Soluciones a Preguntas sobre Reducción de Expresiones Racionales

Se presentan soluciones con explicaciones detalladas a preguntas sobre reducción de expresiones racionales.
Las expresiones racionales se reducen mediante los siguientes pasos:
1) factorizar el numerador y el denominador de la expresión racional dada completamente
2) dividir el numerador y el denominador por todos los factores comunes Y establecer condiciones sobre la variable para que este(s) factor(es) común(es) no sea(n) igual(es) a cero.
3) simplificar (reducir) la expresión racional dada

1. 
   Para todo \( x \ne 1 \), ¿cuál de las siguientes opciones es equivalente a la expresión racional \( \dfrac{x^2 + 5x - 6}{x - 1} \) ?
   

   Solución

   
   Factorizar el numerador \[ \dfrac{x^2 + 5x - 6}{x - 1} = \dfrac{(x - 1)(x + 6)}{x - 1} \]
   El factor común \( x - 1 \) es igual a cero para \( x = 1 \)
   Para \( x \ne 1 \), dividir el numerador y el denominador por el factor común \( (x - 1) \) . \[ = \dfrac{ \cancel{(x - 1)}(x + 6)}{\cancel{x - 1}} \]
   y reducir la función racional dada a \[ = x + 6 \]
   
   
2. 
   ¿Cuál de las siguientes opciones es una expresión simplificada igual a \( \dfrac{5 - x}{2x - 10} \) para todo \( x \ne 5 \)?
   

   Solución

   
   Factorizar \( -2 \) en el denominador \( 2x - 10 \) de la expresión dada de la siguiente manera \[ \dfrac{5 - x}{2x - 10} = \dfrac{5 - x}{-2(5-x)} \]
   El factor común \( 5 - x \) es igual a cero para \( x = 5 \)
   Para \( x \ne 5 \), dividimos el numerador y el denominador por el factor común \( 5 - x \)
   \[ = \dfrac {\cancel{5 - x}}{-2\cancel{(5-x)}} \]
   y reducir la expresión a \[ = - \dfrac{1}{2} \]
   
   
3. 
   Para todo \( x \ne -4 \), ¿cuál de las expresiones dadas es equivalente a la expresión \( \dfrac{16 - x^2}{x + 4} \) ?
   

   Solución

   
   Factorizar el numerador en la expresión dada de la siguiente manera: \[ \dfrac{16 - x^2}{x + 4} = \dfrac{(4-x)(4+x)}{x + 4} \]
   El factor común \( x + 4 \) es igual a cero para \( x = - 4 \)
   Para \( x \ne - 4\) , dividir numerador y denominador por el factor común \( 4 + x \) \[ = \dfrac{(4-x) \cancel{(4+x)}}{\cancel{x + 4}} \]
   y reducir la expresión racional a \[ = 4 - x \]
   
   
4. 
   Simplificar la siguiente expresión racional \( \dfrac{x + 2}{x^2 + 2x} \).
   

   Solución

   
   Factorizar el denominador en la expresión dada de la siguiente manera \[ \dfrac{x + 2}{x^2 + 2x} = \dfrac{x+2}{x(x+2)} \]
   El factor común \( x + 2 \) es igual a cero para \( x = - 2 \)
   Para \( x \ne -2 \), dividir el numerador y el denominador por el factor común \( x + 2 \) en la expresión racional anterior de la siguiente manera: \[ = \dfrac{\cancel{x+2}}{x\cancel{(x+2)}} \]
   y reducir la expresión dada a \[ = \dfrac{1}{x} \]
   
   
5. 
   Para todo \( x \ne 3\), ¿cuál de las expresiones dadas es equivalente a la expresión \( \dfrac{3-x}{x^2 - x - 6} \) ?
   

