A continuación se presentan varios problemas verbales sobre porcentajes con explicaciones claras y soluciones detalladas.
El precio original de una camisa era \(\$20\). Se redujo a \(\$15\). ¿Cuál es el porcentaje de disminución del precio de esta camisa?
Solución
La disminución absoluta es
\[ 20 - 15 = 5 \]El porcentaje de disminución es la disminución absoluta dividida por el precio original (parte/todo):
\[ \frac{5}{20} = 0,25 \]Convirtiendo a porcentaje:
\[ 0,25 \times 100\% = 25\% \]Mary tiene un salario mensual de \(\$1200\). Gasta \(\$280\) al mes en comida. ¿Qué porcentaje de su salario mensual gasta en comida?
Solución
La fracción del salario gastada en comida es
\[ \frac{280}{1200} = 0,2333 \approx 0,23 \]Convirtiendo a porcentaje:
\[ 0,23 \times 100\% = 23\% \]El precio de un par de pantalones se redujo en un 22% a \(\$30\). ¿Cuál era el precio original de los pantalones?
Solución
Sea \(x\) el precio original y \(y\) la disminución absoluta. Entonces
\[ x - y = 30 \]Dado que \(y = 22\%\) de \(x\):
\[ y = 0,22x \]Sustituyendo en la primera ecuación:
\[ x - 0,22x = 30 \] \[ 0,78x = 30 \quad \Rightarrow \quad x = 38,46 \]El precio original era aproximadamente \(\$38,50\).
El precio de un artículo cambió de \(\$120\) a \(\$100\). Luego el precio disminuyó nuevamente de \(\$100\) a \(\$80\). ¿Cuál de las dos disminuciones fue mayor en términos porcentuales?
Solución
Primera disminución en porcentaje:
\[ \frac{120 - 100}{120} = \frac{20}{120} \approx 16,7\% \]Segunda disminución en porcentaje:
\[ \frac{100 - 80}{100} = \frac{20}{100} = 20\% \]La segunda disminución es mayor en términos porcentuales porque el total (precio original) es más pequeño.
El precio de un artículo disminuyó un 20% a \(\$200\). Luego el precio disminuyó nuevamente de \(\$200\) a \(\$150\). ¿Cuál es el porcentaje de disminución desde el precio original hasta el precio final?
Solución
Sea \(x\) el precio original:
\[ x - 0,20x = 200 \quad \Rightarrow \quad 0,8x = 200 \quad \Rightarrow \quad x = 250 \]El porcentaje de disminución total es:
\[ \frac{250 - 150}{250} = \frac{100}{250} = 0,4 = 40\% \]Un número aumenta de 30 a 40 y luego disminuye de 40 a 30. Compara el porcentaje de aumento y el porcentaje de disminución.
Solución
Porcentaje de aumento:
\[ \frac{40 - 30}{30} = \frac{10}{30} = 0,333 \approx 33\% \]Porcentaje de disminución:
\[ \frac{40 - 30}{40} = \frac{10}{40} = 0,25 = 25\% \]En términos absolutos, el porcentaje de disminución es menor que el porcentaje de aumento porque los valores base son diferentes.
Una familia cenó en un restaurante y pagó \(\$30\) por la comida. También tuvo que pagar un 9,5% de impuesto a las ventas y un 10% de propina. ¿Cuánto pagaron en total?
Solución
\[ 30 + 0,095 \times 30 + 0,10 \times 30 = 30 + 2,85 + 3 = \$35,85 \]Total pagado: \(\$35,85\)
Una tienda ofrece camisas a \(\$20\) cada una. Comprar 2 camisas da un 15% de descuento en ambas camisas y un 10% de descuento adicional en la segunda camisa. ¿Cuánto se pagaría por dos camisas?
Solución
Precio de cada una de las camisas después del primer descuento:
\[ 20 - 0,15 \times 20 = 17 \]Precio de la segunda camisa después del descuento del 10%:
\[ 17 - 0,10 \times 17 = 15,3 \]Costo total por dos camisas:
\[ 17 + 15,3 = 32,3 \]Smith invirtió \(\$5000\) por dos años. Durante el primer año, la tasa de interés fue del 7% y durante el segundo año fue del 8,5%. ¿Cuánto interés ganó al final del período de dos años?
