por debajo de 60. \(1 + 2 + 3 = 6\) reprobaron. Porcentaje \(= \dfrac{6}{25} = 0.24 = 24\%\).

20 - Estadística

66. Encuentre la mediana, el cuartil inferior y el cuartil superior de \(\{9, 4, 3, 2, 3, 0, 2, 3, 1, 9, 10\}\).
    Ver solución paso a paso

    Datos ordenados: \(\{0, 1, 2, 2, 3, \textbf{3}, 3, 4, 9, 9, 10\}\)

    Mediana: El valor en el medio es 3.

    Cuartil inferior: La mediana de los valores de datos debajo de la mediana \(\{0, 1, \textbf{2}, 2, 3\}\) es 2.

    Cuartil superior: La mediana de los valores de datos por encima de la mediana \(\{3, 4, \textbf{9}, 9, 10\}\) es 9.

67. Mark obtuvo 83, 94, 97, 93 en sus primeras cuatro pruebas. ¿Qué debe obtener en la quinta prueba para promediar al menos 90?
    Ver solución paso a paso

    Sea \(x\) la puntuación de la quinta prueba. El promedio es al menos 90: \(\dfrac{83 + 94 + 97 + 93 + x}{5} \ge 90\)

    Multiplique por 5: \(367 + x \ge 450\).

    Resuelva para \(x\): \(x \ge 450 - 367 \rightarrow x \ge 83\). Mark necesita obtener al menos 83.

21 - Probabilidades

68. Al lanzar un dado justo de 6 caras, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par?
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    Espacio muestral = \(\{1,2,3,4,5,6\}\). Conjunto de números pares = \(\{2,4,6\}\).

    Probabilidad \(= \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).

69. Lanzar una moneda y tirar un dado: a) ¿Probabilidad de cruz y un 4? b) ¿Probabilidad de cara y un número impar?
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    a) La probabilidad de obtener cruz es \(1/2\). La probabilidad de un 4 es \(1/6\). Eventos independientes: \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12}\).

    b) La probabilidad de obtener cara es \(1/2\). La probabilidad de impar es \(3/6 = 1/2\). Eventos independientes: \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\).

70. Ben selecciona una tarjeta de un conjunto de 3 tarjetas etiquetadas (1), (2), (3), la devuelve y vuelve a sacar. a) ¿Probabilidad de sacar el 3 dos veces? b) ¿Probabilidad de sacar el mismo número ambas veces?
    Ver solución paso a paso

    a) Hay 1 resultado con 3 en ambas selecciones \((3,3)\) de \(3 \times 3 = 9\) resultados posibles. Probabilidad \(= \dfrac{1}{9}\).

    b) Tres de los 9 resultados tienen el mismo número: \((1,1), (2,2), (3,3)\). Probabilidad \(= \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\).

71. En una encuesta: 5 estudiantes prefieren azul, 6 prefieren marrón, de 20 en total. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar no prefiera ninguno de los dos?
    Ver solución paso a paso

    Si 5 dijeron azul y 6 dijeron marrón, entonces \(20 - 5 - 6 = 11\) no eligieron ninguno de los dos.

    La probabilidad es \(\dfrac{11}{20}\).

Enlaces y referencias

• Matemáticas de secundaria (grados 6, 7, 8, 9) - Preguntas y problemas gratuitos con respuestas
• Matemáticas de preparatoria/bachillerato (grados 10, 11 y 12) - Preguntas y problemas gratuitos con respuestas
• Matemáticas de primaria (grados 4 y 5) con preguntas y problemas gratuitos con respuestas