   Solución

   
   Factorizar el numerador y el denominador en la expresión dada para que tengan un factor común de la siguiente manera: \[ \dfrac{3-x}{x^2 - x - 6} = - \dfrac{x - 3}{(x + 2)(x - 3)} \]
   El factor común \( x - 3 \) es igual a cero para \( x = 3 \)
   Para \( x \ne 3 \), dividir el numerador y el denominador por el factor común \( x - 3 \) \[ = - \dfrac{\cancel{x - 3}}{(x + 2) \cancel{(x - 3)}} \]
   y reducir la expresión dada a \[ = - \dfrac{1}{x+2} \]
   
   
6. 
   \[ \dfrac{x^3 - x}{x^2 - 1} = \]
   

   Solución

   
   Factorizar el numerador y el denominador en la expresión dada de la siguiente manera \[ \dfrac{x^3 - x}{x^2 - 1} = \dfrac{x(x^2-1)}{x^2-1} \]
   El factor común \( x^2 - 1 \) es igual a cero para \( x = 1 \) o \( x = - 1 \)
   Para \( x \) diferente de \(1\) y \( -1 \), el numerador y el denominador en lo anterior se pueden dividir por el factor común \( x^2-1 \) de la siguiente manera \[ = \dfrac{x \cancel{(x^2-1)}} {\cancel{x^2-1}} \]
   y la expresión reducida a \[ = x \]
   
   
7. 
   \[ \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 4x - 12} = \]
   
   

   Solución

   
   Factorizar el numerador y el denominador en la expresión dada de la siguiente manera \[ \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 4x - 12} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x - 2)(x + 6)} \]
   El factor común \( x - 2 \) es igual a cero para \( x = 2 \)
   Para \( x \ne 2 \), dividimos el numerador y el denominador por el factor común \( x - 2 \) \[ = \dfrac{ \cancel{(x-2)}(x+2)}{\cancel{(x-2)}(x + 6)} \]
   y reducir la expresión dada a \[ = \dfrac{x+2}{x+6} \]
   
   
8. 
   Simplificar la expresión racional \( \dfrac{x^2 + 1}{x^3 + x} \).
   
   

   Solución

   
   Factorizar el denominador en la expresión dada de la siguiente manera: \[ \dfrac{x^2 + 1}{x^3 + x} = \dfrac{x^2 + 1}{x(x^2+1)} \]
   El factor común \( x^2 + 1\) nunca es cero.
   Dividir el numerador y el denominador por el factor común \( x^2+1 \). \[ = \dfrac{\cancel{x^2 + 1}}{x\cancel{(x^2+1)}} \]
   y reducir la expresión dada a \[ = \dfrac{1}{x} \text{ , para todo } x \]
   
   
9. 
   \[ \dfrac{x^2 + 2x - 3}{2x^2 + 3x - 5} = \]
   
   

   Solución

   
   Factorizar el numerador y el denominador en la expresión dada de la siguiente manera. \[ \dfrac{x^2 + 2x - 3}{2x^2 + 3x - 5} = \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{(x - 1)(2x + 5) } \]
   El factor común \( x - 1 \) es igual a cero para \( x = 1 \)
   Para \( x \ne 1 \), dividir el numerador y el denominador por el factor común \( x - 1 \). \[ = \dfrac{\cancel{(x - 1)}(x + 3)}{\cancel{(x - 1)}(2x + 5) } \]
   y reducir la expresión a \[ = \dfrac{x + 3}{2x + 5} \]
   
   
10. 
    Para todo \( x \ne 1 \), ¿cuál de las siguientes opciones es equivalente a la expresión racional \( \dfrac{x-1}{(x^2 - 1)(x + 3)} \) ?
    
    

    Solución

    
    Factorizar el término \( x^2 - 1 \) en el denominador de la siguiente manera: \[ \dfrac{x-1}{(x^2 - 1)(x + 3)} = \dfrac{x - 1}{ (x - 1)(x + 1)(x + 3)} \]
    El factor común \( x - 1 \) es igual a cero para \( x = 1 \)
    Para \( x \ne 1 \), dividir el numerador y el denominador por el factor común \( x - 1 \) de la siguiente manera: \[ \dfrac{\cancel{x - 1}}{ \cancel{(x - 1)}(x + 1)(x + 3)} \]
    y reducir a \[ = \dfrac{1}{(x + 1)(x + 3)} \]

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