Solución
Interés del primer año:
\[ 0,07 \times 5000 = 350 \]Interés del segundo año (sobre el capital + interés del primer año):
\[ 0,085 \times (5000 + 350) = 454,75 \]Interés total:
\[ 350 + 454,75 = 804,75 \]Janette invirtió \(\$2000\) al 5% compuesto anualmente durante 5 años. ¿Cuánto interés ganó al final de los 5 años?
Solución
Capital al final de 5 años:
\[ P_5 = 2000 \times (1 + 0,05)^5 = 2000 \times 1,27628 \approx 2552,56 \]Interés ganado:
\[ 2552,56 - 2000 = 552,56 \]Tom pidió prestado \(\$600\) al 10% de interés simple por 3 años. ¿Cuánto paga al final de los 3 años?
Solución
\[ \text{Interés} = 600 \times 0,10 \times 3 = 180 \] \[ \text{Pago total} = 600 + 180 = 780 \]Población mundial: 6,6 mil millones, con 1,2 mil millones en países más ricos creciendo al 0,25% por año y 5,4 mil millones en países menos desarrollados creciendo al 1,5% por año. ¿Cuál será la población total en 5 años? (redondear a 3 cifras significativas)
Solución
\[ P_R = 1,2 \times (1 + 0,0025)^5 \] \[ P_L = 5,4 \times (1 + 0,015)^5 \] \[ P_\text{mundo} = P_R + P_L \approx 7,03 \text{ mil millones} \]Cassandra invirtió \(\$10.000\) en dos partes: una al 7,5%, la otra al 8,5%. El ingreso de ambas inversiones es \(\$820\). ¿Cuánto se invirtió en cada tasa?
Solución
Sean \( x \) y \( y \) las cantidades invertidas al 7,5% y 8,5% respectivamente. \[ \begin{cases} x + y = 10000 \\ 0,075x + 0,085y = 820 \end{cases} \] Resolviendo el sistema de ecuaciones. \[ x = 3000, \quad y = 7000 \]El salario mensual \(S\) de un asistente de tienda es un fijo de \(\$500\) más el 5% de todas las ventas mensuales. ¿Cuáles deberían ser las ventas mensuales para que su salario alcance \(\$1500\)?
Solución
Sea \( x \) las ventas mensuales. \[ S = 500 + 0,05x \] \[ 1500 = 500 + 0,05x \quad \Rightarrow \quad x = 20000 \]Un químico tiene soluciones ácidas al 20% y 40%. ¿Qué cantidades de cada una se deben usar para hacer 300 ml de una solución ácida al 28%?
Solución
Sean \( x \) y \( y \) las soluciones al 20% y 40% respectivamente. \[ x + y = 300 \] \[ 0,20x + 0,40y = 0,28 \times 300 \] Resolviendo el sistema de ecuaciones. \[ x = 180, \quad y = 120 \]¿Qué porcentaje del área total del disco circular está coloreado de rojo?
Solución
Área total del disco \[ A_\text{disco} = \pi r^2 \] Ángulo \( t \) en radianes del ángulo central del sector rojo \[ t = (360 - 120) \frac{\pi}{180} = \frac{4}{3}\pi \] Área de la parte roja \[ A_\text{rojo} = \frac{1}{2} t r^2 \] \[ P = \frac{A_\text{rojo}}{A_\text{disco}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^2}{\pi r^2} = \frac{4}{6} \approx 66,7\% \]¿Qué porcentaje del área total del rectángulo está coloreado de rojo?
Solución
Área del rectángulo \[ A_\text{rect} = L \times A \] Área del triángulo rojo \[ A_\text{triángulo} = \frac{1}{2} \times L \times \frac{A}{2} = \frac{1}{4} LA \] Porcentaje del área del triángulo rojo (sobre el área total) \[ P = \frac{A_\text{triángulo}}{A_\text{rect}} = \frac{1}{4} = 25\% \]