Convertir coordenadas polares y rectangulares

Las coordenadas rectangulares \( (x, y) \) y las coordenadas polares \( (R, t) \) están relacionadas por las siguientes fórmulas.

Estas fórmulas nos permiten convertir puntos de un sistema de coordenadas al otro.

Para encontrar el ángulo polar \( t \), debes tener en cuenta los signos de \( x \) e \( y \), que determinan el cuadrante correcto.

El ángulo \( t \) se toma usualmente en el intervalo \[ [0, 2\pi) \quad \text{o} \quad [0^\circ, 360^\circ) \]

Ejemplos de conversión entre coordenadas polares y rectangulares

Ejemplo 1

Convierte las coordenadas polares \( (5, 2.01) \) y \( (0.2, 53^\circ) \) a coordenadas rectangulares, redondeando a tres decimales.

Solución al Ejemplo 1

• Primer punto: \( (5, 2.01) \)
  Aquí \( R = 5 \) y \( t = 2.01 \) radianes. Configura la calculadora en radianes. \[ x = R \cos t = 5 \cos(2.01) = -2.126 \] \[ y = R \sin t = 5 \sin(2.01) = 4.525 \]
• Segundo punto: \( (0.2, 53^\circ) \)
  Aquí \( R = 0.2 \) y \( t = 53^\circ \). Configura la calculadora en grados. \[ x = R \cos t = 0.2 \cos(53^\circ) = 0.120 \] \[ y = R \sin t = 0.2 \sin(53^\circ) = 0.160 \]

Ejemplo 2

Convierte las coordenadas rectangulares \( (1, 1) \) y \( (-2, -4) \) a coordenadas polares, redondeando a tres decimales. Expresa el ángulo polar \( t \) tanto en radianes como en grados.

Solución al Ejemplo 2

• Para el punto \( (1, 1) \), calcula \( R \): \[ R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]
• Calcula \( \tan t \): \[ \tan t = \frac{y}{x} = \frac{1}{1} = 1 \]
• Usando la tangente inversa: \[ t = \frac{\pi}{4} \quad \text{o} \quad 45^\circ \]
• La forma polar de \( (1, 1) \) es: \[ (\sqrt{2}, \tfrac{\pi}{4}) \quad \text{o} \quad (\sqrt{2}, 45^\circ) \]
• Para el punto \( (-2, -4) \), calcula \( R \): \[ R = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]
• Calcula \( \tan t \): \[ \tan t = \frac{-4}{-2} = 2 \]
• Usando la tangente inversa: \[ t = 1.107 \text{ radianes} \quad \text{o} \quad 63.435^\circ \]
• Dado que tanto \( x \) como \( y \) son negativos, el punto se encuentra en el cuadrante III. Suma \( \pi \) (o \( 180^\circ \)) para obtener el ángulo correcto: \[ t = 4.249 \text{ radianes} \quad \text{o} \quad 243.435^\circ \]
• La forma polar de \( (-2, -4) \) es: \[ (2\sqrt{5}, 4.249) \quad \text{o} \quad (2\sqrt{5}, 243.435^\circ) \]

Más referencias sobre coordenadas polares

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