Esta página presenta una colección de problemas de ecuaciones cuadráticas de 8º grado, completos con detalladas soluciones paso a paso y explicaciones claras. Expanda las soluciones ocultas debajo de cada pregunta para revelar el razonamiento algebraico necesario para traducir escenarios del mundo real en modelos matemáticos.
Las preguntas en esta página ayudan a los estudiantes a dominar aplicaciones clave de las ecuaciones cuadráticas, incluyendo:
Dos números enteros consecutivos tienen la forma:
\[ x \quad \text{y} \quad x + 1 \]Su producto es igual a 56:
\[ x(x + 1) = 56 \]Resuelva y encuentre los dos números \( x \) y \( x + 1 \). La ecuación anterior puede expandirse y escribirse en forma estándar de la siguiente manera:
\[ x^{2} + x - 56 = 0 \]Factorice y resuelva:
\[ (x - 7)(x + 8) = 0 \]Soluciones: \( x = 7 \) o \( x = -8 \).
\( x = -8 \) no es válido dado que el problema establece que los números deben ser positivos. Por lo tanto, \( x = 7 \).
Los dos números enteros positivos consecutivos son 7 y 8 (ya que \( 7 + 1 = 8 \)).
Dos números enteros consecutivos tienen la forma:
\[ x \quad \text{y} \quad x + 1 \]La suma de sus cuadrados es igual a 145:
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} = 145 \]Expanda y agrupe términos similares, luego escriba en forma estándar:
\[ x^{2} + (x^{2} + 2x + 1) = 145 \] \[ 2x^{2} + 2x + 1 - 145 = 0 \] \[ 2x^{2} + 2x - 144 = 0 \]Divida todos los términos por 2 para simplificar la ecuación:
\[ x^{2} + x - 72 = 0 \]Factorice y resuelva:
\[ (x + 9)(x - 8) = 0 \]Soluciones: \( x = -9 \) o \( x = 8 \).
Dado que el problema especifica números enteros positivos, solo \( x = 8 \) es válido.
Los dos números positivos consecutivos son 8 y 9.
El área de un rectángulo es igual a la longitud por el ancho, por lo tanto:
\[ (x + 2)(x + 1) = 42 \]Expanda y agrupe términos similares:
\[ x^{2} + 3x + 2 = 42 \]Reescriba en forma estándar restando 42 de ambos lados:
\[ x^{2} + 3x - 40 = 0 \]Factorice y resuelva:
\[ (x + 8)(x - 5) = 0 \]Soluciones: \( x = -8 \) y \( x = 5 \).
Si \( x = -8 \), el ancho (\( x+1 \)) sería -7, lo cual es físicamente imposible. Solo \( x = 5 \) da una longitud y un ancho positivos válidos.
Calcule las dimensiones:
El perímetro es \( 2 \times \text{longitud} + 2 \times \text{ancho} \):
\[ 2(7) + 2(6) = 14 + 12 = 26 \]El perímetro del jardín es 26.
Sea \( y \) la longitud del cateto más corto. Entonces el cateto más largo es:
\[ y + 3 \]La hipotenusa es 3 cm más larga que el cateto más largo, por lo tanto:
\[ (y + 3) + 3 = y + 6 \]Use el teorema de Pitágoras (\( a^2 + b^2 = c^2 \)):
\[ y^{2} + (y + 3)^{2} = (y + 6)^{2} \]Expanda los cuadrados y simplifique:
\[ y^{2} + (y^{2} + 6y + 9) = y^{2} + 12y + 36 \]Reste \( y^2 + 12y + 36 \) de ambos lados para formar una ecuación cuadrática estándar:
\[ y^{2} - 6y - 27 = 0 \]Factorice y resuelva:
\[ (y - 9)(y + 3) = 0 \]Soluciones: \( y = 9 \) o \( y = -3 \).
Solo \( y = 9 \) es válido ya que la longitud debe ser positiva.
La longitud de la hipotenusa es \( y + 6 \):
\[ 9 + 6 = 15 \text{ cm} \]El objeto está a 80 pies sobre el suelo cuando \( h = 80 \), así que sustituya 80 en la ecuación:
\[ -16t^{2} + 64t + 32 = 80 \]Reescriba en forma estándar restando 80 de ambos lados:
\[ -16t^{2} + 64t + 32 - 80 = 0 \] \[ -16t^{2} + 64t - 48 = 0 \]Divida toda la ecuación por -16 para simplificar:
\[ t^{2} - 4t + 3 = 0 \]Factorice y resuelva:
\[ (t - 1)(t - 3) = 0 \]Soluciones: \( t = 1 \) segundo y \( t = 3 \) segundos.
