¿Qué es el Teorema de Bayes?
Partiendo de la Ley de la Probabilidad Total:
Para un evento \(A\) y eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos \(E_1, E_2, ..., E_n\):
\[ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A | E_i) P(E_i) \]
Usando la definición de probabilidad condicional:
\[ P(A) P(E_i | A) = P(E_i) P(A | E_i) \]
Despejando \( P(E_i | A) \):
\[ P(E_i | A) = \frac{P(E_i) P(A | E_i)}{P(A)} \]
Sustituyendo \( P(A) \) desde la Ley de la Probabilidad Total se obtiene el Teorema de Bayes:
\[ P(E_i | A) = \frac{P(E_i) P(A | E_i)}{\sum_{i=1}^{n} P(A | E_i) P(E_i)} \]
Ejemplos Resueltos del Teorema de Bayes
Ejemplo 1: Selección de Bolas en Cajas
Problema: Dos cajas contienen bolas de colores:
- Caja 1: 4 bolas rojas y 2 verdes
- Caja 2: 4 bolas verdes y 2 rojas
Las probabilidades de selección son: \( P(\text{Caja 1}) = \frac{1}{3} \), \( P(\text{Caja 2}) = \frac{2}{3} \). Se elige una caja al azar y luego se selecciona una bola al azar.
- Dado que la bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la Caja 1?
- Dado que la bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la Caja 2?
- Compara e interpreta los resultados.
Solución
Definimos los eventos: \( B_1 \)=seleccionar Caja 1, \( B_2 \)=seleccionar Caja 2, \( R \)=seleccionar una bola roja.
Probabilidades dadas:
\[ P(B_1) = \frac{1}{3}, \quad P(B_2) = \frac{2}{3} \]
\[ P(R|B_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \quad P(R|B_2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Parte (a): Usando el Teorema de Bayes:
\[ P(B_1 | R) = \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}} = \frac{1}{2} \]
Parte (b): De forma similar:
\[ P(B_2 | R) = \frac{1}{2} \]
Parte (c): Las probabilidades son iguales (\( \frac{1}{2} \)) a pesar de que la Caja 1 tiene más bolas rojas. Esto ocurre porque la Caja 2 tiene el doble de probabilidad de ser seleccionada inicialmente. El Teorema de Bayes incorpora toda la información previa.
Ejemplo 2: Precisión de una Prueba Médica
Problema: El 1% de una población tiene una enfermedad. Una prueba es correcta en el 95% de los casos cuando la persona está enferma y en el 98% cuando no lo está (2% de falsos positivos). Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente tenga la enfermedad?
Solución
Definimos: \( D \)=tiene la enfermedad, \( ND \)=no tiene la enfermedad, \( TP \)=resultado positivo.
Dado que: \( P(D) = 0.01 \), \( P(ND) = 0.99 \), \( P(TP|D) = 0.95 \), \( P(TP|ND) = 0.02 \).
\[ P(D | TP) \approx 0.324 \]
Interpretación: Solo hay aproximadamente un 32.4% de probabilidad de que una persona con resultado positivo tenga realmente la enfermedad. Esto se debe a que la enfermedad es poco frecuente.
Ejemplo 3: Tasas de Defectos en Fábricas
Problema: Tres fábricas producen bombillas:
- Fábrica A: 20% de la producción, 2% defectuosas
- Fábrica B: 50% de la producción, 1% defectuosas
- Fábrica C: 30% de la producción, 3% defectuosas
Una bombilla comprada al azar es defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la Fábrica B?
Solución
A pesar de producir el 50% de las bombillas, la Fábrica B solo contribuye con aproximadamente el 27.8% de las bombillas defectuosas debido a su baja tasa de defectos.
Ejemplo 4: Sistema de Detección por Radar
Problema: Un radar detecta aeronaves con una probabilidad del 98% si están presentes. Si no hay aeronave, produce una falsa detección el 5% de las veces. La probabilidad de presencia de una aeronave es del 7%.
Ayuda visual: Todas las probabilidades pueden organizarse en un diagrama de árbol:
