Álgebra de 9º grado: Preguntas de práctica y soluciones

Problemas de práctica de álgebra

1. Simplificación de expresiones algebraicas: Simplifique las siguientes expresiones algebraicas.

   1. \( -6x + 5 + 12x - 6 \)
   2. \( 2(x - 9) + 6(-x + 2) + 4x \)
   3. \( 3x^2 + 12 + 9x - 20 + 6x^2 - x \)
   4. \( (x + 2)(x + 4) + (x + 5)(-x - 1) \)
   5. \( 1.2(x - 9) - 2.3(x + 4) \)
   6. \( (x^2y)(xy^2) \)
   7. \( (-x^2y^2)(xy^2) \)
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   1. Agrupe términos semejantes y simplifique:

      • \( (-6x + 12x) + (5 - 6) \)
      • \( = 6x - 1 \)

   2. Expanda paréntesis y luego agrupe términos semejantes:

      • \( 2x - 18 - 6x + 12 + 4x \)
      • \( (2x - 6x + 4x) + (-18 + 12) \)
      • \( = -6 \)

   3. Agrupe términos semejantes y simplifique:

      • \( (3x^2 + 6x^2) + (9x - x) + (12 - 20) \)
      • \( = 9x^2 + 8x - 8 \)

   4. Expanda paréntesis y recolecte términos semejantes:

      • \( (x^2 + 4x + 2x + 8) + (-x^2 - x - 5x - 5) \)
      • \( x^2 + 6x + 8 - x^2 - 6x - 5 \)
      • \( (x^2 - x^2) + (6x - 6x) + (8 - 5) \)
      • \( = 3 \)

   5. Expanda y agrupe decimales:

      • \( 1.2x - 10.8 - 2.3x - 9.2 \)
      • \( (1.2x - 2.3x) + (-10.8 - 9.2) \)
      • \( = -1.1x - 20 \)

   6. Reescriba usando las leyes de exponentes (sume exponentes de bases iguales):

      • \( (x^2 \cdot x^1)(y^1 \cdot y^2) \)
      • \( = x^3y^3 \)

   7. Aplique las leyes de exponentes y mantenga el signo negativo:

      • \( -(x^2 \cdot x^1)(y^2 \cdot y^2) \)
      • \( = -x^3y^4 \)
2. Expresiones racionales: Simplifique las siguientes fracciones algebraicas.

   1. \( \dfrac{(a b^2)(a^3 b)}{a^2 b^3} \)
   2. \( \dfrac{21 x^5}{3 x^4} \)
   3. \( \dfrac{(6 x^4)(4 y^2)}{(3 x^2)(16 y)} \)
   4. \( \dfrac{4x - 12}{4} \)
   5. \( \dfrac{-5x - 10}{x + 2} \)
   6. \( \dfrac{x^2 - 4x - 12}{x^2 - 2x - 24} \)
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   1. Simplifique primero el numerador y luego divida:

      • Numerador: \( a^1 \cdot a^3 = a^4 \), y \( b^2 \cdot b^1 = b^3 \) \(\rightarrow a^4b^3\)
      • Fracción: \( \dfrac{a^4 b^3}{a^2 b^3} = \left(\dfrac{a^4}{a^2}\right) \cdot \left(\dfrac{b^3}{b^3}\right) \)
      • \( = a^2 \)

   2. Divida los coeficientes y aplique la regla del cociente de exponentes:

      • \( \left(\dfrac{21}{3}\right) \cdot \left(\dfrac{x^5}{x^4}\right) \)
      • \( = 7x \)

   3. Multiplique los términos en el numerador y el denominador, luego simplifique:

      • \( \dfrac{24 x^4 y^2}{48 x^2 y} \)
      • \( \left(\dfrac{24}{48}\right) \cdot \left(\dfrac{x^4}{x^2}\right) \cdot \left(\dfrac{y^2}{y^1}\right) \)
      • \( = \dfrac{1}{2} x^2 y \)

   4. Factorice el término común del numerador:

      • \( \dfrac{4(x - 3)}{4} \)
      • \( = x - 3 \)

   5. Factorice -5 del numerador:

      • \( \dfrac{-5(x + 2)}{x + 2} \)
      • Cancele el factor común \( (x + 2) \) (asumiendo \(x \neq -2\))
      • \( = -5 \)

   6. Factorice tanto el numerador como el denominador:

      • Numerador: \( (x - 6)(x + 2) \)
      • Denominador: \( (x - 6)(x + 4) \)
      • \( \dfrac{(x - 6)(x + 2)}{(x - 6)(x + 4)} \)
      • \( = \dfrac{x + 2}{x + 4} \) (para \( x \neq 6 \) y \( x \neq -4 \))
3. Ecuaciones lineales: Resuelva para \( x \) en las siguientes ecuaciones.

   1. \( 2x = 6 \)
   2. \( 6x - 8 = 4x + 4 \)
   3. \( 4(x - 2) = 2(x + 3) + 7 \)
   4. \( 0.1x - 1.6 = 0.2x + 2.3 \)
   5. \( -\dfrac{x}{5} = 2 \)
   6. \( \dfrac{x - 4}{-6} = 3 \)
   7. \( \dfrac{-3x + 1}{x - 2} = -3 \)
   8. \( \dfrac{x}{5} + \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{1}{5} \)
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   1. Divida ambos lados por 2: \( x = \dfrac{6}{2} \) -> \( x = 3 \)
   2. Reste \(4x\) y sume \(8\) a ambos lados: \( 2x = 12 \) -> \( x = 6 \)
   3. Expanda: \( 4x - 8 = 2x + 6 + 7 \) -> \( 2x = 21 \) -> \( x = \dfrac{21}{2} \)
   4. Reste \(0.2x\) y sume \(1.6\): \( -0.1x = 3.9 \) -> \( x = -39 \)
   5. Multiplique por -5: \( x = -10 \)
   6. Multiplique por -6: \( x - 4 = -18 \) -> \( x = -14 \)
   7. Multiplique por \( (x - 2) \): \( -3x + 1 = -3x + 6 \) -> \( 1 = 6 \) -> Sin solución real.
   8. Multiplique por el Mínimo Común Múltiplo (15): \( 3x + 5(x - 1) = 3 \) -> \( 8x - 5 = 3 \) -> \( x = 1 \)
4. Ecuaciones cuadráticas: Encuentre todas las soluciones reales para las siguientes ecuaciones.

   1. \( 2x^2 - 8 = 0 \)
   2. \( x^2 = -5 \)
   3. \( 2x^2 + 5x - 7 = 0 \)
   4. \( (x - 2)(x + 3) = 0 \)
   5. \( (x + 7)(x - 1) = 9 \)
   6. \( x(x - 6) = -9 \)
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   1. Divida por 2 y factorice: \( (x - 2)(x + 2) = 0 \) -> Soluciones: \(\{-2, 2\}\)
   2. Un número real al cuadrado no puede ser negativo -> Sin solución real.
   3. Factorice: \( (2x + 7)(x - 1) = 0 \) -> Soluciones: \(\left\{-\dfrac{7}{2}, 1\right\}\)
   4. Ya está factorizada: \( x - 2 = 0 \) o \( x + 3 = 0 \) -> Soluciones: \(\{-3, 2\}\)
   5. Expanda y reorganice: \( x^2 + 6x - 16 = 0 \) -> \( (x + 8)(x - 2) = 0 \) -> Soluciones: \(\{-8, 2\}\)
   6. Expanda: \( x^2 - 6x + 9 = 0 \) -> \( (x - 3)^2 = 0 \) -> Solución: \(\{3\}\)
5. Otras ecuaciones no lineales: Encuentre soluciones reales para las siguientes ecuaciones.

   1. \( x^3 - 1728 = 0 \)
   2. \( x^3 = -64 \)
   3. \( \sqrt{x} = -1 \)
   4. \( \sqrt{x} = 5 \)
   5. \( \sqrt{\dfrac{x}{100}} = 4 \)
   6. \( \sqrt{\dfrac{200}{x}} = 2 \)
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   1. Raíz cúbica de 1728: \( x = 12 \)
   2. Raíz cúbica de -64: \( x = -4 \)
   3. La raíz cuadrada principal no es negativa -> Sin solución real.
   4. Eleve al cuadrado: \( x = 25 \)
   5. Eleve al cuadrado: \( \dfrac{x}{100} = 16 \) -> \( x = 1600 \)
   6. Eleve al cuadrado: \( \dfrac{200}{x} = 4 \) -> \( x = 50 \)
6. Evaluación de expresiones: Evalúe para los valores dados de \( a \) y \( b \).

   1. \( a^2 + b^2 \) para \( a = 2 \) y \( b = 2 \)
   2. \( |2a - 3b| \) para \( a = -3 \) y \( b = 5 \)
   3. \( 3a^3 - 4b^4 \) para \( a = -1 \) y \( b = -2 \)
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   1. \( 2^2 + 2^2 = 4 + 4 \) -> 8
   2. \( |2(-3) - 3(5)| = |-6 - 15| = |-21| \) -> 21
   3. \( 3(-1)^3 - 4(-2)^4 = 3(-1) - 4(16) = -3 - 64 \) -> -67
7. Desigualdades: Resuelva las siguientes desigualdades.

