Esta guía explica el concepto de la función de densidad de probabilidad (PDF, por sus siglas en inglés), comenzando desde histogramas de frecuencia hasta histogramas de probabilidad. Incluye ejemplos resueltos con soluciones detalladas basadas en cálculo.
Utilizamos 2560 mediciones de tiempo (en horas) para la finalización de un proyecto—una variable aleatoria continua. El histograma de frecuencia (ancho de clase = 1) muestra la distribución de los datos.
Convertimos las frecuencias en probabilidades dividiendo entre 2560. El área de cada rectángulo es igual a la probabilidad para ese intervalo. El área total = 1.
Anchos de clase más pequeños producen distribuciones más suaves. La línea de tendencia roja aproxima la función de densidad de probabilidad subyacente.
Conforme el ancho de clase tiende a cero, el histograma se aproxima a una curva continua: la función de densidad de probabilidad.
Para una variable aleatoria continua \(X\) con PDF \(f_X(x)\):
Una variable aleatoria \(X\) tiene la siguiente PDF:
\[ f_X(x) = \begin{cases} \dfrac{k}{b-a}, & a \le x \le b \\[1em] 0, & x < a \text{ o } x > b \end{cases} \]donde \(k > 0\) es una constante.
a) La gráfica es un rectángulo entre \(x=a\) y \(x=b\) con altura \(\frac{k}{b-a}\):
b) El área bajo la PDF debe ser igual a 1. El área rectangular es:
\[ \text{Área} = (b-a) \times \frac{k}{b-a} = k \]Haciendo \(k = 1\) obtenemos un área total = 1. Por lo tanto:
\[ f_X(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a \le x \le b \\[1em] 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \]c) Usando integración:
\[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx &= \int_a^b \frac{1}{b-a} \, dx \\ &= \left[ \frac{x}{b-a} \right]_a^b \\ &= \frac{b}{b-a} - \frac{a}{b-a} = 1 \end{aligned} \]d) Para \(a=3, b=8\):
\[ \begin{aligned} P(4 \le X \le 7) &= \int_4^7 \frac{1}{8-3} \, dx \\ &= \int_4^7 \frac{1}{5} \, dx \\ &= \left[ \frac{x}{5} \right]_4^7 \\ &= \frac{7}{5} - \frac{4}{5} = \frac{3}{5} = 0.6 \end{aligned} \]Una variable aleatoria \(X\) tiene la siguiente PDF:
\[ f_X(x) = \begin{cases} e^{-kx}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \]donde \(k > 0\).
a) El área total debe ser 1:
\[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx &= \int_0^{\infty} e^{-kx} \, dx \\ &= \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{k} e^{-kx} \right]_0^b \\ &= \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{k} e^{-kb} + \frac{1}{k} \right) \\ &= \frac{1}{k} \end{aligned} \]Haciendo \(\frac{1}{k} = 1 \Rightarrow k = 1\).
b) Encontrar \(a\) para \(P(0 \le X \le a) = 0.9\):
\[ \begin{aligned} P(0 \le X \le a) &= \int_0^a e^{-x} \, dx \\ &= \left[ -e^{-x} \right]_0^a \\ &= -e^{-a} + 1 \end{aligned} \]Igualamos a 0.9:
\[ \begin{aligned} -e^{-a} + 1 &= 0.9 \\ e^{-a} &= 0.1 \\ -a &= \ln(0.1) \\ a &= -\ln(0.1) \approx 2.3026 \end{aligned} \]