Resolver ecuaciones: Preguntas y soluciones paso a paso - 9º grado

Esta página está diseñada para ayudar a los estudiantes a dominar la resolución de ecuaciones lineales con un enfoque detallado y paso a paso. Una ecuación es una afirmación matemática que asegura que dos expresiones son iguales, separadas por un signo igual (\(=\)).

¿Qué es una solución?
La solución de una ecuación es el valor específico de la variable desconocida (como \(x\)) que convierte la ecuación en una afirmación verdadera.

Ejemplo: ¿Es \(x = 2\) una solución para \(2x + 2 = x + 4\)?
Evalúe el lado izquierdo: \( 2(2) + 2 = 6 \)
Evalúe el lado derecho: \( 2 + 4 = 6 \)
Como ambos lados son iguales, \(x = 2\) es una solución.

Propiedades importantes de la igualdad

Para resolver una ecuación, el objetivo es aislar la variable desconocida en un lado. Lo hacemos usando las propiedades de la igualdad:

Propiedad de la suma / resta Si sumas o restas la misma cantidad en ambos lados de una ecuación, la ecuación permanece equilibrada y tiene la misma solución.
Propiedad de la multiplicación / división Si multiplicas o divides ambos lados de una ecuación por la misma cantidad distinta de cero, la ecuación permanece equilibrada y tiene la misma solución.

Ejemplos guiados

Revise estos ejemplos guiados para ver cómo se aplican las propiedades para aislar variables, manejar paréntesis y despejar fracciones.

  1. Ecuación simple: Resuelva la ecuación \( 2x + 1 = -5 \) y verifique la solución obtenida.

    Ver solución paso a paso

    La idea principal es aislar \( x \) en un lado de la ecuación. Reste \( 1 \) de ambos lados:

    \[ \begin{aligned} 2x + 1 - 1 &= -5 - 1 \\ 2x &= -6 \end{aligned} \]

    Divida ambos lados por 2:

    \[ \begin{aligned} \dfrac{2x}{2} &= \dfrac{-6}{2} \\ x &= -3 \end{aligned} \]
    Verifique la solución:
    Lado izquierdo (LHS): \( 2(-3) + 1 = -6 + 1 = -5 \)
    Lado derecho (RHS): \( -5 \)
    Dado que LHS = RHS, \( x = -3 \) es correcto.

  2. Variables en ambos lados: Resuelva la ecuación \( x - 2 - 3x = -7 - x \) y verifique la solución.

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    Primero, agrupe los términos semejantes en el lado izquierdo (\( x \) y \( -3x \)):

    \[ -2x - 2 = -7 - x \]

    Sume \( 2 \) a ambos lados para mover los términos constantes a la derecha:

    \[ -2x = -x - 5 \]

    Sume \( x \) a ambos lados para mover los términos variables a la izquierda:

    \[ \begin{aligned} -2x + x &= -5 \\ -x &= -5 \end{aligned} \]

    Multiplique o divida ambos lados por \( -1 \):

    \[ x = 5 \]
    Verifique la solución:
    LHS: \( 5 - 2 - 3(5) = 5 - 2 - 15 = -12 \)
    RHS: \( -7 - (5) = -12 \)
    Dado que LHS = RHS, \( x = 5 \) es correcto.

  3. Ecuaciones que involucran paréntesis: Resuelva la ecuación \( -2(x - 2) + 3 = 3(-x + 4) - 3 \).

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    Use la ley distributiva, \( a(b+c) = ab + ac \), para eliminar los paréntesis en ambos lados:

    \[ -2x + 4 + 3 = -3x + 12 - 3 \]

    Combine términos semejantes en cada lado:

    \[ -2x + 7 = -3x + 9 \]

    Sume \( 3x \) a ambos lados y reste \( 7 \) de ambos lados para aislar \( x \):

    \[ \begin{aligned} -2x + 3x &= 9 - 7 \\ x &= 2 \end{aligned} \]
    Verifique la solución:
    LHS: \( -2(2 - 2) + 3 = -2(0) + 3 = 3 \)
    RHS: \( 3(-2 + 4) - 3 = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3 \)
    Dado que LHS = RHS, \( x = 2 \) es correcto.

  4. Ecuaciones que involucran fracciones: Resuelva la ecuación \( \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \).

