Sumar, restar y simplificar polinomios

Sumamos y restamos polinomios agrupando términos semejantes. Por lo tanto, primero definimos los términos semejantes, explicamos cómo agruparlos y luego mostramos cómo sumarlos y restarlos para simplificar polinomios.

Se incluyen varios ejemplos resueltos, seguidos de preguntas y sus soluciones.

Una calculadora en línea para expandir y simplificar polinomios se puede utilizar para verificar las respuestas a los ejemplos y ejercicios presentados.

Términos semejantes en un polinomio

Los términos semejantes en un polinomio son términos que tienen la misma variable o variables elevadas a la misma potencia.

Ejemplo 1

  1. \(2x\) y \(-6x\) son términos semejantes porque ambos tienen la misma variable \(x\) elevada a la misma potencia \(1\).
  2. \(2x^2\) y \(3x\) no son términos semejantes porque la variable \(x\) tiene potencia \(2\) en el primer término y potencia \(1\) en el segundo.
  3. \(-x^3\) y \(3x^3\) son términos semejantes porque la variable \(x\) tiene la misma potencia \(3\) en ambos términos.
  4. \(-yx^2\) y \(3x^2\) no son términos semejantes porque el primer término tiene dos variables \(x\) e \(y\), mientras que el segundo término tiene solo una variable \(x\).
  5. \(-y^2x^4\) y \(3x^4y^2\) son términos semejantes porque contienen las mismas variables \(x\) e \(y\), cada una elevada a las mismas potencias respectivas.

Agrupar términos semejantes en un polinomio

Ejemplo 2

Suma y simplifica:

\[ 4x + 6x \]

Solución

Factoriza \(x\) de ambos términos.

\[ 4x + 6x = x(4 + 6) \]

Luego suma los números dentro del paréntesis.

\[ 4x + 6x = 10x \]

Ejemplo 3

Suma y simplifica:

\[ - x^3 + 9x^3 \]

Solución

Factoriza \(x^3\) de ambos términos y suma los coeficientes.

\[ - x^3 + 9x^3 = x^3(-1 + 9) \] \[ = 8x^3 \]

Ejemplo 4

Suma y simplifica:

\[ 3y^2x^4 - 4x^4y^2 \]

Solución

Factoriza \(y^2x^4\) de ambos términos y resta los coeficientes.

\[ 3y^2x^4 - 4x^4y^2 = y^2x^4(3 - 4) \] \[ = -y^2x^4 \]

Sumar y restar polinomios

Sumas y restas polinomios agrupando términos semejantes y luego sumando o restando sus coeficientes.

Ejemplo 5

Suma y simplifica los dos polinomios:

\[ 3x^2 + 2x + 7 \quad \text{y} \quad 7x^2 - 9x - 5 \]

Solución

Agrupa los términos semejantes.

\[ (3x^2 + 7x^2) + (2x - 9x) + (7 - 5) \]

Luego suma cada grupo.

\[ = 10x^2 - 7x + 2 \]

Ejemplo 6

Suma y simplifica:

\[ (3x^2 + 2xy + 7x - y^2) + (-x^2 + 4xy + 10x - 2y^2) \]

Solución

Agrupa los términos semejantes.

\[ (3x^2 - x^2) + (2xy + 4xy) + (7x + 10x) + (-y^2 - 2y^2) \]

Suma cada grupo.

\[ = 2x^2 + 6xy + 17x - 3y^2 \]

Ejemplo 7

Suma, resta y simplifica:

\[ (5x^4 + 2x^3 - 8x^2 - 10x + 2) + (7x^3 - 9x^2 - 5x + 3) - (-x^3 + 2x^2 - 3x + 7) \]

Solución

Elimina los paréntesis. Si un signo menos precede a un conjunto de paréntesis, multiplica cada término dentro por \(-1\).

\[ 5x^4 + 2x^3 - 8x^2 - 10x + 2 + 7x^3 - 9x^2 - 5x + 3 + x^3 - 2x^2 + 3x - 7 \]

Ahora agrupa los términos semejantes.

\[ (5x^4) + (2x^3 + 7x^3 + x^3) + (-8x^2 - 9x^2 - 2x^2) + (-10x - 5x + 3x) + (2 + 3 - 7) \] \[ = 5x^4 + 10x^3 - 19x^2 - 12x - 2 \]

Preguntas

Expande (si es necesario), luego suma o resta y simplifica.

  1. \(2x - 3x + 3y - y + 4x - 5y\)
  2. \(-2(x - 3) - 4(x + y + 2) - 5y\)
  3. \(2x^2 - 3x - 9y^2 - y + 4x - 5y^2 - 5y\)
  4. \((-2x + 4y - 2) - 3(x - 6y - 1) + 5(x - y)\)
  5. \((5x^2 + 4y - 2) - 5(x - 6y^2 - 1) + 6(2x - y)\)

Soluciones

  1. \(3x - 3y\)
  2. \(-6x - 9y - 2\)
  3. \(2x^2 + x - 14y^2 - 6y\)
  4. \(17y + 1\)
  5. \(5x^2 + 30y^2 + 7x - 2y + 3\)

Más referencias y enlaces sobre polinomios