Es muy común en matemáticas representar una función mediante una ecuación o fórmula. Presentaremos ejemplos y preguntas, incluyendo sus soluciones, sobre funciones dadas por ecuaciones. También se incluyen preguntas relacionadas con el dominio y rango de una función.
La ecuación \( y = 2x + 1 \) representa una función que asigna exactamente un valor para \( y \) por cada valor de \( x \) en el dominio de la función. Decimos que la variable \( y \) es una función de la variable \( x \).
\( y \) se llama la variable dependiente y \( x \) se llama la variable independiente, ya que su valor depende de \( x \).
Ejemplo
Considera la función representada por la ecuación \( y = 2x + 1 \).
Sea \( x \) los valores en el dominio \( D = \{-2, 0, 1, 2\} \).
a) Calcula el rango \( R \) de valores de \( y \) correspondientes a los valores de \( x \) dados en el dominio \( D \).
b) Representa la función usando una tabla, un conjunto de pares ordenados, una gráfica y diagramas de Venn.
Solución
a)
Calcula los valores correspondientes de \( y \) para los valores dados de \( x \).
Para \( x = -2 \), \( y = 2(-2) + 1 = -3 \)
Para \( x = 0 \), \( y = 2(0) + 1 = 1 \)
Para \( x = 1 \), \( y = 2(1) + 1 = 3 \)
Para \( x = 2 \), \( y = 2(2) + 1 = 5 \)
\( R = \{-3, 1, 3, 5\} \)
b)
Representa la función dada como una tabla
| \( x \) | \( -2 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 2 \) |
| \( y \) | \( -3 \) | \( 1 \) | \( 3 \) | \( 5 \) |
El dominio \( D \) de una función es el conjunto de todos los valores de la variable independiente \( x \) para los cuales la variable dependiente \( y \) está definida.
El rango \( R \) de una función es el conjunto de todos los valores de la variable dependiente \( y \) correspondientes a los valores de \( x \) en el dominio \( D \).
Ejemplo
Encuentra el dominio de las funciones \( y \) como función de \( x \) definidas por las ecuaciones:
a) \( y = 2 - x \)
b) \( 2y - x = 4 \)
c) \( y = \dfrac{1}{x} \)
d) \( y = \sqrt{x} \)
Solución
a)
La variable dependiente \( y \) de la función dada por \( y = 2 - x \) está definida para cualquier valor \( x \) en el conjunto de los números reales. Por lo tanto, el dominio de la función dada es el conjunto de todos los números reales.
b)
Primero necesitamos resolver para la variable independiente \( y \)
Reescribe la ecuación dada con el término en \( y \) a la izquierda: \( 2y = 4 + x \)
Multiplica todos los términos de la ecuación anterior por \( \dfrac{1}{2} \): \( \dfrac{1}{2} \cdot 2y = \dfrac{1}{2} \cdot 4 + \dfrac{1}{2} x \)
Simplifica para obtener: \( y = 2 + \dfrac{1}{2}x \)
La variable dependiente \( y \) de la función dada por \( y = 2 + \dfrac{1}{2}x \) está definida para cualquier valor \( x \) en el conjunto de los números reales. Por lo tanto, el dominio de la función dada es el conjunto de todos los números reales.
c)
Hay una división en el lado derecho de la ecuación dada \( y = \dfrac{1}{x} \) y se sabe que la división por cero no está permitida en matemáticas.
Por lo tanto, la variable dependiente \( y \) de la función dada por \( y = \dfrac{1}{x} \) está definida para todos los valores \( x \) en el conjunto de todos los números reales excepto \( x = 0 \).
d)
Hay una raíz cuadrada en el lado derecho de la ecuación dada \( y = \sqrt{x} \) y se sabe que la raíz cuadrada de un número negativo no es real en matemáticas.
Por lo tanto, la variable dependiente \( y \) de la función dada por \( y = \sqrt{x} \) está definida para todos los valores \( x \) en el conjunto de todos los números reales no negativos.
Ejemplo
Encuentra el rango de la función \( y = x^2 + 1 \) para \( x \) en el dominio: \( D = \{0, 1, 6\} \)
Solución
El rango es el conjunto de valores de \( y \) para \( x \) en el dominio. Los valores en el rango se calculan sustituyendo \( x \) por sus valores en el dominio.
Para \( x = 0 \), \( y = 0^2 + 1 = 1 \)
Para \( x = 1 \), \( y = 1^2 + 1 = 2 \)
Para \( x = 6 \), \( y = 6^2 + 1 = 36 + 1 = 37 \)
Rango: \( R = \{1, 2, 37\} \)
Se incluyen temas más avanzados sobre dominio y rango.
Ejemplo - Probando Ecuaciones para Funciones
¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan \( y \) como una función de \( x \)?
a) \( x + y = 2 \)
b) \( x + 5 = |y| \)
c) \( \dfrac{y}{x} = -3 \)
d) \( x + y^2 = 25 \)
Solución
a)
Resuelve la ecuación dada para \( y \) para obtener: \( y = 2 - x \). La ecuación dada representa \( y \) como una función de \( x \) porque para cada valor de \( x \), tenemos solo un valor de \( y \).
b)
Ecuación dada \( |y| = x + 5 \). Para ambos valores \( y = 2 \) y \( y = -2 \), obtenemos \( |y| = 2 \), por lo tanto \( x = 5 - |y| = 5 - 2 = 3 \).
