La distribución de probabilidad de Poisson se utiliza en situaciones en las que los eventos ocurren de forma aleatoria e independiente un número de veces en promedio durante un intervalo de tiempo o espacio. La variable aleatoria \( X \) asociada con un proceso de Poisson es discreta y por lo tanto la distribución de Poisson es discreta.
Ejemplo 1
Estos son ejemplos de eventos que pueden describirse como procesos de Poisson:
La mejor manera de explicar la fórmula de la distribución de Poisson es resolver el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2
Mi computadora falla en promedio una vez cada 4 meses;
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no colapse en un período de 4 meses?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se estrelle una vez en un período de 4 meses?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se estrelle dos veces en un período de 4 meses?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que se estrelle tres veces en un periodo de 4 meses?
Solución al ejemplo 2
a)
El promedio \( \lambda = 1 \) cada 4 meses. Por lo tanto, la probabilidad de que mi computadora no falle en un período de 4 meses se escribe como \( P(X = 0) \) y viene dada por
\( P(X = 0) = \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} = \dfrac{e^{-1} 1^0}{0!} = 0,36787 \)
b)
El promedio \( \lambda = 1 \) cada 4 meses. Por lo tanto, la probabilidad de que mi computadora falle una vez en un período de 4 meses se escribe como \( P(X = 1) \) y viene dada por
\( P(X = 1) = \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} = \dfrac{e^{-1} 1^1}{1!} = 0,36787 \)
C)
\( P(X = 2) = \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} = \dfrac{e^{-1} 1^2}{2!} = 0,18393 \)
d)
\( P(X = 3) = \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} = \dfrac{e^{-1} 1^3}{3!} = 0,06131 \)
Ejemplo 3
Un centro de atención al cliente recibe una media de 3,5 llamadas cada hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba como máximo 4 llamadas cada hora?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba al menos 5 llamadas cada hora?
Solución al ejemplo 3
a)
como máximo 4 llamadas significa ninguna llamada, 1 llamada, 2 llamadas, 3 llamadas o 4 llamadas.
\( P(X \le 4) = P(X=0 \; o \; X=1 \; o \; X=2 \; o \; X=3 \; o \; X=4) \)
\( = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) \)
\( = \dfrac{e^{-3.5} 3.5^0}{0!} + \dfrac{e^{-3.5} 3.5^1}{1!} + \dfrac{e^{-3.5} 3.5^ 2}{2!} + \dfrac{e^{-3.5} 3.5^3}{3!} + \dfrac{e^{-3.5} 3.5^4}{4!} + \)
\( = 0,03020 + 0,10569 + 0,18496 + 0,21579 + 0,18881 = 0,72545 \)
b)
Al menos 5 clases significa 5 llamadas o 6 llamadas o 7 llamadas u 8 llamadas, ... que pueden escribirse como \( x \ge 5 \)
\( P(X \ge 5) = P(X=5 \; o \; X=6 \; o \; X=7 \; o \; X=8... ) \)
Lo anterior tiene un número infinito de términos. La probabilidad del complemento se puede utilizar de la siguiente manera
\( P(X \ge 5) = P(X=5 \; o \; X=6 \; o \; X=7 ... ) = 1 - P(X \le 4) \)
\( P(X \le 4) \) ya se calculó anteriormente. Por eso
\( P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) = 1 - 0,7254 = 0,2746 \)
Ejemplo 4
Una persona recibe una media de 3 correos electrónicos por hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba 5 correos electrónicos en un período de dos horas?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciba más de 2 correos electrónicos en un período de dos horas?
Solución al ejemplo 4
a)
Se nos da el promedio por hora pero se nos pide encontrar probabilidades durante un período de dos horas. Por lo tanto, necesitamos encontrar el promedio \( \lambda \) durante un período de dos horas.
\( \lambda = 3 \times 2 = 6 \) correos electrónicos durante 2 horas
La probabilidad de que reciba 5 correos electrónicos en un período de dos horas viene dada por la fórmula de probabilidad de Poisson.
\( P(X = 5) = \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} = \dfrac{e^{- 6} 6^5}{5!} = 0,16062 \)
b)
Más de 2 correos electrónicos significa 3 correos electrónicos o 4 correos electrónicos o 5 correos electrónicos....
\( P(X \gt 2) = P(X=3 \; o \; X=4 \; o \; X=5 ... ) \)
Usando el complemento
\( = 1 - P(X \le 2) \)
\( = 1 - ( P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ) \)
Sustituir por fórmulas
\( = 1 - ( \dfrac{e^{-6}6^0}{0!} + \dfrac{e^{-6}6^1}{1!} + \dfrac{e^{-6 }6^2}{2!} ) \)
\( = 1 - (0,00248 + 0,01487 + 0,04462 ) \)
\(= 0,93803 \)
Ejemplo 5
A continuación se muestra la tabla de frecuencia de los goles marcados por un futbolista en cada uno de sus primeros 35 partidos de las temporadas.
a) un gol en un partido determinado
b) al menos un gol en un partido determinado
Solución al ejemplo 5
a)
Primero calculamos la media \( \lambda\)
\( \lambda = \dfrac{\Sigma f \cdot x}{\Sigma f} = \dfrac{12 \cdot 0 + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 2 + 2 \cdot 3 }{ 12 + 15 + 6 + 2} \aproximadamente 0,94 \)
La probabilidad de que marque un gol en un partido viene dada por la fórmula de probabilidad de Poisson.
\( P(X = 1) = \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} = \dfrac{e^{- 0,94} 0,94^1}{1!} = 0,36719 \)
b)
Al menos un gol significa 1 o 2 o 3 o 4... goles
\( P(X \ge 1) = P(X=1 \; o \; X=2 \; o \; X=3 ... ) \)
Usando el complemento
\( = 1 - P(X = 0) \)
Sustituir por fórmulas
\( = 1 - \dfrac{e^{-0.94}0.94^0}{0!} \)
\( = 1 - 0,39062 \)
\(= 0,60938 \)
Ejemplo 6
A continuación se muestra el número de artículos defectuosos devueltos cada día, durante un período de 100 días, a una tienda.
a) no se devuelve ningún artículo defectuoso en un día determinado
b) se devuelven tres o más artículos defectuosos en un día determinado
Solución al ejemplo 6
a)
Primero calculamos la media \( \lambda\)
\( \lambda = \dfrac{\Sigma f \cdot x}{\Sigma f} = \dfrac{50 \cdot 0 + 20 \cdot 1 + 15 \cdot 2 + 10 \cdot 3 + 5 \cdot 4 }{ 50 + 20 + 15 + 10 + 5} = 1 \)
La probabilidad de que no se devuelva ningún artículo defectuoso viene dada por la fórmula de probabilidad de Poisson
\( P(X = 0) = \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!} = \dfrac{e^{- 1} 1^0}{0!} = 0,36787 \)
b)
Se devuelven al menos tres o más artículos defectuosos significa 3 o 4 o 5 .... artículos o \( x \ge 3 \)
\( P(X \ge 3) = P(X=3 \; o \; X=4 \; o \; X=5 ... ) \)
Usando el complemento
\( = 1 - P(X=0 \; o \; X=1 \; o \; X=2) \)
Utilice la fórmula de suma de probabilidades y Poisson por fórmula
\( = 1 - (\dfrac{e^{-1} 1^0}{0!} + \dfrac{e^{-1} 1^1}{1!} + \dfrac{e^{- 1 } 1^2}{2!}) \)
\( = 1 - 0,91969 \)
\(= 0,08031 \)
