Resolvedor de Ecuaciones de Seno

Se presenta un resolvedor y calculadora en línea para ecuaciones simples de seno de la forma \( \sin x = a \).
Se presentan soluciones en el intervalo \( [ 0, 2\pi) \) o \( [ 0, 360^{\circ}) \). (Nota: el intervalo es abierto en \( 2\pi \)).

Interpretaciones gráficas de las soluciones de la ecuación \( \sin(x)= a \) en el intervalo \( [ 0, 2\pi) \)

A continuación se muestra la gráfica de \( y = \sin(x) \) y \( y = a \) (línea horizontal en rojo) y se puede observar que para \( a \gt 1 \) o \( a \lt - 1 \), no hay puntos de intersección de las dos gráficas y por lo tanto la ecuación \( \sin(x) = a \) no tiene solución.
Para \( a = 1 \), hay un punto de tangencia \( A \), por lo tanto una solución dada por \( x = \dfrac{\pi}{2} \)
Para \( a = - 1 \), hay un punto de tangencia \( H \), por lo tanto una solución dada por \( x = \dfrac{3\pi}{2} \)
Para todos los demás valores de \( a \), hay dos puntos de intersección, por lo tanto hay dos soluciones.
La calculadora presentada a continuación permite practicar diferentes casos como se describió anteriormente y, por lo tanto, comprender completamente cómo resolver ecuaciones de la forma \( \sin(x) = a \).

Soluciones analíticas de la ecuación \( \sin(x)= a \) en el intervalo \( [ 0, 2\pi) \)

1) El rango de \( y = \sin(x) \) es el intervalo \( [ -1, 1] \) (ver gráfica arriba). Por lo tanto, \( \sin(x) \) no puede tomar valores fuera del intervalo \( [ -1, 1] \) y la ecuación \(\sin(x) = a \) no tiene solución real para \( a \gt 1 \) o \( a \lt -1 \).
2) La solución de la ecuación \(\sin(x) = 1 \) es \( x = \dfrac{\pi}{2} \)
3) La solución de la ecuación \(\sin(x) = -1 \) es \( x = \dfrac{3\pi}{2} \)
4) Las soluciones de la ecuación \(\sin(x) = 0 \) son: \( x_1 = 0 \) y \( x_2 = \pi \)

5) Para todos los demás valores de \( a \), resolvemos la ecuación \(\sin(x) = a \) de la siguiente manera:
Sea el ángulo de referencia \( x_r = \arcsin(|a|) \)
Si \( 0 \lt a \lt 1\), hay dos soluciones: \( x_1 = x_r\) y \( x_2 = \pi - x_r \)
Si \( -1 \lt a \lt 0\), hay dos soluciones: \( x_1 = x_r + \pi\) y \( x_2 = 2\pi - x_r \)

Usa la calculadora para resolver la ecuación \( \sin(x)= a \) para \( x \) en el intervalo \( [ 0, 2\pi) \)

Resultados

\[ \sin(x) = a \] \[ \text{Soluciones: } x = \arcsin(a) + 2k\pi,\quad x = \pi - \arcsin(a) + 2k\pi \]