El teorema de Bayes para encontrar probabilidades condicionales se explica y se usa para resolver ejemplos que incluyen explicaciones detalladas. Los diagramas se utilizan para dar una explicación visual del teorema.
También se discuten los resultados numéricos obtenidos con el fin de comprender las posibles aplicaciones del teorema.
\( P(A) P(E_i | A) = P(E_i) P(A | E_i) \)
lo que da
\( P(E_i | A) = \dfrac{P(E_i) P(A | E_i)}{P(A)} \)
Sustituya \( P(A) \) por la suma anterior para escribir el teorema de Bayes de la siguiente manera
\[ P(E_i | A) = \dfrac{P(E_i) P(A | E_i)}{\sum_{i=1}^{n} P(A | E_i) P(E_i)} \]
Ejemplos del uso del Teom de Bayes con soluciones detalladas
El ejemplo 1 a continuación está diseñado para explicar el uso del teorema de Bayes y también para interpretar los resultados dados por el teorema.
Ejemplo 1
Una de las dos cajas contiene 4 bolas rojas y 2 bolas verdes y la segunda caja contiene 4 bolas verdes y dos rojas. Por diseño, las probabilidades de seleccionar la casilla 1 o la casilla 2 al azar son 1/3 para la casilla 1 y 2/3 para la casilla 2.
Se selecciona al azar una caja y de ella se extrae al azar una bola.
a) Dado que la bola seleccionada es roja, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido seleccionada de la primera casilla?
b) Dado que la bola seleccionada es roja, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido seleccionada de la segunda casilla?
c) Compara los resultados de los incisos a) yb) y explica la respuesta.
Solución al Ejemplo 1
Llamemos al primer cuadro B1 y al segundo cuadro B2
Sea el evento E1 "seleccionar cuadro 1" y el evento E2 "seleccionar cuadro 2".
Sea el evento R "seleccionar una bola roja".
Toda la información anterior se incluye en el siguiente diagrama.
Las probabilidades de seleccionar una de las dos casillas estarían dadas (arriba) por
\(P(E_1) = 1/3\) y \(P(E_2) = 2/3\)
La probabilidad condicional de que una bola seleccionada sea roja dado que se selecciona de la casilla 1 está dada por
\( P(R | E_1) = 4/6 = 2/3\), 4 bolas de 6 son rojas en la casilla 1
La probabilidad condicional de que una bola seleccionada sea roja dado que se selecciona de la casilla 2 está dada por
\( P(R | E_2) = 2/6 = 1/3\) , 2 bolas de 6 son rojas en la casilla 2
a)
La cuestión es encontrar la probabilidad condicional de que la bola sea seleccionada de la casilla 1 dado que es roja, viene dada por el teorema de Bayes.
\( P(E_1|R) = \dfrac{P(R | E1) P(E1) }{ P(R | E1) P(E1) + P(R | E2) P(E2) } \)
\( = \dfrac{ 2/3 * 1/3}{2/3 * 1/3 + 1/3 * 2/3} = 1/2 \)
b)
La cuestión es encontrar la probabilidad condicional de que la bola sea seleccionada de la casilla 2 dado que es roja, viene dada por el teorema de Bayes.
\( P(E_2|R) = \dfrac{P(R | E2) P(E2) }{ P(R | E1) P(E1) + P(R | E2) P(E2) } \)
\( = \dfrac{ 1/3 * 2/3}{2/3 * 1/3 + 1/3 * 2/3} = 1/2 \)
C)
Las dos probabilidades calculadas en los incisos a) yb) son iguales.
Aunque hay más bolas rojas en la casilla 1 que en la casilla 2 (el doble), las probabilidades calculadas anteriormente son iguales porque la probabilidad de seleccionar la casilla 2 es mayor (el doble) que la probabilidad de seleccionar la casilla 1. Teorema de Bayes tiene en cuenta toda la información.
Ejemplo 2
El 1% de una población tiene una determinada enfermedad y el 99% restante está libre de esta enfermedad.
Se utiliza una prueba para detectar esta enfermedad. Esta prueba es positiva en el 95% de las personas con la enfermedad y también es (falsamente) positiva en el 2% de las personas libres de la enfermedad.
Si una persona, seleccionada al azar de esta población, ha dado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad?
Solución al Ejemplo 2
Sea D el evento "tener la enfermedad" y FD el evento "libre de la enfermedad"
Sea el evento TP el evento de que la "prueba es positiva".
A continuación se muestra un diagrama con toda la información anterior.
La probabilidad de que una persona tenga la enfermedad dado que ha dado positivo viene dada por el teorema de Bayes:
\( P(D | TP) = \dfrac{P(TP | D) P(D) }{ P(TP | D) P(D) + P(TP | ND) P(ND) } \)
Aunque una persona dé positivo, la probabilidad de tener la enfermedad es bastante baja.
Explicación
Tenga en cuenta que incluso cuando una persona da positivo, eso no significa que tenga la enfermedad; y eso se debe a que el número de libres de enfermedad (99%) es mucho mayor que los que tienen
la enfermedad (1%).
Aclaremos los resultados obtenidos anteriormente utilizando algunos números concretos.
