Soluciones a Preguntas de Álgebra para 9º Grado

Se presentan soluciones detalladas y explicaciones completas de los problemas de álgebra para 9º grado.

  1. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas.

    1. Agrupa términos semejantes y simplifica. \[ -6x + 5 + 12x - 6 = (-6x + 12x) + (5 - 6) = 6x - 1 \]
    2. Expande los paréntesis. \[ 2(x - 9) + 6(-x + 2) + 4x = 2x - 18 - 6x + 12 + 4x \] Agrupa términos semejantes y simplifica. \[ (2x - 6x + 4x) + (-18 + 12) = -6 \]
    3. Agrupa términos semejantes y simplifica. \[ 3x^{2} + 12 + 9x - 20 + 6x^{2} - x \] \[ = (3x^{2} + 6x^{2}) + (9x - x) + (12 - 20) = 9x^{2} + 8x - 8 \]
    4. Expande los paréntesis. \[ (x + 2)(x + 4) + (x + 5)(-x - 1) \] \[ = x^{2} + 4x + 2x + 8 - x^{2} - x - 5x - 5 \] Agrupa términos. \[ (x^{2} - x^{2}) + (4x + 2x - x - 5x) + (8 - 5) = 3 \]
    5. Expande y agrupa. \[ 1.2(x - 9) - 2.3(x + 4) = 1.2x - 10.8 - 2.3x - 9.2 \] \[ = -1.1x - 20 \]
    6. Reescribe de la siguiente manera. \[ (x^{2}y)(xy^{2}) = (x^{2} \cdot x)(y \cdot y^{2}) \] Usando las reglas de los exponentes: \[ = x^{3} y^{3} \]
    7. Reescribe la expresión de la siguiente manera. \[ (-x^{2}y^{2})(xy^{2}) = -(x^{2} \cdot x)(y^{2} \cdot y^{2}) \] Usando las reglas de los exponentes: \[ = -x^{3} y^{4} \]

  2. Simplifica las expresiones.

    1. Simplifica primero el numerador usando las reglas de exponentes: \[ (a b^{2})(a^{3} b) / (a^{2} b^{3}) = (a^{4} b^{3}) / (a^{2} b^{3}) \] Reescribe como: \[ \left(\frac{a^{4}}{a^{2}}\right) \left(\frac{b^{3}}{b^{3}}\right) \] Simplifica: \[ a^{2} \]
    2. Reescribe como: \[ \frac{21x^{5}}{3x^{4}} = \left(\frac{21}{3}\right)\left(\frac{x^{5}}{x^{4}}\right) \] Simplifica: \[ 7x \]
    3. Multiplica y simplifica: \[ \frac{(6x^{4})(4y^{2})}{(3x^{2})(16y)} = \frac{24x^{4}y^{2}}{48x^{2}y} \] Reescribe como: \[ \left(\frac{24}{48}\right)\left(\frac{x^{4}}{x^{2}}\right)\left(\frac{y^{2}}{y}\right) \] Simplifica: \[ \frac{1}{2}x^{2}y \]
    4. Factoriza 4 en el numerador: \[ \frac{4x - 12}{4} = \frac{4(x - 3)}{4} = x - 3 \]
    5. Factoriza \(-5\) en el numerador: \[ \frac{-5x - 10}{x + 2} = \frac{-5(x + 2)}{x + 2} \] Cancela \(x+2\) (asumiendo \(x \neq -2\)): \[ -5 \]
    6. Factoriza numerador y denominador: \[ \frac{x^{2} - 4x - 12}{x^{2} - 2x - 24} \] Numerador: \[ x^{2} - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2) \] Denominador: \[ x^{2} - 2x - 24 = (x - 6)(x + 4) \] Simplifica: \[ \frac{(x - 6)(x + 2)}{(x - 6)(x + 4)} = \frac{x + 2}{x + 4} \quad (\text{para } x \neq 6, -4) \]

