Encontrar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) en Matemáticas
Preguntas de 7º Grado con Soluciones Detalladas

¿Cómo encuentras el mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números en matemáticas? Esta página proporciona preguntas de matemáticas de 7º grado junto con soluciones paso a paso. Haz clic en la flecha debajo de cada pregunta para revelar la explicación detallada.

¿Qué es el Mínimo Común Múltiplo (MCM)?

Es el número entero más pequeño que es divisible por cada uno de los números dados. Alternativamente, es el múltiplo entero más pequeño de esos números.

Dos Métodos para Encontrar el MCM

Método 1: Enumerar Múltiplos (Mejor para números pequeños)

Ejemplo: Encuentra el MCM de 6 y 8.

Enumera los primeros múltiplos de ambos números y detente tan pronto como encuentres un múltiplo común.

El mínimo común múltiplo de 6 y 8 es 24.

Método 2: Factorización en Números Primos (Mejor para todos los números)

Ejemplo: Encuentra el MCM de 42 y 60.

Paso 1: Encuentra la factorización en números primos de 42:
\( 42 = 2 \times 3 \times 7 \)

Paso 2: Encuentra la factorización en números primos de 60:
\( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)

Paso 3: El MCM es el producto de todos los números primos encontrados en las factorizaciones, utilizando la potencia más alta de cada número primo.

MCM = \( 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = \mathbf{420} \)

Consejo: Puedes usar una Calculadora de Mínimo Común Múltiplo para verificar tus respuestas.

Preguntas de Práctica

  1. Pregunta: Encuentra el mínimo común múltiplo de 5 y 15.
    Ver Solución Paso a Paso ▼

    Las factorizaciones en números primos de 5 y 15 son:

    \( 5 = 5^1 \)

    \( 15 = 3^1 \times 5^1 \)

    El MCM está dado por el producto de todos los números primos en la factorización con la potencia más alta:

    MCM = \( 3^1 \times 5^1 = \mathbf{15} \).

  2. Pregunta: Encuentra el mínimo común múltiplo de 8, 12 y 18.
    Ver Solución Paso a Paso ▼

    Encuentra las factorizaciones en números primos de 8, 12 y 18:

    \( 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \)

    \( 12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1 \)

    \( 18 = 2 \times 3 \times 3 = 2^1 \times 3^2 \)

    Toma la potencia más alta de cada factor primo (2 y 3):

    MCM = \( 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = \mathbf{72} \).

  3. Pregunta: Encuentra el mínimo común múltiplo de 70 y 90.
    Ver Solución Paso a Paso ▼

    Encuentra las factorizaciones en números primos de 70 y 90:

    \( 70 = 2^1 \times 5^1 \times 7^1 \)

    \( 90 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \)

    Toma la potencia más alta de cada factor primo (2, 3, 5 y 7):

    MCM = \( 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1 = 2 \times 9 \times 5 \times 7 = \mathbf{630} \).

  4. Pregunta: ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 180, 216 y 450?
    Ver Solución Paso a Paso ▼

    Encuentra las factorizaciones en números primos:

    \( 180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)

    \( 216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \)

    \( 450 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 2^1 \times 3^2 \times 5^2 \)

    Toma la potencia más alta de cada número primo (2, 3 y 5):

    MCM = \( 2^3 \times 3^3 \times 5^2 = 8 \times 27 \times 25 = \mathbf{5400} \).

  5. Pregunta: Para los siguientes pares de números, encuentra el MCM y el Máximo Común Divisor (MCD). Luego, compara el producto del MCM y el MCD con el producto de los números originales.
    a) 12 y 16
    b) 30 y 45
    c) 60 y 160
    Ver Solución Paso a Paso ▼

    Parte a) 12 y 16

    • Factorización en números primos: \( 12 = 2^2 \times 3 \),   \( 16 = 2^4 \)
    • MCD = \( 2^2 = 4 \)
    • MCM = \( 2^4 \times 3 = 48 \)
    • Producto del MCM y el MCD: \( 48 \times 4 = \mathbf{192} \)
    • Producto de los números: \( 12 \times 16 = \mathbf{192} \)

    Los dos productos son iguales.

    Parte b) 30 y 45

    • Factorización en números primos: \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \),   \( 45 = 3^2 \times 5 \)
    • MCD = \( 3 \times 5 = 15 \)
    • MCM = \( 2 \times 3^2 \times 5 = 90 \)
    • Producto del MCM y el MCD: \( 90 \times 15 = \mathbf{1350} \)
    • Producto de los números: \( 30 \times 45 = \mathbf{1350} \)

    Los dos productos son iguales.

    Parte c) 60 y 160

    • Factorización en números primos: \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \),   \( 160 = 2^5 \times 5 \)
    • MCD = \( 2^2 \times 5 = 20 \)
    • MCM = \( 2^5 \times 3 \times 5 = 480 \)
    • Producto del MCM y el MCD: \( 480 \times 20 = \mathbf{9600} \)
    • Producto de los números: \( 60 \times 160 = \mathbf{9600} \)

    Los dos productos son iguales.

    Conclusión: Siempre es cierto que para cualesquiera dos números enteros \( M \) y \( N \), la relación es:
    \( \text{MCD} \times \text{MCM} = M \times N \)

Enlaces y Referencias

Página Principal