Entonces, para una entrada \( x = 3 \), tenemos dos salidas \( y = -2 \) y \( y = 2 \) y por lo tanto la ecuación dada no representa \( y \) como una función de \( x \).
c)
Resuelve la ecuación dada para \( y \) para obtener: \( y = \dfrac{1}{x} \). La ecuación dada representa \( y \) como una función de \( x \) porque para cada valor de \( x \), tenemos solo un valor de \( y \).
d)
Ecuación dada \( x + y^2 = 25 \), resuelve para \( x \) para obtener \( x = 25 - y^2 \).
Sea \( y = 3 \), \( x = 25 - 9 = 16 \).
Sea \( y = -3 \), \( x = 25 - 9 = 16 \).
Por lo tanto, para una entrada \( x = 16 \), tenemos dos salidas \( y = -3 \) y \( y = 3 \) y por lo tanto la ecuación dada no representa \( y \) como una función de \( x \).
La ecuación \( y = -2x + 6 \) representa \( y \) como una función de \( x \). A una función se le puede dar un nombre.
La función dada por la ecuación anterior puede escribirse como: \( y = f(x) \) donde \( f \) es el nombre de la función y \( f(x) = -2x + 6 \).
\( x \) es el argumento o entrada de la función, y \( y = f(x) \) es el valor o salida de la función. \( f(x) \) también se llama la imagen de \( x \) mediante \( f \).
\( f(x) \) se lee como "\( f \) de \( x \)".
Por lo tanto, \( f(\color{red}{2}) = -2\color{red}{(2)} + 6 = -4 + 6 = 2 \)
Encuentra el rango de la función dada a continuación, dado su dominio \( D \).
\( y = x^2 - 1 \), \( D = \{-1, 3, 5\} \)
¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan o no representan \( y \) como una función de \( x \)? Explica por qué.
a) \( -3x + y = x + 3 \)
b) \( |x| + 5 = y \)
c) \( \dfrac{y - 2}{x} = -3 \)
d) \( x + |y| = 25 \)
Encuentra el dominio de las funciones.
a) \( -y = x + 2 \)
b) \( 3x = y + 4 \)
c) \( y = \dfrac{1}{x - 2} \)
d) \( y = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \)
Evalúa, si es posible, lo siguiente.
\( f(0) \), \( f(-2) \), \( f(10) \), \( g(-4) \) y \( g(-3) \) dado que \( f(x) = -6x + 10 \) y \( g(x) = \dfrac{1}{x+3} \).
a)
Resuelve la ecuación dada para \( y \) y agrupa términos semejantes para obtener: \( y = 4x + 3 \)
Para cada valor de la variable independiente \( x \), hay solo un valor de la variable dependiente \( y \) y por lo tanto la ecuación dada representa \( y \) como una función de \( x \).
b)
La ecuación dada puede escribirse como: \( y = |x| + 5 \)
Para cada valor de la variable \( x \), hay solo un valor de la variable dependiente \( y \) y por lo tanto la ecuación dada representa \( y \) como una función de \( x \).
c)
Multiplica ambos lados de la ecuación dada por \( x \) para obtener: \( x \cdot \dfrac{y - 2}{x} = -3x \)
Simplifica lo anterior: \( y - 2 = -3x \)
Resuelve para \( y \): \( y = -3x + 2 \)
Para cada valor de la variable \( x \), hay solo un valor de la variable dependiente \( y \) y por lo tanto la ecuación dada representa \( y \) como una función de \( x \).
d)
Reescribe la ecuación dada como: \( |y| = 25 - x \)
Sustituye \( x \) por cualquier valor real en la ecuación anterior. Para \( x = 4 \), por ejemplo, la ecuación anterior se escribe como \( |y| = 25 - 4 = 21 \)
Resuelve la ecuación \( |y| = 21 \) para obtener dos soluciones: \( y = 21 \) y \( y = -21 \)
Por lo tanto, para la entrada \( x = 4 \), tenemos dos valores de la salida \( y \) y por lo tanto la ecuación dada no representa \( y \) como una función de \( x \).
a)
Resuelve la ecuación dada para \( y \): \( y = -x - 2 \)
La variable independiente \( x \) en la función anterior puede tomar cualquier valor en el conjunto de los números reales. Por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales.
b)
Resuelve la ecuación dada para \( y \): \( y = 3x - 4 \)
La variable independiente \( x \) en la función anterior puede tomar cualquier valor en el conjunto de los números reales. Por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales.
c)
En la función dada \( y = \dfrac{1}{x - 2} \), hay una división y la división por cero no está permitida en matemáticas.
El denominador de la expresión \( \dfrac{1}{x - 2} \) es \( x - 2 \), que es igual a cero para \( x = 2 \). Por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto \( x = 2 \).
d)
En la función dada \( y = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \), hay una raíz cuadrada y una división. La raíz cuadrada se define como un número real para \( x \) no negativo. La división no está permitida para \( \sqrt{x} = 0 \) o \( x = 0 \).
Por lo tanto, el dominio de la función dada es el conjunto de todos los números reales positivos.
Calcula por sustitución.
\( f(\color{red}{0}) = -6\color{red}{(0)} + 10 = 0 + 10 = 10 \)
\( f(\color{red}{-2}) = -6\color{red}{(-2)} + 10 = 12 + 10 = 22 \)
\( f(\color{red}{10}) = -6\color{red}{(10)} + 10 = -60 + 10 = -50 \)
\( g(\color{red}{-4}) = \dfrac{1}{(-4)+3} = \dfrac{1}{-1} = -1 \)
\( g(\color{red}{-3}) = \dfrac{1}{(-3)+3} = \dfrac{1}{0} = \text{no definido} \)
Álgebra y Trigonometría - Swokowsky Cole - 1997 - ISBN: 0-534-95308-5
Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica - R.E. Larson, R.P. Hostetler, B.H. Edwards, D.E. Heyd - 1997 - ISBN: 0-669-41723-8
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