Esta página presenta una colección de problemas de ecuaciones cuadráticas para 8º grado, con soluciones detalladas y explicaciones claras. Estos problemas ayudan a los estudiantes a practicar y dominar conceptos clave. Para más información sobre el tema, visita nuestro tutorial de ecuaciones cuadráticas.
El producto de dos números enteros positivos consecutivos es igual a 56. Encuentra los dos números.
Dos números enteros consecutivos son de la forma:
\( x \) y \( x + 1 \)
Su producto es igual a 56:
\[ x(x + 1) = 56 \]Resolvemos para encontrar los dos números. La ecuación anterior se puede escribir como:
\[ x^{2} + x - 56 = 0 \]Factorizamos y resolvemos:
\[ (x - 7)(x + 8) = 0 \]Soluciones: \( x = 7 \), \( x = -8 \)
\( x = -8 \) no es válido porque los números deben ser positivos. Por lo tanto:
\( x = 7 \) y \( x + 1 = 8 \) son los dos números consecutivos.
La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es igual a 145. Encuentra los dos números.
Dos números enteros consecutivos son de la forma:
\( x \) y \( x + 1 \)
La suma de sus cuadrados es igual a 145:
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} = 145 \]Expandimos y agrupamos términos semejantes, luego escribimos en forma estándar:
\[ 2x^{2} + 2x - 144 = 0 \]Dividimos todos los términos por 2:
\[ x^{2} + x - 72 = 0 \]Factorizamos y resolvemos:
\[ (x + 9)(x - 8) = 0 \]Soluciones: \( x = 8 \) (solo la solución positiva)
Los dos números consecutivos son:
\( x = 8 \) y \( x + 1 = 9 \).
Un jardín rectangular tiene un largo de x + 2 y un ancho de x + 1 y un área de 42. Encuentra el perímetro de este jardín.
El área es igual al largo por el ancho, entonces:
\[ (x + 2)(x + 1) = 42 \]Expandimos y agrupamos términos semejantes:
\[ x^{2} + 3x + 2 = 42 \]Reescribimos en forma estándar:
\[ x^{2} + 3x - 40 = 0 \]Factorizamos y resolvemos:
\[ (x + 8)(x - 5) = 0 \]Soluciones: \( x = -8 \) y \( x = 5 \)
Solo \( x = 5 \) da un largo y ancho positivos:
Largo: \( x + 2 = 7 \)
Ancho: \( x + 1 = 6 \)
El perímetro es:
\[ 2 \times \text{largo} + 2 \times \text{ancho} = 14 + 12 = 26 \]Un triángulo rectángulo tiene un cateto que mide 3 cm más que el otro. Su hipotenusa es 3 cm más larga que el cateto más largo. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?
Sea \( y \) la longitud del cateto más corto. Entonces el cateto más largo es:
\( y + 3 \)
La hipotenusa es 3 cm más larga que el cateto más largo, entonces:
\( (y + 3) + 3 = y + 6 \)
Usamos el teorema de Pitágoras:
\[ y^{2} + (y + 3)^{2} = (y + 6)^{2} \]Expandimos y simplificamos:
\[ y^{2} + y^{2} + 6y + 9 = y^{2} + 12y + 36 \] \[ y^{2} - 6y - 27 = 0 \]Factorizamos y resolvemos:
\[ (y - 9)(y + 3) = 0 \]Solo \( y = 9 \) es válido porque la longitud debe ser positiva.
Longitud de la hipotenusa:
\( y + 6 = 15 \text{ cm} \)
La altura h sobre el suelo de un objeto propulsado verticalmente está dada por \( h = -16 t^2 + 64 t + 32 \), donde \( h \) está en pies y \( t \) en segundos. ¿En qué tiempo \( t \) estará el objeto a 80 pies sobre el suelo?
El objeto está a 80 pies sobre el suelo cuando \( h = 80 \), entonces:
\[ -16t^{2} + 64t + 32 = 80 \]Reescribimos en forma estándar:
\[ -16t^{2} + 64t + 32 - 80 = 0 \implies -16t^{2} + 64t - 48 = 0 \]Factorizamos y resolvemos:
\[ -16(t^{2} - 4t + 3) = 0 \] \[ -16 (t - 1)(t - 3) = 0 \]Soluciones: \( t = 1 \) segundo y \( t = 3 \) segundos.
