Explora una variedad de preguntas de álgebra de 9º grado, completas con soluciones paso a paso. Esta colección incluye problemas sobre resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, simplificación de expresiones (incluyendo fracciones) y cálculo de pendientes de rectas. Cada pregunta viene con explicaciones detalladas para ayudar a reforzar la comprensión.
Simplifica las siguientes expresiones algebraicas.
A. Agrupa términos semejantes y simplifica:
\[ -6x + 5 + 12x - 6 = (-6x + 12x) + (5 - 6) = 6x - 1 \]
B. Expande los paréntesis:
\[ 2(x - 9) + 6(-x + 2) + 4x = 2x - 18 - 6x + 12 + 4x \]
Agrupa términos semejantes y simplifica:
\[ (2x - 6x + 4x) + (-18 + 12) = -6 \]
C. Agrupa términos semejantes y simplifica:
\[ 3x^2 + 12 + 9x - 20 + 6x^2 - x \]
\[ = (3x^2 + 6x^2) + (9x - x) + (12 - 20) = 9x^2 + 8x - 8 \]
D. Expande los paréntesis:
\[ (x + 2)(x + 4) + (x + 5)(-x - 1) = x^2 + 4x + 2x + 8 - x^2 - x - 5x - 5 \]
Agrupa términos semejantes:
\[ (x^2 - x^2) + (4x + 2x - x - 5x) + (8 - 5) = 3 \]
E. Expande y agrupa:
\[ 1.2(x - 9) - 2.3(x + 4) = 1.2x - 10.8 - 2.3x - 9.2 = -1.1x - 20 \]
F. Reescribe usando reglas exponenciales:
\[ (x^2y)(xy^2) = (x^2 \cdot x)(y \cdot y^2) = x^3y^3 \]
G. Reescribe la expresión usando reglas exponenciales:
\[ (-x^2y^2)(xy^2) = -(x^2 \cdot x)(y^2 \cdot y^2) = -x^3y^4 \]
Simplifica las expresiones:
A. Simplifica el numerador primero:
\[ \dfrac{(a b^2)(a^3 b)}{a^2 b^3} = \dfrac{a^4 b^3}{a^2 b^3} \]
Reescribe como:
\[ \dfrac{a^4}{a^2} \cdot \dfrac{b^3}{b^3} = a^2 \]
B. Reescribe como:
\[ \dfrac{21 x^5}{3 x^4} = \dfrac{21}{3} \cdot \dfrac{x^5}{x^4} = 7x \]
C. Multiplica términos en el numerador y denominador:
\[ \dfrac{(6 x^4)(4 y^2)}{(3 x^2)(16 y)} = \dfrac{24 x^4 y^2}{48 x^2 y} \]
Reescribe como:
\[ \dfrac{24}{48} \cdot \dfrac{x^4}{x^2} \cdot \dfrac{y^2}{y} = \dfrac{1}{2} x^2 y \]
D. Factoriza 4 en el numerador:
\[ \dfrac{4x - 12}{4} = \dfrac{4(x - 3)}{4} = x - 3 \]
E. Factoriza -5 en el numerador:
\[ \dfrac{-5x - 10}{x + 2} = \dfrac{-5(x + 2)}{x + 2} = -5 \]
F. Factoriza tanto el numerador como el denominador:
\[ \dfrac{x^2 - 4x - 12}{x^2 - 2x - 24} = \dfrac{(x - 6)(x + 2)}{(x - 6)(x + 4)} = \dfrac{x + 2}{x + 4} \quad \text{(para todo } x \neq 6 \text{)} \]
Resuelve para \( x \) las siguientes ecuaciones lineales:
A. Divide ambos lados de la ecuación por 2 y simplifica:
\[ \frac{2x}{2} = \frac{6}{2} \Rightarrow x = 3 \]
B. Suma 8 a ambos lados y agrupa términos semejantes:
\[ 6x - 8 + 8 = 4x + 4 + 8 \Rightarrow 6x = 4x + 12 \]
Suma \( -4x \) a ambos lados:
\[ 6x - 4x = 4x + 12 - 4x \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6 \]
C. Expande paréntesis:
\[ 4x - 8 = 2x + 6 + 7 \Rightarrow 4x - 8 = 2x + 13 \]
Suma 8 a ambos lados:
\[ 4x = 2x + 21 \Rightarrow 2x = 21 \Rightarrow x = \frac{21}{2} \]
D. Suma 1.6 a ambos lados:
\[ 0.1x = 0.2x + 3.9 \Rightarrow -0.1x = 3.9 \Rightarrow x = -39 \]
E. Multiplica ambos lados por \( -5 \):
\[ -5 \left( \frac{-x}{5} \right) = -5 \cdot 2 \Rightarrow x = -10 \]
F. Multiplica ambos lados por \( -6 \):
\[ \frac{(-6)(x - 4)}{-6} = (-6) \cdot 3 \Rightarrow x - 4 = -18 \Rightarrow x = -14 \]
G. Multiplica ambos lados por \( (x - 2) \):
\[ -3x + 1 = -3(x - 2) \Rightarrow -3x + 1 = -3x + 6 \Rightarrow 1 = 6 \]
La última afirmación es falsa, por lo que la ecuación no tiene soluciones.
