Preguntas de práctica y soluciones
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Un automóvil viajó 281 millas en 4 horas y 41 minutos. ¿Cuál fue la velocidad promedio del automóvil en millas por hora?
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Primero convertimos el tiempo de 4 horas y 41 minutos en horas:
\[ 4\ \text{horas} + 41\ \text{minutos} = 4 + \dfrac{41}{60} = \dfrac{240 + 41}{60} = \dfrac{281}{60}\ \text{horas} \]La velocidad promedio \( S \) está dada por la distancia dividida por el tiempo:
\[ S = \dfrac{281\ \text{millas}}{\dfrac{281}{60}\ \text{horas}} = 281 \times \dfrac{60}{281} = 60\ \text{millas por hora} \] -
Resuelva para \( x \):
\[ 5x - 7 = 3x + 9 \]Ver solución paso a paso
Comenzando con \( 5x - 7 = 3x + 9 \):
Reste \( 3x \) de ambos lados: \( 2x - 7 = 9 \)
Sume 7 a ambos lados: \( 2x = 16 \)
Divida ambos lados por 2: \( x = 8 \)
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Resuelva el sistema de ecuaciones:
\[ 2x + 3y = 12 \]
\[ 4x - y = 7 \]Ver solución paso a paso
De la segunda ecuación \( 4x - y = 7 \), resuelva para \( y \): \( y = 4x - 7 \)
Sustituya \( y \) en la primera ecuación \( 2x + 3y = 12 \):
\[ 2x + 3(4x - 7) = 12 \] \[ 2x + 12x - 21 = 12 \] \[ 14x - 21 = 12 \implies 14x = 33 \implies x = \dfrac{33}{14} \]Sustituya \( x \) de nuevo en \( y = 4x - 7 \):
\[ y = 4\left(\dfrac{33}{14}\right) - 7 = \dfrac{132}{14} - \dfrac{98}{14} = \dfrac{34}{14} = \dfrac{17}{7} \] -
Simplifique la expresión:
\[ \sqrt{50} + \sqrt{18} \]Ver solución paso a paso
Primero, simplifique cada raíz cuadrada encontrando factores que sean cuadrados perfectos:
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \] \[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \]Sume los dos términos simplificados: \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
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Encuentre el área de un trapecio con lados paralelos de 10 cm y 14 cm de longitud, y una altura de 6 cm.
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La fórmula para el área de un trapecio es \( A = \dfrac{1}{2} \times (b_1 + b_2) \times h \).
\[ A = \dfrac{1}{2} \times (10 + 14) \times 6 = \dfrac{1}{2} \times 24 \times 6 = 72\ \text{cm}^2 \] -
La longitud de un rectángulo es cuatro veces su ancho. Si el área es de 100 m2, ¿cuál es la longitud del rectángulo?
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Sea \( W \) el ancho. La longitud \( L \) es \( 4W \). La fórmula del área da:
\[ \text{Área} = L \times W = (4W) \times W = 4W^2 \] \[ 4W^2 = 100 \implies W^2 = 25 \implies W = 5\ \text{m} \]La longitud es \( L = 4 \times 5 = 20\ \text{m} \).
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La longitud de un rectángulo se incrementa al doble de su tamaño original y su ancho se incrementa al triple de su tamaño original. Si el área del nuevo rectángulo es igual a 1800 metros cuadrados, ¿cuál es el área del rectángulo original?
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Sea el área original \( A_{\text{original}} = L \times W \).
Las nuevas dimensiones son \( 2L \) y \( 3W \). El nuevo área es:
\[ A_{\text{nuevo}} = (2L) \times (3W) = 6(LW) = 1800 \]Resolviendo para el área original (\( LW \)): \( L \times W = \dfrac{1800}{6} = 300\ \text{m}^2 \).
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Cada dimensión de un cubo se ha incrementado al doble de su tamaño original. Si el nuevo cubo tiene un volumen de 64,000 centímetros cúbicos, ¿cuál es el área de una cara del cubo original?
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Sea \( x \) la longitud original de la arista. La nueva longitud de la arista es \( 2x \).
El nuevo volumen es \( (2x)^3 = 8x^3 = 64,000 \).
\[ x^3 = 8,000 \implies x = \sqrt[3]{8,000} = 20\ \text{cm} \]El área de una cara del cubo original es \( x^2 = 20^2 = 400\ \text{cm}^2 \).
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La bomba A puede llenar un tanque de agua en 5 horas. La bomba B puede llenar el mismo tanque en 8 horas. ¿Cuánto tiempo tardan las dos bombas trabajando juntas en llenar el tanque? (Redondee su respuesta al minuto más cercano).
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La bomba A llena \( 1/5 \) del tanque por hora. La bomba B llena \( 1/8 \) por hora.
Juntas llenan: \( \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{13}{40} \) del tanque por hora.
Tiempo total \( t = \dfrac{40}{13} \) horas, que es \( 3\dfrac{1}{13} \) horas.