El objeto alcanza 80 pies en \( t = 1 \), sube, luego baja y pasa nuevamente por 80 pies en \( t = 3 \) antes de seguir cayendo.
El área de un rectángulo es igual a 96 metros cuadrados. Encuentra el largo y el ancho del rectángulo si su perímetro es igual a 40 metros.
Sea \( L \) el largo y \( W \) el ancho. Dado:
\[ L \times W = 96 \]El perímetro es 40, entonces:
\[ 2L + 2W = 40 \implies L + W = 20 \implies L = 20 - W \]Sustituimos en la ecuación del área:
\[ (20 - W) \times W = 96 \]Expandimos y reorganizamos:
\[ 20W - W^{2} = 96 \implies W^{2} - 20W + 96 = 0 \]Factorizamos y resolvemos:
\[ (W - 8)(W - 12) = 0 \]Soluciones: \( W = 8 \), \( W = 12 \)
Encontramos el \( L \) correspondiente:
\[ \begin{cases} W = 8 \implies L = 12 \\ W = 12 \implies L = 8 \end{cases} \]Asumiendo que el largo es mayor, las dimensiones son:
\( W = 8 \) y \( L = 12 \)
La altura de un triángulo es 3 pies más larga que su base correspondiente. El área del triángulo es igual a 54 pies cuadrados. Encuentra la base y la altura del triángulo.
Sea \( b \) la base, entonces la altura es \( b + 3 \). Fórmula del área:
\[ 54 = \frac{1}{2} \times b \times (b + 3) \]Multiplicamos ambos lados por 2:
\[ 108 = b(b + 3) \]Reescribimos como una ecuación cuadrática:
\[ b^{2} + 3b - 108 = 0 \]Resolvemos la ecuación cuadrática:
\[ b = 9 \quad \text{o} \quad b = -12 \]La base debe ser positiva, entonces \( b = 9 \). La altura es:
\[ 9 + 3 = 12 \]El producto del primero y el tercero de tres números enteros positivos consecutivos es igual a 1 restado del cuadrado del segundo de estos números. Encuentra los tres números.
Sean los números \( x \), \( x + 1 \), y \( x + 2 \).
El producto del primero y el tercero es:
\[ A = x(x + 2) = x^{2} + 2x \]Uno menos que el cuadrado del segundo:
\[ B = (x + 1)^{2} - 1 = x^{2} + 2x + 1 - 1 = x^{2} + 2x \]Ambas expresiones \( A \) y \( B \) son iguales para todo \( x \) real. Por lo tanto, cualquier conjunto de tres números enteros consecutivos cumple que: el producto del primero y el tercero de tres números enteros positivos consecutivos es igual a 1 restado del cuadrado del segundo.
El producto de dos números positivos es igual a 2 y su diferencia es igual a \( \dfrac{7}{2} \). Encuentra los dos números.
Sea \( x \) el número más pequeño. Entonces el número más grande es \( x + \frac{7}{2} \).
El producto es:
\[ x \left( x + \frac{7}{2} \right) = 2 \]Expandimos y escribimos como una ecuación cuadrática estándar:
\[ x^{2} + \frac{7}{2} x - 2 = 0 \]Resolvemos la ecuación:
\[ x = \frac{1}{2} \quad \text{o} \quad x = -4 \]La solución positiva es \( x = \frac{1}{2} \), entonces los números son:
\[ \frac{1}{2} \quad \text{y} \quad \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = 4 \]La suma de los cuadrados de tres números enteros consecutivos es igual a 77. ¿Cuáles son los tres números?
Sean los números \( x \), \( x + 1 \), y \( x + 2 \).
La suma de sus cuadrados es:
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} + (x + 2)^{2} = 77 \]Expandimos y simplificamos:
\[ 3x^{2} + 6x - 72 = 0 \]Resolvemos la ecuación cuadrática:
\[ x = 4 \quad \text{o} \quad x = -6 \]Para \( x = 4 \), los números son:
\( 4, 5, 6 \)
Para \( x = -6 \), los números son:
\( -6, -5, -4 \)