Explicación: El objeto alcanza los 80 pies en su ascenso en \( t = 1 \) segundo, continúa hasta su punto máximo y luego pasa los 80 pies nuevamente en su descenso en \( t = 3 \) segundos.
Sea \( L \) la longitud y \( W \) el ancho. Basado en el área:
\[ L \times W = 96 \]El perímetro es 40, lo que produce:
\[ 2L + 2W = 40 \]Divida por 2 y resuelva para \( L \):
\[ L + W = 20 \implies L = 20 - W \]Sustituya esta expresión para \( L \) en la ecuación del área:
\[ (20 - W) \times W = 96 \]Expanda y reorganice en forma cuadrática estándar:
\[ 20W - W^{2} = 96 \implies W^{2} - 20W + 96 = 0 \]Factorice y resuelva:
\[ (W - 8)(W - 12) = 0 \]Soluciones: \( W = 8 \) o \( W = 12 \).
Ahora, encuentre las longitudes correspondientes:
Por convención, la longitud suele ser el lado más largo. Por lo tanto, las dimensiones son ancho = 8 m y longitud = 12 m.
Sea \( b \) la base. Entonces la altura es \( b + 3 \). Usando la fórmula del área para un triángulo (\( A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} \)):
\[ 54 = \frac{1}{2} \times b \times (b + 3) \]Multiplique ambos lados por 2 para eliminar la fracción:
\[ 108 = b(b + 3) \]Expanda y reescriba como una ecuación cuadrática estándar:
\[ b^{2} + 3b - 108 = 0 \]Factorice y resuelva:
\[ (b + 12)(b - 9) = 0 \]Soluciones: \( b = -12 \) o \( b = 9 \).
Dado que una longitud de base debe ser positiva, \( b = 9 \).
La altura es \( b + 3 = 9 + 3 = 12 \).
La base es de 9 pies y la altura es de 12 pies.
Sean los tres enteros positivos consecutivos \( x \), \( x + 1 \) y \( x + 2 \).
El producto del primero y el tercero es:
\[ x(x + 2) = x^{2} + 2x \]Uno menos que el cuadrado del segundo entero es:
\[ (x + 1)^{2} - 1 = (x^{2} + 2x + 1) - 1 = x^{2} + 2x \]Observe que ambas expresiones algebraicas se simplifican a \( x^2 + 2x \). Esto crea la ecuación:
\[ x^{2} + 2x = x^{2} + 2x \]Dado que esto resulta en \( 0 = 0 \), es una identidad algebraica. Esto significa que la ecuación es cierta para todos los números reales \( x \).
Por lo tanto, cualquier conjunto de tres números enteros positivos consecutivos satisface esta condición (por ejemplo, 1, 2, 3 o 10, 11, 12).
Sea \( x \) el número más pequeño. Dado que su diferencia es \( \frac{7}{2} \), el número más grande es \( x + \frac{7}{2} \).
Su producto es 2:
\[ x \left( x + \frac{7}{2} \right) = 2 \]Expanda la expresión:
\[ x^{2} + \frac{7}{2} x = 2 \]Reescriba como una ecuación cuadrática estándar restando 2:
\[ x^{2} + \frac{7}{2} x - 2 = 0 \]Multiplique toda la ecuación por 2 para eliminar la fracción:
\[ 2x^{2} + 7x - 4 = 0 \]Factorice la ecuación cuadrática:
\[ (2x - 1)(x + 4) = 0 \]Soluciones: \( x = \frac{1}{2} \) o \( x = -4 \).
El problema pide números positivos, por lo que el número más pequeño es \( x = \frac{1}{2} \).
El número más grande es \( \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
Los dos números son \( \frac{1}{2} \) y 4.
Sean los tres enteros consecutivos \( x \), \( x + 1 \) y \( x + 2 \).
La suma de sus cuadrados es 77:
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} + (x + 2)^{2} = 77 \]Expanda los cuadrados:
\[ x^{2} + (x^{2} + 2x + 1) + (x^{2} + 4x + 4) = 77 \]Combine términos similares:
\[ 3x^{2} + 6x + 5 = 77 \]Reste 77 de ambos lados para formar una ecuación cuadrática estándar:
\[ 3x^{2} + 6x - 72 = 0 \]Divida toda la ecuación por 3 para simplificar:
\[ x^{2} + 2x - 24 = 0 \]Factorice y resuelva:
\[ (x + 6)(x - 4) = 0 \]Soluciones: \( x = -6 \) o \( x = 4 \).
Debido a que el problema pide números enteros (y no los restringe solo a los positivos), hay dos conjuntos válidos de respuestas.