Soluciones para Simplificar Radicales

Se presentan soluciones con explicaciones detalladas a las preguntas sobre simplificación de radicales.

En las soluciones a continuación, utilizamos la regla del producto de radicales dada por \[ \sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \, \sqrt{y} \]

1. 
   Simplifica la expresión \( 2 \sqrt{50} + 12 \sqrt{8} \).
   Solución
   Usa el hecho de que \( 50 = 2 \times 25 \) y \( 8 = 2 \times 4 \) para reescribir las expresiones dadas de la siguiente manera:
   \[ 2 \sqrt{50} + 12 \sqrt{8} = 2 \sqrt {2 \times 25} + 12 \sqrt{2 \times 4} \]
   Aplica la regla del producto de radicales \( \sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \, \sqrt{y} \) para reescribir lo anterior como:
   \[ = 2 \sqrt 2 \sqrt{25} + 12 \sqrt 2 \sqrt 4 \]
   Utiliza \( \sqrt{25} = 5 \) y \( \sqrt 4 = 2\) para reescribir:
   \[ = 2 \times 5 \times \sqrt 2 + 12 \times 2 \times \sqrt 2 \]
   Simplifica:
   \[ = 10 \sqrt 2 + 24 \sqrt 2 \]
   Factoriza \( \sqrt 2 \) y simplifica:
   \[ = (10 + 24) \sqrt 2 = 34 \sqrt 2 \]
   
   
2. 
   Simplifica la expresión \( \sqrt{27} - \sqrt{300} \).
   Solución
   Sabiendo que \( 27 = 3 \times 9 \) y \( 300 = 3 \times 100 \), escribimos:
   \[ \sqrt{27} - \sqrt{300} = \sqrt{3 \times 9} - \sqrt {3 \times 100} \]
   Usa la regla del producto de radicales \( \sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \, \sqrt{y} \):
   \[ = \sqrt{3} \sqrt{9} - \sqrt {3} \sqrt{100} \]
   Dado que \( \sqrt{9} = 3 \) y \( \sqrt{100} = 10 \), lo anterior se simplifica a:
   \[ = 3 \sqrt 3 - 10 \sqrt3 = (3 - 10 )\sqrt 3 = - 7 \sqrt 3 \]
   
   
3. 
   Simplifica la expresión \( - 2 \sqrt{16y} + 10 \sqrt y \).
   Solución
   Aplica la regla del producto de radicales \( \sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \, \sqrt{y} \) para reescribir \( \sqrt{16y} \) como \( \sqrt {16} \sqrt y \) y sustituye en la expresión dada:
   \[ - 2 \sqrt{16y} + 10 \sqrt y = - 2 \sqrt {16} \sqrt y + 10 \sqrt y \]
   Usa \( \sqrt {16} = 4 \) y sustituye:
   \[ = - 2 \times 4 \sqrt y + 10 \sqrt y = - 8 \sqrt y + 10 \sqrt y \]
   Factoriza \( \sqrt y \) y simplifica:
   \[ = (-8 + 10) \sqrt y = 2 \sqrt y \]
   
   
4. 
   Simplifica la expresión \( 2 \sqrt{x + 1} + 3 \sqrt{16x + 16} \).
   Solución
   Factoriza 16 en \( 16x + 16 \):
   \[ 2 \sqrt{x + 1} + 3 \sqrt{16x + 16} = 2 \sqrt{x + 1} + 3 \sqrt{16(x + 1)} \]
   Usa la regla del producto de radicales para escribir \( \sqrt{16(x + 1)} \) como \( \sqrt{16} \sqrt {x+1} = 4 \sqrt {x+1} \) y sustituye:
   \[ = 2 \sqrt{x + 1} + 3 \times 4 \times \sqrt{x + 1} \]
   Simplifica:
   \[ = 2 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} \]
   Factoriza \( \sqrt{x + 1} \) y simplifica:
   \[ = ( 2 + 12 ) \sqrt{x + 1} = 14 \sqrt{x + 1} \]
   
   
5. 
   \( 2 \sqrt 3 + 4 \sqrt{12} + 3 \sqrt{48} = \)
   Solución
   Escribe los radicandos como producto de números cuyas raíces cuadradas son enteras: \( 12 = 4 \times 3 \) y \( 48 = 3 \times 16 \):
   \[ 2 \sqrt3 + 4 \sqrt{12} + 3 \sqrt{48} = 2 \sqrt3 + 4 \sqrt{3 \times 4} + 3 \sqrt{3 \times 16} \]
   Aplica la regla del producto de radicales:
   \[ = 2 \sqrt3 + 4 \sqrt3 \sqrt4 + 3 \sqrt3 \sqrt{16} \]
   Simplifica \( \sqrt4 \) y \( \sqrt{16} \):
   \[ = 2 \sqrt3 + 8 \sqrt3 + 12 \sqrt3 \]
   Factoriza \( \sqrt3 \) y reescribe:
   \[ = (2 + 8 + 12) \sqrt3 \]
   Simplifica:
   \[ = 22 \sqrt3 \]
   