   1. \( x + 3 < 0 \)
   2. \( x + 1 > -x + 5 \)
   3. \( 2(x - 2) < -(x + 7) \)
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   1. Reste 3: \( x < -3 \)
   2. Sume \( x \) y reste 1: \( 2x > 4 \) -> \( x > 2 \)
   3. Expanda: \( 2x - 4 < -x - 7 \) -> \( 3x < -3 \) -> \( x < -1 \)
8. Discriminante: ¿Para qué valor de la constante \( k \) la ecuación cuadrática \( x^2 + 2x = -2k \) tiene dos soluciones reales distintas?
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   • Forma estándar: \( x^2 + 2x + 2k = 0 \)
   • Discriminante \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(2k) = 4 - 8k \)
   • Para dos soluciones reales distintas, \( D > 0 \): \( 4 - 8k > 0 \)
   • Resuelva: \( 4 > 8k \) -> \( k < \dfrac{1}{2} \)
9. Pendientes de ecuaciones lineales: ¿Para qué valor de la constante \( b \) la ecuación lineal \( 2x + by = 2 \) tiene una pendiente igual a 2?
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   • Forma pendiente-intersección: \( by = -2x + 2 \) -> \( y = -\dfrac{2}{b}x + \dfrac{2}{b} \)
   • Pendiente \( m = -\dfrac{2}{b} \). Igualar a 2: \( -\dfrac{2}{b} = 2 \)
   • \( b = -1 \)
10. Intersecciones: ¿Cuál es la intersección con el eje y de la línea \( -4x + 6y = -12 \)?
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    • Haga \( x = 0 \): \( 6y = -12 \)
    • Intersección con el eje y: \( (0, -2) \)
11. Intersecciones: ¿Cuál es la intersección con el eje x de la línea \( -3x + y = 3 \)?
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    • Haga \( y = 0 \): \( -3x = 3 \)
    • Intersección con el eje x: \( (-1, 0) \)
12. Sistemas de ecuaciones lineales: ¿Cuál es el punto de intersección de las líneas \( x - y = 3 \) y \( -5x - 2y = -22 \)?
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    • De la primera: \( x = 3 + y \). Sustituya en la segunda: \( -5(3 + y) - 2y = -22 \)
    • \( -15 - 5y - 2y = -22 \) -> \( -7y = -7 \) -> \( y = 1 \)
    • Sustituya \( y = 1 \): \( x = 3 + 1 = 4 \)
    • Punto de intersección: \( (4, 1) \)
13. Puntos en una línea: ¿Para qué valor de la constante \( k \) la línea \( -4x + ky = 2 \) pasa por el punto \( (2, -3) \)?
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    • Sustituya \( x = 2, y = -3 \): \( -4(2) + k(-3) = 2 \)
    • \( -8 - 3k = 2 \) -> \( -3k = 10 \)
    • \( k = -\dfrac{10}{3} \)
14. Pendientes de líneas especiales: ¿Cuál es la pendiente de la línea con la ecuación \( y - 4 = 10 \)?
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    • Simplifique: \( y = 14 \). Es una línea horizontal.
    • Pendiente = 0
15. Pendientes de líneas especiales: ¿Cuál es la pendiente de la línea con la ecuación \( 2x = -8 \)?
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    • Simplifique: \( x = -4 \). Es una línea vertical.
    • Pendiente indefinida
16. Intersecciones de líneas especiales: Encuentre las intersecciones con los ejes x e y de la línea \( x = -3 \).
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    • Intersección eje x: \( (-3, 0) \).
    • Línea vertical paralela al eje y: Sin intersección en y.
17. Intersecciones de líneas especiales: Encuentre las intersecciones con los ejes x e y de la línea \( 3y - 6 = 3 \).
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    • Simplifique: \( y = 3 \). Es una línea horizontal.
    • Intersección eje y: \( (0, 3) \).
    • Línea horizontal paralela al eje x: Sin intersección en x.
18. Pendientes y ejes: ¿Cuál es la pendiente de una línea paralela al eje x?
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    • Es una línea horizontal. Pendiente = 0.
19. Pendientes y ejes: ¿Cuál es la pendiente de una línea perpendicular al eje x?
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    • Es una línea vertical. Pendiente indefinida.

Enlaces y referencias

• Matemáticas de secundaria (grados 6, 7, 8, 9) - Preguntas y problemas gratuitos
• Matemáticas de preparatoria/bachillerato (grados 10, 11 y 12) - Preguntas y problemas gratuitos
• Matemáticas de primaria (grados 4 y 5) con preguntas y problemas gratuitos
• Examen de práctica de matemáticas de 12º grado
• Página de inicio de AnalyzeMath