  3. Resuelve para \(x\) las siguientes ecuaciones lineales.

    Solución

    1. Divide ambos lados por 2: \[ \frac{2x}{2} = \frac{6}{2} \] \[ x = 3 \]
    2. Suma 8 a ambos lados: \[ 6x - 8 + 8 = 4x + 4 + 8 \quad \Rightarrow \quad 6x = 4x + 12 \] Resta \(4x\) de ambos lados: \[ 6x - 4x = 12 \quad \Rightarrow \quad 2x = 12 \] Divide por 2: \[ x = 6 \]
    3. Expande los paréntesis: \[ 4x - 8 = 2x + 6 + 7 \] Suma 8 a ambos lados: \[ 4x = 2x + 21 \] Resta \(2x\): \[ 2x = 21 \] Divide por 2: \[ x = \frac{21}{2} \]
    4. Suma 1.6 a ambos lados: \[ 0.1x = 0.2x + 3.9 \] Resta \(0.2x\): \[ -0.1x = 3.9 \] Divide por \(-0.1\): \[ x = -39 \]
    5. Multiplica ambos lados por \(-5\): \[ x = -10 \]
    6. Multiplica ambos lados por \(-6\): \[ x - 4 = -18 \] Suma 4 a ambos lados: \[ x = -14 \]
    7. Multiplica ambos lados por \(x - 2\): \[ -3x + 1 = -3(x - 2) = -3x + 6 \] Suma \(3x\) a ambos lados: \[ 1 = 6 \] Esto es falso, por lo que la ecuación **no tiene solución**.
    8. Multiplica por el MCM de 5 y 3, que es 15: \[ 15\left(\frac{x}{5}\right) + 15\left(\frac{x - 1}{3}\right) = 15\left(\frac{1}{5}\right) \] Simplifica: \[ 3x + 5(x - 1) = 3 \] Expande: \[ 3x + 5x - 5 = 3 \] Combina términos semejantes: \[ 8x - 5 = 3 \] Suma 5: \[ 8x = 8 \] Divide por 8: \[ x = 1 \]

  4. Encuentra las soluciones reales de las siguientes ecuaciones cuadráticas.

    Solución

    1. Divide todos los términos por 2: \[ \frac{2x^2}{2} - \frac{8}{2} = \frac{0}{2} \] Simplifica: \[ x^2 - 4 = 0 \] Factoriza: \[ (x - 2)(x + 2) = 0 \] Resuelve: \[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] \[ x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \] Conjunto solución: \(\{-2, 2\}\)
    2. La ecuación \[ x^2 = -5 \] **no tiene solución real** porque el cuadrado de un número real nunca es negativo.
    3. Factoriza: \[ 2x^2 + 5x - 7 = 0 \] \[ (2x + 7)(x - 1) = 0 \] Resuelve: \[ 2x + 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{7}{2} \] \[ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] Conjunto solución: \(\left\{-\frac{7}{2}, 1\right\}\)
    4. \[ (x - 2)(x + 3) = 0 \] \[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] \[ x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \] Conjunto solución: \(\{-3, 2\}\)
    5. Expande: \[ x^2 + 6x - 7 = 9 \] Lleva todos los términos a un lado: \[ x^2 + 6x - 16 = 0 \] Factoriza: \[ (x + 8)(x - 2) = 0 \] Resuelve: \[ x + 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -8 \] \[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] Conjunto solución: \(\{-8, 2\}\)
    6. Expande y lleva los términos a un lado: \[ x^2 - 6x + 9 = 0 \] Factoriza: \[ (x - 3)^2 = 0 \] Resuelve: \[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \] Conjunto solución: \(\{3\}\)

  5. Encuentra las soluciones reales de las siguientes ecuaciones.

    Solución

    1. Reescribe: \[ x^3 = 1728 \] Calcula la raíz cúbica: \[ (x^3)^{\frac{1}{3}} = (1728)^{\frac{1}{3}} \] Simplifica: \[ x = 12 \]
    2. Calcula la raíz cúbica: \[ (x^3)^{\frac{1}{3}} = (-64)^{\frac{1}{3}} \] Simplifica: \[ x = -4 \]
    3. La ecuación \[ \sqrt{x} = -1 \] **no tiene solución real** porque la raíz cuadrada de un número real nunca es negativa.
    4. Eleva al cuadrado ambos lados: \[ (\sqrt{x})^2 = 5^2 \] Simplifica: \[ x = 25 \]
    5. Eleva al cuadrado ambos lados: \[ \left(\sqrt{\frac{x}{100}}\right)^2 = 4^2 \] Simplifica: \[ \frac{x}{100} = 16 \] Multiplica por 100: \[ x = 1600 \]
    6. Eleva al cuadrado ambos lados: \[ \left(\sqrt{\frac{200}{x}}\right)^2 = 2^2 \] Simplifica: \[ \frac{200}{x} = 4 \] Multiplica ambos lados por \(x\): \[ 200 = 4x \] Resuelve: \[ x = 50 \]

  6. Evalúa para los valores dados de a y b.

    Solución

    1. Para \(a = 2\) y \(b = 2\): \[ a^2 + b^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \] Para \(a = -3\) y \(b = 5\): \[ |2a - 3b| = |2(-3) - 3(5)| = |-6 - 15| = |-21| = 21 \]
    2. Para \(a = -1\) y \(b = -2\): \[ 3a^3 - 4b^4 = 3(-1)^3 - 4(-2)^4 \] \[ = 3(-1) - 4(16) = -3 - 64 = -67 \]

