Distribución de Probabilidad de Poisson: Ejemplos y Problemas de Práctica

La distribución de probabilidad de Poisson modela el número de veces que ocurre un evento de forma aleatoria e independiente dentro de un intervalo fijo de tiempo o espacio. Es una distribución discreta, lo que significa que la variable aleatoria \( X \) solo puede tomar valores enteros.

Proceso de Poisson: Definición y Condiciones

Un proceso de Poisson debe cumplir las siguientes condiciones:

  1. Los eventos son discretos, aleatorios e independientes entre sí.
  2. La tasa promedio de ocurrencia \( \lambda \) es constante durante el período observado.
  3. La probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo dado es la misma para todos los intervalos de igual longitud.
  4. Dos eventos no pueden ocurrir exactamente al mismo tiempo (son mutuamente excluyentes).

Ejemplos de Procesos de Poisson

Fórmula de Probabilidad de Poisson

Si un evento ocurre en promedio \( \lambda \) veces durante un período \( T \), la probabilidad de que ocurra exactamente \( x \) veces en ese período es:

\[ P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} \]

donde:

Distribuciones de Poisson para diferentes valores de lambda

Distribución de Poisson vs. Distribución Binomial

Distribución Parámetros Rango de la Variable
Binomial Número de ensayos \( n \), probabilidad de éxito \( p \) \( x = 0, 1, 2, \ldots, n \)
Poisson Tasa promedio \( \lambda \) \( x = 0, 1, 2, \ldots, \infty \)

Ejemplos de la Distribución de Poisson con Soluciones

Ejemplo 1: Bloqueos de un Ordenador

Un ordenador se bloquea en promedio una vez cada 4 meses. Calcula la probabilidad de que en 4 meses:

  1. No se bloquee en absoluto.
  2. Se bloquee exactamente una vez.
  3. Se bloquee exactamente dos veces.
  4. Se bloquee exactamente tres veces.

Solución

Aquí, \( \lambda = 1 \) por cada 4 meses.

  1. \[ P(X = 0) = \frac{e^{-1} \cdot 1^0}{0!} = e^{-1} \approx 0.36787 \]
  2. \[ P(X = 1) = \frac{e^{-1} \cdot 1^1}{1!} = e^{-1} \approx 0.36787 \]
  3. \[ P(X = 2) = \frac{e^{-1} \cdot 1^2}{2!} = \frac{e^{-1}}{2} \approx 0.18393 \]
  4. \[ P(X = 3) = \frac{e^{-1} \cdot 1^3}{3!} = \frac{e^{-1}}{6} \approx 0.06131 \]

Ejemplo 2: Centro de Llamadas

Un centro de atención al cliente recibe un promedio de 3.5 llamadas por hora. Calcula la probabilidad de que en una hora dada:

  1. Reciba como máximo 4 llamadas.
  2. Reciba al menos 5 llamadas.

Solución

Aquí, \( \lambda = 3.5 \) por hora.

  1. Como máximo 4 llamadas significa \( X = 0, 1, 2, 3, \text{o } 4 \).

    \[ \begin{aligned} P(X \le 4) &= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) \\ &= \frac{e^{-3.5} \cdot 3.5^0}{0!} + \frac{e^{-3.5} \cdot 3.5^1}{1!} + \frac{e^{-3.5} \cdot 3.5^2}{2!} + \frac{e^{-3.5} \cdot 3.5^3}{3!} + \frac{e^{-3.5} \cdot 3.5^4}{4!} \\ &\approx 0.03020 + 0.10569 + 0.18496 + 0.21579 + 0.18881 = 0.72545 \end{aligned} \]

  2. Al menos 5 llamadas: \( P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) = 1 - 0.72545 = 0.27455 \).

Ejemplo 3: Recepción de Correos Electrónicos

Una persona recibe en promedio 3 correos electrónicos por hora. Calcula la probabilidad de que en un período de 2 horas:

  1. Reciba exactamente 5 correos.
  2. Reciba más de 2 correos.

Solución

El promedio en 2 horas es \( \lambda = 3 \times 2 = 6 \).

  1. \[ P(X = 5) = \frac{e^{-6} \cdot 6^5}{5!} \approx 0.16062 \]

  2. Más de 2 correos: \( P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) \).

    \[ \begin{aligned} P(X \le 2) &= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \\ &= \frac{e^{-6} \cdot 6^0}{0!} + \frac{e^{-6} \cdot 6^1}{1!} + \frac{e^{-6} \cdot 6^2}{2!} \\ &\approx 0.00248 + 0.01487 + 0.04462 = 0.06197 \\ P(X > 2) &= 1 - 0.06197 = 0.93803 \end{aligned} \]

Ejemplo 4: Goles en Fútbol (Aproximación)

Los goles marcados por un futbolista en 35 partidos son:

Goles (\( x \))0123>3
Frecuencia (\( f \))1215620

Suponiendo que los goles siguen una distribución de Poisson, calcula la probabilidad de que en un partido dado el jugador:

  1. Marque exactamente 1 gol.
  2. Marque al menos 1 gol.

Solución

Primero, calculamos el promedio \( \lambda \):

\[ \lambda = \frac{\sum f \cdot x}{\sum f} = \frac{12(0) + 15(1) + 6(2) + 2(3)}{12 + 15 + 6 + 2} = \frac{33}{35} \approx 0.9429 \]
  1. \[ P(X = 1) = \frac{e^{-0.9429} \cdot 0.9429^1}{1!} \approx 0.36719 \]
  2. \[ P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \frac{e^{-0.9429} \cdot 0.9429^0}{0!} \approx 1 - 0.3897 = 0.6103 \]

Ejemplo 5: Artículos Defectuosos Devueltos

Artículos defectuosos devueltos diariamente durante 100 días:

Artículos Defectuosos (\( x \))01234>4
Frecuencia (\( f \))5020151050

Suponiendo una distribución de Poisson, calcula la probabilidad de que en un día dado:

  1. No se devuelva ningún artículo defectuoso.
  2. Se devuelvan tres o más artículos defectuosos.

Solución

Calculamos \( \lambda \):

\[ \lambda = \frac{50(0) + 20(1) + 15(2) + 10(3) + 5(4)}{50 + 20 + 15 + 10 + 5} = \frac{100}{100} = 1 \]
  1. \[ P(X = 0) = \frac{e^{-1} \cdot 1^0}{0!} = e^{-1} \approx 0.36787 \]

  2. Tres o más: \( P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) \).

    \[ \begin{aligned} P(X \le 2) &= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \\ &= e^{-1} + e^{-1} + \frac{e^{-1}}{2} = e^{-1} \left(1 + 1 + \frac{1}{2}\right) \\ &= 2.5 e^{-1} \approx 2.5 \times 0.36787 = 0.91968 \\ P(X \ge 3) &= 1 - 0.91968 = 0.08032 \end{aligned} \]

Recursos Adicionales