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    Para eliminar las fracciones, multiplique ambos lados por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores 3 y 2, que es 6.

    \[ 6 \left( \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} \right) = 6 \left( \dfrac{1}{3} \right) \]

    Distribuya el 6 a cada término:

    \[ \begin{aligned} \dfrac{6x}{3} - \dfrac{6}{2} &= \dfrac{6}{3} \\ 2x - 3 &= 2 \end{aligned} \]

    Sume 3 a ambos lados, luego divida por 2:

    \[ \begin{aligned} 2x &= 5 \\ x &= \dfrac{5}{2} \end{aligned} \]
    Verifique la solución:
    LHS: \( \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{5}{2}\right) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \)
    Dado que LHS = RHS, \( x = \dfrac{5}{2} \) es correcto.

Preguntas de práctica

Resuelva las siguientes ecuaciones y verifique su respuesta comprobando la solución.

  1. \( 2x + 2 = 6 \)

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    Reste 2 de ambos lados:

    \[ \begin{aligned} 2x + 2 - 2 &= 6 - 2 \\ 2x &= 4 \end{aligned} \]

    Divida ambos lados por 2:

    \[ \begin{aligned} \dfrac{2x}{2} &= \dfrac{4}{2} \\ x &= 2 \end{aligned} \]
    Comprobación: LHS: \( 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6 \). Ambos lados son iguales.

  2. \( 5y - 2 = 7y - 8 \)

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    Reste \( 5y \) de ambos lados:

    \[ \begin{aligned} 5y - 2 - 5y &= 7y - 8 - 5y \\ -2 &= 2y - 8 \end{aligned} \]

    Sume 8 a ambos lados:

    \[ \begin{aligned} -2 + 8 &= 2y \\ 6 &= 2y \end{aligned} \]

    Divida por 2:

    \[ y = 3 \]
    Comprobación: LHS: \( 5(3) - 2 = 13 \). RHS: \( 7(3) - 8 = 13 \). Ambos lados son iguales.

  3. \( -2x + 4 + 5x = 7 + 4x - 3 \)

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    Combine términos semejantes en cada lado:

    \[ 3x + 4 = 4x + 4 \]

    Reste \( 3x \) y 4 de ambos lados:

    \[ \begin{aligned} 4 - 4 &= 4x - 3x \\ 0 &= x \end{aligned} \]
    Comprobación: LHS: \( -2(0) + 4 + 5(0) = 4 \). RHS: \( 7 + 4(0) - 3 = 4 \). Ambos lados son iguales.

  4. \( 0.2d + 4 = -0.1d - 2 \)

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    Sume \( 0.1d \) a ambos lados y reste 4 de ambos lados:

    \[ \begin{aligned} 0.2d + 0.1d &= -2 - 4 \\ 0.3d &= -6 \end{aligned} \]

    Divida ambos lados por 0.3:

    \[ \begin{aligned} d &= \dfrac{-6}{0.3} \\ d &= -20 \end{aligned} \]
    Comprobación: LHS: \( 0.2(-20) + 4 = -4 + 4 = 0 \). RHS: \( -0.1(-20) - 2 = 2 - 2 = 0 \). Ambos lados son iguales.

  5. \( -2(2x - 6) = -(x - 4) \)

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    Expanda ambos lados usando la ley distributiva:

    \[ -4x + 12 = -x + 4 \]

    Sume \( 4x \) a ambos lados y reste 4:

    \[ \begin{aligned} 12 - 4 &= -x + 4x \\ 8 &= 3x \end{aligned} \]

    Divida por 3:

    \[ x = \dfrac{8}{3} \]
    Comprobación: LHS: \( -2\left(2\left(\frac{8}{3}\right) - 6\right) = -2\left(\frac{16}{3} - \frac{18}{3}\right) = -2\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3} \).
    RHS: \( -\left(\frac{8}{3} - 4\right) = -\left(\frac{8}{3} - \frac{12}{3}\right) = -\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \). Ambos lados son iguales.

  6. \( -(x + 2) + 4 = 2(x + 3) + x \)

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    Expanda y combine términos semejantes:

    \[ \begin{aligned} -x - 2 + 4 &= 2x + 6 + x \\ -x + 2 &= 3x + 6 \end{aligned} \]

    Sume \( x \) y reste 6 de ambos lados:

    \[ \begin{aligned} 2 - 6 &= 3x + x \\ -4 &= 4x \\ -1 &= x \end{aligned} \]
    Comprobación: LHS: \( -(-1 + 2) + 4 = -1 + 4 = 3 \). RHS: \( 2(-1 + 3) + (-1) = 2(2) - 1 = 3 \). Ambos lados son iguales.