   
6. 
   Reescribe la expresión \( \dfrac {\sqrt3 + \sqrt{12}} {\sqrt 3 - \sqrt{12}} \) sin radicales.
   Solución
   Reescribimos la expresión usando que \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \sqrt{3} = 2 \sqrt 3 \):
   \[ \dfrac {\sqrt3 + \sqrt{12}} {\sqrt 3 - \sqrt{12}} = \dfrac {\sqrt3 + 2 \sqrt{3}} {\sqrt 3 - 2 \sqrt{3}} \]
   Agrupa términos en el numerador y denominador:
   \[ = \dfrac {(1+2) \sqrt{3}} {(1-2) \sqrt{3}} = \dfrac{3 \sqrt 3}{-\sqrt 3} \]
   Divide numerador y denominador por \( \sqrt 3 \) y simplifica:
   \[ = - 3 \]
   
   
7. 
   Simplifica la expresión \( 5 \sqrt x + 6 \sqrt {9x} - 10 \sqrt {16x} \).
   Solución
   Aplica la regla del producto de radicales para reescribir lo anterior como:
   \[ 5 \sqrt x + 6 \sqrt {9x} - 10 \sqrt {16x} = 5 \sqrt x + 6 \sqrt9 \sqrt x - 10 \sqrt{16} \sqrt x \]
   Simplifica \( \sqrt 9 \) y \( \sqrt{16} \):
   \[ = 5 \sqrt x + 6 \times 3 \sqrt x - 10 \times 4 \sqrt x \]
   Simplifica:
   \[ = 5 \sqrt x + 18 \sqrt x - 40 \sqrt x \]
   Factoriza \( \sqrt x \) y simplifica:
   \[ = (5 + 18 - 40) \sqrt x = -17 \sqrt x \]
   
   
8. 
   \( 2 \sqrt {27} + 2 \sqrt{75} = \)
   Solución
   Escribe 27 y 75 como productos de números cuyas raíces cuadradas son enteras: \( 27 = 3 \times 9 \) y \( 75 = 3 \times 25 \):
   \[ 2 \sqrt {27} + 2 \sqrt{75} = 2 \sqrt {3 \times 9} + 2 \sqrt{3 \times 25} \]
   Usa la regla del producto de radicales:
   \[ = 2 \sqrt 3 \sqrt 9 + 2 \sqrt{3} \sqrt{25} \]
   Simplifica usando \( \sqrt 9 = 3 \) y \( \sqrt{25} = 5 \):
   \[ = 6 \sqrt 3 + 10 \sqrt{3} \]
   Factoriza \( \sqrt{3} \) y simplifica:
   \[ = (6 + 10) \sqrt{3} = 16 \sqrt{3} \]
   
   
9. 
   \( \sqrt {10^3} + \sqrt {10^5} = \)
   Solución
   Escribe \( 10^3 \) y \( 10^5 \) como productos de números cuyas raíces cuadradas son enteras: \( 10^3 = 10 \times 100 \) y \( 10^5 = 10 \times 10000 \):
   \[ \sqrt {10^3} + \sqrt {10^5} = \sqrt {10 \times 100} + \sqrt{10 \times 10000} \]
   Aplica la regla del producto de radicales:
   \[ = \sqrt {10} \sqrt {100} + \sqrt{10} \sqrt{10000} \]
   Simplifica usando \( \sqrt 100 = 10 \) y \( \sqrt{10000} = 100 \):
   \[ = 10 \sqrt 10 + 100 \sqrt{10} \]
   Factoriza \( \sqrt{10} \) y simplifica:
   \[ = (10 + 100) \sqrt{10} = 110 \sqrt{10} \]
   
   
10. 
    Simplifica y reescribe la expresión \( \sqrt 8 \sqrt 3 \sqrt 6 \) sin radicales.
    Solución
    Escribe \( 8 \) como \( 2 \times 4 \):
    \[ \sqrt 8 \sqrt 3 \sqrt 6 = \sqrt{ 4 \times 2 } \sqrt 3 \sqrt 6 \]
    Aplica la regla del producto de radicales en \( \sqrt{ 4 \times 2 } \) y simplifica:
    \[ = \sqrt 4 \sqrt 2 \sqrt 3 \sqrt 6 = 2 \sqrt 2 \sqrt 3 \sqrt 6 \]
    Usa la regla del producto de radicales para escribir \( \sqrt 2 \sqrt 3 \) como \( \sqrt 6 \) y sustituye:
    \[ = 2 \sqrt 6 \sqrt 6 \]
    Aplica la regla del producto de radicales para escribir \( \sqrt 6 \sqrt 6 = \sqrt {36} = 6 \) y simplifica:
    \[ = 2 \times 6 = 12 \]
    
    

Más Referencias y Enlaces