Funciones Cuadráticas en Forma de Vértice

Las funciones cuadráticas en forma de vértice se expresan como: \[ f(x) = a(x - h)^2 + k \] Esta forma resalta el vértice \((h, k)\) de la parábola, lo que facilita el análisis de las propiedades de la gráfica, como el vértice, el eje de simetría y las intersecciones.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola, una curva con forma de U. Al cambiar los coeficientes \(a\), \(h\) y \(k\), puedes explorar cómo se transforma la parábola.

A - Vértice, Valores Máximo y Mínimo

Para \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), el término \((x - h)^2\) siempre es no negativo: \[ (x - h)^2 \ge 0 \] Multiplicar por el coeficiente \(a\) da lugar a dos casos:

1. Caso 1: \(a > 0\) (positivo)
   \[ a(x - h)^2 \ge 0 \Rightarrow a(x - h)^2 + k \ge k \Rightarrow f(x) \ge k \] Por lo tanto, \(k\) es el valor mínimo de \(f\), que ocurre en el vértice \((h, k)\).
2. Caso 2: \(a < 0\) (negativo)
   \[ a(x - h)^2 \le 0 \Rightarrow a(x - h)^2 + k \le k \Rightarrow f(x) \le k \] Por lo tanto, \(k\) es el valor máximo de \(f\), también en el vértice \((h, k)\).

Así, el vértice \((h, k)\) es un punto mínimo si \(a > 0\) y un punto máximo si \(a < 0\).

Ejemplo: Identificar el Vértice y el Tipo de Extremo

Encuentra el vértice de cada función y clasifícalo como punto mínimo o máximo.

1. \( f(x) = -(x + 2)^2 - 1 \)
2. \( f(x) = -x^2 + 2 \)
3. \( f(x) = 2(x - 3)^2 \)

Solución:

1. Reescribe como \( f(x) = -(x - (-2))^2 - 1 \). Aquí \(a = -1\), \(h = -2\), \(k = -1\). Vértice: \((-2, -1)\), un máximo (ya que \(a < 0\)).
2. Reescribe como \( f(x) = -(x - 0)^2 + 2 \). Aquí \(a = -1\), \(h = 0\), \(k = 2\). Vértice: \((0, 2)\), un máximo.
3. Reescribe como \( f(x) = 2(x - 3)^2 + 0 \). Aquí \(a = 2\), \(h = 3\), \(k = 0\). Vértice: \((3, 0)\), un mínimo (ya que \(a > 0\)).

B - Intersecciones con el Eje X de una Función Cuadrática en Forma de Vértice

Las intersecciones con el eje X son las soluciones reales (si existen) de la ecuación: \[ a(x - h)^2 + k = 0 \] Resolviendo paso a paso: \[ \begin{aligned} a(x - h)^2 &= -k \\ (x - h)^2 &= -\frac{k}{a} \\ x - h &= \pm \sqrt{-\frac{k}{a}} \\ x &= h \pm \sqrt{-\frac{k}{a}} \end{aligned} \] Existen soluciones reales solo cuando \(-\frac{k}{a} \ge 0\) (es decir, \(-\frac{k}{a}\) es no negativo).

Ejemplo: Encontrar las Intersecciones con el Eje X

Encuentra las intersecciones con el eje X para cada función.

1. \( f(x) = -2(x - 3)^2 + 2 \)
2. \( g(x) = -(x + 2)^2 \)
3. \( h(x) = 4(x - 1)^2 + 5 \)

Solución:

1. Resuelve \(-2(x - 3)^2 + 2 = 0\):
   \[ \begin{aligned} -2(x - 3)^2 &= -2 \\ (x - 3)^2 &= 1 \\ x - 3 &= \pm 1 \\ x &= 4 \quad \text{o} \quad x = 2 \end{aligned} \] Intersecciones con el eje X: \((4, 0)\) y \((2, 0)\).
2. Resuelve \(-(x + 2)^2 = 0\):
   \[ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \] Una intersección con el eje X en \((-2, 0)\).
3. Resuelve \(4(x - 1)^2 + 5 = 0\):
   \[ 4(x - 1)^2 = -5 \Rightarrow (x - 1)^2 = -\frac{5}{4} \] No hay solución real (lado derecho negativo). Por lo tanto, no hay intersecciones con el eje X.

C - Convertir la Forma de Vértice a la Forma General

Para convertir \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) a la forma general \( f(x) = ax^2 + bx + c \), desarrolla el cuadrado y combina términos semejantes.

Ejemplo: Conversión

Reescribe \( f(x) = -(x - 2)^2 - 4 \) en su forma general.

Solución:

Recursos Adicionales

• Calculadora de Funciones Cuadráticas: Encuentra Vértice e Intersecciones
• Empareja Funciones Cuadráticas con sus Gráficas
• Tutorial sobre Graficación de Funciones Cuadráticas
• Funciones Cuadráticas en Forma General