H. Multiplica todos los términos por el MCM de 5 y 3, que es 15:
\[ 15 \cdot \frac{x}{5} + 15 \cdot \frac{x - 1}{3} = 15 \cdot \frac{1}{5} \Rightarrow 3x + 5(x - 1) = 3 \]
Expande y simplifica:
\[ 3x + 5x - 5 = 3 \Rightarrow 8x = 8 \Rightarrow x = 1 \]
Encuentra todas las soluciones reales de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
A. Divide todos los términos por 2:
\[ x^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ o } x = -2 \]
Conjunto solución: \( \{-2, 2\} \).
B. La ecuación \( x^2 = -5 \) no tiene solución real, ya que el cuadrado de un número real nunca es negativo.
C. Factoriza el lado izquierdo:
\[ (2x + 7)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{2} \text{ o } x = 1 \]
Conjunto solución: \( \left\{ -\frac{7}{2}, 1 \right\} \).
D. La ecuación ya está factorizada:
\[ (x - 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ o } x = -3 \]
Conjunto solución: \( \{-3, 2\} \).
E. Expande el lado izquierdo:
\[ x^2 + 6x - 7 = 9 \Rightarrow x^2 + 6x - 16 = 0 \]
Factoriza:
\[ (x + 8)(x - 2) = 0 \Rightarrow x = -8 \text{ o } x = 2 \]
Conjunto solución: \( \{-8, 2\} \).
F. Expande y reescribe:
\[ x^2 - 6x + 9 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3 \]
Conjunto solución: \( \{3\} \).
Resuelve las siguientes ecuaciones:
A. Reescribe: \( x^3 = 1728 \). Toma la raíz cúbica:
\[ x = \sqrt[3]{1728} = 12 \]
B. Toma la raíz cúbica:
\[ x = \sqrt[3]{-64} = -4 \]
C. La ecuación \( \sqrt{x} = -1 \) no tiene solución real porque la raíz cuadrada principal es no negativa.
D. Eleva al cuadrado ambos lados:
\[ (\sqrt{x})^2 = 5^2 \Rightarrow x = 25 \]
E. Eleva al cuadrado ambos lados:
\[ \left( \sqrt{\frac{x}{100}} \right)^2 = 4^2 \Rightarrow \frac{x}{100} = 16 \Rightarrow x = 1600 \]
F. Eleva al cuadrado ambos lados:
\[ \left( \sqrt{\frac{200}{x}} \right)^2 = 2^2 \Rightarrow \frac{200}{x} = 4 \Rightarrow 200 = 4x \Rightarrow x = 50 \]
Evalúa para los valores dados de \( a \) y \( b \):
A. Sustituye \( a = 2 \) y \( b = 2 \):
\[ a^2 + b^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \]
B. Sustituye \( a = -3 \) y \( b = 5 \):
\[ |2(-3) - 3(5)| = |-6 - 15| = |-21| = 21 \]
C. Sustituye \( a = -1 \) y \( b = -2 \):
\[ 3(-1)^3 - 4(-2)^4 = 3(-1) - 4(16) = -3 - 64 = -67 \]
Resuelve las siguientes desigualdades:
A. Suma \( -3 \) a ambos lados:
\[ x + 3 - 3 < 0 - 3 \Rightarrow x < -3 \]
B. Suma \( x \) a ambos lados:
\[ x + 1 + x > -x + 5 + x \Rightarrow 2x + 1 > 5 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2 \]
C. Expande y simplifica:
\[ 2x - 4 < -x - 7 \Rightarrow 2x + x < -7 + 4 \Rightarrow 3x < -3 \Rightarrow x < -1 \]
¿Para qué valor de la constante \( k \) la ecuación cuadrática \( x^2 + 2x = -2k \) tiene dos soluciones reales distintas?