  7. \( \dfrac{x}{5} = -6 \)

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    Multiplique ambos lados por 5 para aislar \( x \):

    \[ \begin{aligned} 5 \left(\dfrac{x}{5}\right) &= 5(-6) \\ x &= -30 \end{aligned} \]
    Comprobación: LHS: \( \dfrac{-30}{5} = -6 \). Ambos lados son iguales.

  8. \( -\dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{2} \)

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    Multiplique ambos lados por -3 para despejar la fracción y el signo negativo:

    \[ \begin{aligned} (-3) \left(-\dfrac{x}{3}\right) &= (-3) \left(\dfrac{1}{2}\right) \\ x &= -\dfrac{3}{2} \end{aligned} \]
    Comprobación: LHS: \( -\dfrac{(-3/2)}{3} = \dfrac{3/2}{3} = \dfrac{1}{2} \). Ambos lados son iguales.

  9. \( -\dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{2} - x \)

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    Multiplique toda la ecuación por 4 para eliminar las fracciones:

    \[ \begin{aligned} 4 \left(-\dfrac{x}{4}\right) &= 4 \left(\dfrac{1}{2} - x\right) \\ -x &= 2 - 4x \end{aligned} \]

    Sume \( 4x \) a ambos lados:

    \[ \begin{aligned} 3x &= 2 \\ x &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]
    Comprobación: LHS: \( -\dfrac{2/3}{4} = -\dfrac{2}{12} = -\dfrac{1}{6} \).
    RHS: \( \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{4}{6} = -\dfrac{1}{6} \). Ambos lados son iguales.

  10. \( -\dfrac{x - 3}{7} = \dfrac{1}{2}(-2x + 6) \)

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    Multiplique ambos lados por el mcm de 7 y 2 (que es 14) para eliminar las fracciones:

    \[ \begin{aligned} 14 \left( -\dfrac{x - 3}{7} \right) &= 14 \left( \dfrac{1}{2}(-2x + 6) \right) \\ -2(x - 3) &= 7(-2x + 6) \end{aligned} \]

    Expanda usando la ley distributiva:

    \[ -2x + 6 = -14x + 42 \]

    Sume \( 14x \) y reste 6 de ambos lados:

    \[ \begin{aligned} 12x &= 36 \\ x &= 3 \end{aligned} \]
    Comprobación: LHS: \( -\dfrac{3 - 3}{7} = 0 \). RHS: \( \dfrac{1}{2}(-2(3) + 6) = 0 \). Ambos lados son iguales.

  11. \( -\dfrac{1}{2} - x + 5 = \dfrac{1}{5} + 2(x - 2) \)

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    Primero, elimine las fracciones multiplicando cada término por el mcm de 2 y 5 (que es 10):

    \[ 10 \left(-\dfrac{1}{2} - x + 5\right) = 10 \left(\dfrac{1}{5} + 2(x - 2)\right) \]

    Distribuya el 10 con cuidado:

    \[ -5 - 10x + 50 = 2 + 20(x - 2) \]

    Combine términos constantes a la izquierda y expanda los paréntesis a la derecha:

    \[ \begin{aligned} -10x + 45 &= 2 + 20x - 40 \\ -10x + 45 &= 20x - 38 \end{aligned} \]

    Sume \( 10x \) y sume 38 a ambos lados:

    \[ \begin{aligned} 45 + 38 &= 20x + 10x \\ 83 &= 30x \\ x &= \dfrac{83}{30} \end{aligned} \]
    Comprobación: LHS: \( -\dfrac{1}{2} - \dfrac{83}{30} + 5 = -\dfrac{15}{30} - \dfrac{83}{30} + \dfrac{150}{30} = \dfrac{52}{30} = \dfrac{26}{15} \).
    RHS: \( \dfrac{1}{5} + 2\left(\dfrac{83}{30} - \dfrac{60}{30}\right) = \dfrac{3}{15} + 2\left(\dfrac{23}{30}\right) = \dfrac{3}{15} + \dfrac{46}{30} = \dfrac{3}{15} + \dfrac{23}{15} = \dfrac{26}{15} \). Ambos lados son iguales.

Enlaces y referencias

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