  7. Resuelve las siguientes desigualdades.

    Solución

    1. \[ x + 3 \lt 0 \] Resta 3 de ambos lados: \[ x \lt -3 \]
    2. \[ x + 1 > -x + 5 \] Suma \(x\) a ambos lados: \[ 2x + 1 > 5 \] Resta 1 de ambos lados: \[ 2x > 4 \] Divide por 2: \[ x > 2 \]
    3. \[ 2(x - 2) \lt -(x + 7) \] Expande: \[ 2x - 4 \lt -x - 7 \] Suma 4 a ambos lados: \[ 2x \lt -x - 3 \] Suma \(x\) a ambos lados: \[ 3x \lt -3 \] Divide por 3: \[ x \lt -1 \]

  8. ¿Para qué valor de la constante k la ecuación cuadrática \(x^2 + 2x = -2k\) tiene dos soluciones reales distintas?

    Solución

    Reescribe con el lado derecho igual a cero: \[ x^2 + 2x + 2k = 0 \] El discriminante es: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(2k) = 4 - 8k \] Para dos soluciones reales distintas, \(D > 0\): \[ 4 - 8k > 0 \] \[ k \lt \frac{1}{2} \]

  9. ¿Para qué valor de la constante b la ecuación lineal \(2x + by = 2\) tiene una pendiente igual a 2?

    Solución

    Despeja \(y\): \[ by = -2x + 2 \] \[ y = \frac{-2}{b}x + \frac{2}{b} \] La pendiente es: \[ \frac{-2}{b} = 2 \] Multiplica por \(b\): \[ -2 = 2b \] \[ b = -1 \]

  10. ¿Cuál es la intersección en y de la recta \(-4x + 6y = -12\)?

    Solución

    Establece \(x = 0\): \[ -4(0) + 6y = -12 \] \[ 6y = -12 \] \[ y = -2 \] Intersección en y: \((0, -2)\)

  11. ¿Cuál es la intersección en x de la recta \(-3x + y = 3\)?

    Solución

    Establece \(y = 0\): \[ -3x + 0 = 3 \] \[ -3x = 3 \] \[ x = -1 \] Intersección en x: \((-1, 0)\)

  12. ¿Cuál es el punto de intersección de las rectas \(x - y = 3\) y \(-5x - 2y = -22\)?

    Solución

    De \(x - y = 3\): \[ x = 3 + y \] Sustituye en \(-5x - 2y = -22\): \[ -5(3 + y) - 2y = -22 \] \[ -15 - 5y - 2y = -22 \] \[ -7y = -22 + 15 \] \[ -7y = -7 \] \[ y = 1 \] Sustituye en \(x = 3 + y\): \[ x = 3 + 1 = 4 \] Punto de intersección: \((4, 1)\)

  13. ¿Para qué valor de la constante \(k\) la recta \(-4x + ky = 2\) pasa por el punto \((2, -3)\)?

    Solución

    Sustituye \(x = 2\) y \(y = -3\) en la ecuación: \[ -4(2) + k(-3) = 2 \] \[ -8 - 3k = 2 \] \[ -3k = 10 \] \[ k = -\frac{10}{3} \]

  14. ¿Cuál es la pendiente de la recta \(y - 4 = 10\)?

    Solución

    Reescribe en forma pendiente-intersección: \[ y = 14 \] Esta es una recta horizontal, por lo tanto: \[ \text{pendiente} = 0 \]

  15. ¿Cuál es la pendiente de la recta \(2x = -8\)?

    Solución

    Reescribe: \[ x = -4 \] Esta es una recta vertical, por lo que la pendiente no está definida.

  16. Encuentra las intersecciones en x y en y de la recta \(x = -3\).

    Solución

    Esta es una recta vertical con solo intersección en x: \[ (-3, 0) \]

  17. Encuentra las intersecciones en x y en y de la recta \(3y - 6 = 3\).

    Solución

    Reescribe: \[ 3y - 6 = 3 \] \[ 3y = 9 \] \[ y = 3 \] Esta es una recta horizontal con solo intersección en y: \[ (0, 3) \]

  18. ¿Cuál es la pendiente de una recta paralela al eje x?

    Solución

    Una recta paralela al eje x es horizontal: \[ \text{pendiente} = 0 \]

  19. ¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular al eje x?

    Solución

    Una recta perpendicular al eje x es vertical, por lo que la pendiente no está definida.

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