Supongamos que 1000 personas se prueban
libres de enfermedad son: \( 99\% \times 1000 = 990\) y \( 2\% \times 990 = 19,8 \approx 20\) prueba positiva
Personas con enfermedad: \( 1\% \times 1000 = 10\) y \( 95\% \times 10 = 9.5 = 9,5 \approx 10\) prueba positiva
De todos los que dieron positivo cuáles son 20 + 10 = 30 sólo 10 tienen la enfermedad.
El porcentaje de los que dan positivo pero no tienen la enfermedad está dado por: 9,5 / (19,8 + 9,5) = 0,32
que es la probabilidad \( P(D | TP) \) calculada arriba.
Ejemplo 3
Tres fábricas producen bombillas para abastecer el mercado. La fábrica A produce el 20%, el 50% de las herramientas se producen en la fábrica B y el 30% en la fábrica C.
El 2% de las bombillas producidas en la fábrica A, el 1% de las bombillas producidas en la fábrica B y el 3% de las bombillas producidas en la fábrica C son defectuosas.
Se selecciona una bombilla al azar en el mercado y se encuentra defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que esta bombilla haya sido producida por la fábrica B?
Solución al Ejemplo 3
Sean \( P(A) = 20\% \), \( P(B) = 50\% \) y \( P(C) = 30\% \) las probabilidades de que una bombilla seleccionada al azar sea de fábrica A, B y C respectivamente.
Sea \( P(D) \) la probabilidad de que se seleccione una bombilla defectuosa.
Sean \( P(D | A) = 2\% \), \( P(D | B) = 1\% \) y \( P(D | C) = 3\%\) las probabilidades condicionales de que una bombilla esté defectuosa dado que se selecciona de la fábrica A, B y C respectivamente.
Ahora calculamos que la probabilidad condicional de que la bombilla haya sido producida por la fábrica B dado que está defectuosa se escribe como \( P(B | D) \) y está dada por el teorema de Bayes.
\( P(B | D) = \dfrac{P(D | B) P(B) }{ P(D | A) P(A) + P(D | B) P(B) + P(D | C) P(C)}\)
Aunque la fábrica B produce el 50% de las bombillas, la probabilidad de que la bombilla seleccionada (defectuosa) provenga de esta fábrica es baja porque las bombillas producidas por esta fábrica tienen una probabilidad baja (1%) de ser defectuosas.
Ejemplo 4
Un sistema de radar está diseñado de manera que la probabilidad de detectar la presencia de una aeronave en su alcance es del 98%. Sin embargo, si no hay ningún avión presente en su rango, todavía informa (falsamente) que hay un avión presente con una probabilidad del 5%. En cualquier momento, la probabilidad de que una aeronave esté presente dentro del alcance del radar es del 7%.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna aeronave presente en el alcance del radar dado que se detecta una aeronave?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una aeronave esté presente en el rango del radar dado que se detecta una aeronave?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una aeronave esté presente en el rango del radar dado que no se detecta ninguna aeronave?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna aeronave presente en el alcance del radar dado que no se detecta ninguna aeronave?
Solución al Ejemplo 4
Usaremos las notaciones de complemento.
Sea \( A \) el evento de que un avión esté presente y \( A^c \) el complemento de evento de \( A \) lo que significa que no hay ningún avión presente.
La probabilidad de que ocurra A se da como
\( P(A) = 7\% \)
y
\( P(A^c) = 100\% - 7\% = 93\% \)
Sea \( D \) el evento de que el sistema de radar detecta una aeronave y \( D^c \) el complemento de \( D \) lo que significa que no se detecta ninguna aeronave.
La probabilidad condicional de que se detecte una aeronave dado que está presente se da arriba y se escribe como
\(P(D | A) = 98%\)
\(P(D | A^c) = 5% \)
a)
Coloque toda la información anterior en un diagrama de Venn como se muestra a continuación.
Use el teorema de Bayes para escribir la probabilidad de que no haya ninguna aeronave presente en el rango del radar dado que se detecta una aeronave
b)
Use el teorema de Bayes para escribir la probabilidad de que una aeronave esté presente en el rango del radar dado que se detecta una aeronave
\( P(A | D) = \dfrac{ P(D | A) P(A) }{ P(D | A) P(A) + P(D | A^c) P(A^c)} \)
c)
Primero necesitamos calcular las siguientes probabilidades
\( P(D^c | A) = 100\% - 98\% = 2\% \)
\( P(D^c | A^c) = 100\% - 5\% = 95\% \)
Coloque toda la información anterior en un diagrama de Venn como se muestra a continuación.
Use el teorema de Bayes para escribir la probabilidad de que una aeronave esté presente en el rango del radar dado que no se detecta ninguna aeronave.
d)
Use el teorema de Bayes para escribir la probabilidad de que no haya ninguna aeronave presente en el rango del radar dado que no se detecta ninguna aeronave.
NOTA
Todos los cálculos anteriores se pueden hacer con la ayuda de un diagrama de árbol que se muestra a continuación. Una vez que el diagrama de árbol tiene todas las probabilidades, es más fácil usar estas probabilidades en el teorema de Bayes para evaluar los resultados finales.