Convirtiendo la fracción a minutos: \( \dfrac{1}{13} \times 60 \approx 4.6 \) minutos, que se redondea a 5 minutos. El tiempo total es de 3 horas y 5 minutos.
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Se bombea agua, a un ritmo constante, hacia un tanque de almacenamiento subterráneo que tiene la forma de un prisma rectangular. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor los cambios en la altura del agua en el tanque en función del tiempo?
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Como el agua se bombea a un ritmo constante, la altura debe aumentar de forma lineal. El gráfico que muestra una línea decreciente o una línea plana constante es incorrecto. El gráfico inferior izquierdo que muestra un aumento constante de la altura representa correctamente el escenario.
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Un cateto de un triángulo rectángulo mide 18 cm y su área es de 216 centímetros cuadrados. Encuentre su perímetro.
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Área = \( \dfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} \). Área dada = 216 y cateto \( a = 18 \):
\[ 216 = \dfrac{1}{2} \times 18 \times b \implies 9b = 216 \implies b = 24\ \text{cm} \]Use el teorema de Pitágoras para la hipotenusa \( c \):
\[ c^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 \implies c = 30\ \text{cm} \]Perímetro = \( 18 + 24 + 30 = 72\ \text{cm} \).
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¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 53 lados?
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La fórmula para la suma de los ángulos interiores es \( 180(n - 2) \). Para \( n = 53 \):
\[ \text{Suma} = 180(53 - 2) = 180 \times 51 = 9180^\circ \] -
Jack es más alto que Sarah pero más bajo que Malika y Tania. Malika es más baja que Tania. Natasha es más baja que Sarah. ¿Quién es la persona más baja?
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A partir del texto: Natasha < Sarah < Jack. Jack < Malika < Tania.
La combinación de estas estaturas da el orden continuo: Natasha < Sarah < Jack < Malika < Tania. Natasha es la más baja.
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¿Cuál es la altura (uno de los catetos) y la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles que tiene un área de 800 pies cuadrados?
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Sean ambos catetos \( x \). Área = \( \dfrac{1}{2} x^2 = 800 \implies x^2 = 1600 \implies x = 40\ \text{pies} \).
La hipotenusa \( h \) usando el teorema de Pitágoras: \( h^2 = 40^2 + 40^2 = 3200 \).
\[ h = \sqrt{3200} = 40\sqrt{2} \approx 56.57\ \text{pies} \] -
Encuentre la circunferencia de un círculo inscrito en un cuadrado con un lado de 20 metros.
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El diámetro del círculo inscrito es igual a la longitud del lado del cuadrado (20 m), por lo que el radio \( r = 10\ \text{m} \).
Circunferencia \( C = 2\pi r = 2\pi(10) = 20\pi \approx 62.8\ \text{m} \).
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Dos escuelas diferentes (A y B) tienen la misma cantidad de alumnos. La razón de niños en la escuela A y niños en la escuela B es de 2:1 y la razón de niñas en la escuela A y niñas en la escuela B es de 4:5. Encuentre la razón de niños en la escuela A respecto a las niñas en la escuela A.
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Sean los niños en B \( x \), entonces los niños en A son \( 2x \). Sean las niñas en B \( 5y \), entonces las niñas en A son \( 4y \).
El total de alumnos es igual: \( 2x + 4y = x + 5y \implies x = y \).
Razón de niños a niñas en la escuela A: \( \dfrac{2x}{4y} = \dfrac{2x}{4x} = \dfrac{1}{2} \). La razón es 1:2.
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En una clase, la razón de niños a niñas es de 5:6. Si hay 66 estudiantes en total, ¿cuántas niñas hay en la clase?
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Sean los niños = \( 5x \) y las niñas = \( 6x \). Total de estudiantes = \( 11x = 66 \implies x = 6 \).
Número de niñas = \( 6x = 6(6) = 36 \).
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Una bolsa contiene 5 bolas rojas, 3 bolas verdes y 2 bolas azules. Si se selecciona una bola al azar de la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o azul?
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Total de bolas = \( 5 + 3 + 2 = 10 \). Bolas rojas o azules = \( 5 + 2 = 7 \).
Probabilidad \( = \dfrac{7}{10} \).
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Una escalera está apoyada contra una pared. La base de la escalera está a 6 metros de la pared y la escalera alcanza una altura de 8 metros. ¿Qué longitud tiene la escalera?
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La pared, el suelo y la escalera forman un triángulo rectángulo. La longitud de la escalera \( L \) es la hipotenusa:
\[ L = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ \text{m} \] -
El precio de una chaqueta aumentó de \( \$80 \) a \( \$100\). ¿Cuál es el aumento porcentual?
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Aumento = \( \$100 - \$80 = \$20 \).
Aumento porcentual = \( \left( \dfrac{\text{Aumento}}{\text{Original}} \right) \times 100 = \left(\dfrac{20}{80}\right) \times 100 = 25\% \).
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Joe condujo a una velocidad de 45 millas por hora durante cierta distancia. Luego condujo a una velocidad de 55 millas por hora durante la misma distancia. ¿Cuál es la velocidad promedio de todo el viaje?
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Sea la distancia \( d \). Distancia total = \( 2d \). Tiempo total = \( \dfrac{d}{45} + \dfrac{d}{55} \).
El denominador común es 495: \( \dfrac{11d}{495} + \dfrac{9d}{495} = \dfrac{20d}{495} \).
Velocidad promedio = \( \dfrac{2d}{\dfrac{20d}{495}} = 2d \times \dfrac{495}{20d} = \dfrac{990}{20} = 49.5\ \text{mph} \).
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Dos bolas A y B giran a lo largo de una pista circular. La bola A da 2 vueltas completas en 26 minutos. La bola B da 5 vueltas completas en 35 minutos. Si comienzan a girar ahora desde el mismo punto, ¿cuándo volverán a estar en el mismo punto de partida?
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Tiempo para una vuelta de A = \( 26 / 2 = 13 \) min. Para B = \( 35 / 5 = 7 \) min.
El momento en que se vuelven a encontrar es el MCM de 13 y 7, que es \( 13 \times 7 = 91 \) minutos.
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Los números \( x , y , z \) y \( w \) tienen un promedio igual a 25. El promedio de \( x , y \) y \( z \) es igual a 27. Encuentre \( w \).
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Suma de 4 números: \( x + y + z + w = 4 \times 25 = 100 \).
Suma de los 3 primeros números: \( x + y + z = 3 \times 27 = 81 \).
Por lo tanto, \( 81 + w = 100 \implies w = 19 \).
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Peter condujo a una velocidad constante durante 2 horas. Luego se detuvo durante una hora para hacer algunas compras y descansar, y luego regresó a casa conduciendo a una velocidad constante. ¿Qué gráfico representa mejor los cambios en la distancia desde su casa mientras Peter conducía?
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La distancia desde su casa primero debe aumentar (se aleja conduciendo), mantenerse plana (compras/descanso) y luego disminuir de regreso a cero (conduce a casa). Solo el gráfico inferior izquierdo muestra esta trayectoria exacta.
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Inicialmente, el prisma rectangular de la izquierda estaba lleno de agua. Luego se vertió agua en el recipiente cilíndrico de la derecha de modo que las alturas del agua en ambos recipientes sean iguales. Encuentre la altura \(h\) del agua en ambos recipientes (redondee su respuesta a la décima de cm más cercana).
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Volumen del prisma izquierdo = \( 2 \times 4 \times 10 = 80\ \text{cm}^3 \). Esta agua se reparte entre el prisma del medio y el cilindro.
Volumen del prisma central = \( 2 \times 4 \times h = 8h \). Volumen del cilindro = \( \pi (1)^2 h = \pi h \).
Total: \( 8h + \pi h = 80 \implies h(8 + \pi) = 80 \implies h = \dfrac{80}{8 + 3.14} \approx 7.2\ \text{cm} \).
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El tamaño del perímetro del cuadrado ABCD es igual a 100 cm. La longitud del segmento MN es igual a 5 cm y el triángulo MNC es un triángulo rectángulo isósceles. Encuentre el área del pentágono ABNMD.
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Perímetro del cuadrado = 100, por lo que la longitud del lado = 25 cm. Área total = 625 cm².
El triángulo MNC es un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa MN = 5. Por el teorema de Pitágoras: \( MC^2 + NC^2 = 5^2 \). Puesto que \( MC = NC \), \( 2MC^2 = 25 \implies MC^2 = 12.5 \).
Área del triángulo = \( \dfrac{1}{2} \times MC \times NC = \dfrac{1}{2}(12.5) = 6.25\ \text{cm}^2 \).
Área del pentágono = \( 625 - 6.25 = 618.75\ \text{cm}^2 \).
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Dany compró un total de 20 tarjetas de juego, algunas de las cuales costaban $0.25 cada una y otras $0.15 cada una. Si Dany gastó $4.20 para comprar estas tarjetas, ¿cuántas tarjetas de cada tipo compró?
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Sea \( X \) = tarjetas de $0.25, \( Y \) = tarjetas de $0.15.
\[ X + Y = 20 \implies Y = 20 - X \] \[ 0.25X + 0.15Y = 4.20 \implies 25X + 15Y = 420 \]Sustituya \( Y \): \( 25X + 15(20 - X) = 420 \implies 10X + 300 = 420 \implies 10X = 120 \implies X = 12 \).
Por lo tanto, \( Y = 8 \). Compró 12 tarjetas a $0.25 y 8 tarjetas a $0.15.
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Se lanza un dado de seis caras una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que el número obtenido sea un número par mayor que 2?
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Resultados posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Números pares mayores que 2: 4 y 6.
Probabilidad = \( \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \).
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Un recipiente cilíndrico tiene un radio de 4 cm y una altura de 10 cm. ¿Cuál es su volumen? (Use \( \pi \approx 3.14 \))
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Fórmula: \( V = \pi r^2 h \).
\[ V = 3.14 \times 4^2 \times 10 = 3.14 \times 16 \times 10 = 502.4\ \text{cm}^3 \]