Reescribe la ecuación: \( x^2 + 2x + 2k = 0 \).
El discriminante es \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(2k) = 4 - 8k \).
Para dos soluciones reales distintas, \( D > 0 \):
\[ 4 - 8k > 0 \Rightarrow -8k > -4 \Rightarrow k < \frac{1}{2} \]
¿Para qué valor de la constante \( b \) la ecuación lineal \( 2x + by = 2 \) tiene una pendiente igual a \( 2 \)?
Despeja \( y \):
\[ by = -2x + 2 \Rightarrow y = \frac{-2}{b}x + \frac{2}{b} \]
La pendiente es \( \frac{-2}{b} \). Se requiere \( \frac{-2}{b} = 2 \):
\[ -2 = 2b \Rightarrow b = -1 \]
¿Cuál es la intersección con el eje \( y \) de la recta \( -4x + 6y = -12 \)?
Establece \( x = 0 \) y resuelve para \( y \):
\[ -4(0) + 6y = -12 \Rightarrow 6y = -12 \Rightarrow y = -2 \]
Intersección con el eje \( y \): \( (0, -2) \).
¿Cuál es la intersección con el eje \( x \) de la recta \( -3x + y = 3 \)?
Establece \( y = 0 \) y resuelve para \( x \):
\[ -3x + 0 = 3 \Rightarrow -3x = 3 \Rightarrow x = -1 \]
Intersección con el eje \( x \): \( (-1, 0) \).
¿Cuál es el punto de intersección de las rectas \( x - y = 3 \) y \( -5x - 2y = -22 \)?
Resuelve el sistema de ecuaciones. De la primera ecuación: \( x = y + 3 \).
Sustituye en la segunda:
\[ -5(y + 3) - 2y = -22 \Rightarrow -5y - 15 - 2y = -22 \Rightarrow -7y = -7 \Rightarrow y = 1 \]
Entonces \( x = 1 + 3 = 4 \).
Punto de intersección: \( (4, 1) \).
¿Para qué valor de la constante \( k \) la recta \( -4x + ky = 2 \) pasa por el punto \( (2, -3) \)?
Sustituye \( x = 2 \) y \( y = -3 \) en la ecuación:
\[ -4(2) + k(-3) = 2 \Rightarrow -8 - 3k = 2 \Rightarrow -3k = 10 \Rightarrow k = -\frac{10}{3} \]
¿Cuál es la pendiente de la recta con ecuación \( y - 4 = 10 \)?
Reescribe: \( y = 14 \). Es una recta horizontal, por lo tanto la pendiente es 0.
¿Cuál es la pendiente de la recta con ecuación \( 2x = -8 \)?
Divide por 2: \( x = -4 \). Es una recta vertical, por lo tanto la pendiente es indefinida.
Encuentra las intersecciones con los ejes \( x \) e \( y \) de la recta con ecuación \( x = -3 \).
La recta \( x = -3 \) es vertical. Intersección con el eje \( x \): \( (-3, 0) \). No tiene intersección con el eje \( y \).
Encuentra las intersecciones con los ejes \( x \) e \( y \) de la recta con ecuación \( 3y - 6 = 3 \).
Simplifica: \( 3y = 9 \Rightarrow y = 3 \). Es una recta horizontal. Intersección con el eje \( y \): \( (0, 3) \). No tiene intersección con el eje \( x \).
¿Cuál es la pendiente de una recta paralela al eje \( x \)?
Una recta paralela al eje \( x \) es horizontal, por lo tanto su pendiente es 0.
¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular al eje \( x \)?
Una recta perpendicular al eje \( x \) es vertical, por lo tanto su pendiente es indefinida.