Cuartiles y Diagramas de Caja
Los cuartiles dividen un conjunto de datos numéricos x1, x2, x3 ... xN en cuatro grupos, ordenados de menor a mayor, donde cada grupo incluye aproximadamente el 25% (un cuarto) de todos los valores del conjunto.
Sea Q1 el cuartil inferior, Q2 la mediana y Q3 el cuartil superior. Los cuatro grupos de valores se definen por los intervalos:
Grupo 1: Desde el valor mínimo hasta Q1. Q1 también se llama percentil 25 porque el 25% de los datos están por debajo de él.
Grupo 2: Desde Q1 hasta Q2. Q2 es el percentil 50 porque el 50% de los datos están por debajo.
Grupo 3: Desde Q2 hasta Q3. Q3 es el percentil 75 porque el 75% de los datos están por debajo.
Grupo 4: Desde Q3 hasta el valor máximo.
Métodos para Calcular Cuartiles
Existen diferentes métodos para calcular cuartiles. Aquí se describirán y usarán dos métodos, que solo difieren cuando el número de valores es impar.
En ambos métodos, se comienza encontrando la mediana (Q2).
Luego se divide el conjunto ordenado en dos mitades: inferior y superior. Si el número de valores N es par, la división es directa. Si N es impar, hay dos enfoques:
Primer método
Dividir el conjunto en dos mitades sin incluir la mediana. El cuartil inferior Q1 es la mediana de la mitad inferior, y el cuartil superior Q3 es la mediana de la mitad superior.
Segundo método
Dividir el conjunto en dos mitades incluyendo la mediana en ambas.
El cuartil inferior Q1 es la mediana de la mitad inferior, y el cuartil superior Q3 es la mediana de la mitad superior.
Ejemplos de Cálculo de Cuartiles y Construcción de Diagramas de Caja
Ejemplo 1
Calcula los cuartiles del conjunto: 20 , 2 , 1 , 12 , 4 , 8 , 9 , 6 y dibuja el diagrama de caja.
Solución del Ejemplo 1
Primero ordenamos el conjunto de forma ascendente:
1 , 2 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 , 20
Encontramos la mediana Q2: Q2 = (6 + 8) / 2 = 7
El número N de valores es 8 (par); dividimos el conjunto en dos mitades:
Mitad inferior: 1 , 2 , 4 , 6
Mitad superior: 8 , 9 , 12 , 20
El cuartil inferior Q1 es la mediana de la mitad inferior:
Q1 = (2 + 4) / 2 = 3
El cuartil superior Q3 es la mediana de la mitad superior:
Q3 = (9 + 12) / 2 = 10.5
Los cuartiles, mínimo y máximo se grafican junto con los valores (en azul) para crear un diagrama de caja como se muestra. El conjunto se divide en cuatro grupos como se describió, donde los dos grupos del medio (de Q1 a Q3) forman la "caja", y los grupos externos (del mínimo a Q1 y de Q3 al máximo) forman los "bigotes".
Grupo 1: Del mínimo a Q1
Grupo 2: De Q1 a Q2
Grupo 3: De Q2 a Q3
Grupo 4: De Q3 al máximo.
Cada grupo contiene 2 valores de un total de 8, es decir, un cuarto (25%) de los datos.
Los diagramas de caja son un resumen de cinco números (mínimo, máximo, mediana y cuartiles) útiles para entender la distribución y dispersión de los datos.
Ejemplo 2
Las calificaciones de un examen de Matemáticas son: 55 , 35 , 60 , 86 , 65 , 75 , 83 , 88 , 88 , 90 , 95 , 96 , 98. Calcula los cuartiles y dibuja el diagrama de caja.
Solución del Ejemplo 2
Ordenamos ascendentemente:
35 , 55 , 60 , 65 , 75 , 83 , 86 , 88 , 88 , 90 , 95 , 96 , 98
Mediana Q2 = 86
El número N es 13 (impar); usamos los dos métodos.
Método 1: Dividir incluyendo la mediana 86 en ambas mitades:
Mitad inferior: 35 , 55 , 60 , 65 , 75 , 83 , 86
Mitad superior: 86 , 88 , 88 , 90 , 95 , 96 , 98
Q1 = mediana de la mitad inferior = 65
Q3 = mediana de la mitad superior = 90
Método 2: Dividir sin incluir la mediana 86:
Mitad inferior: 35 , 55 , 60 , 65 , 75 , 83
Mitad superior: 88 , 88 , 90 , 95 , 96 , 98
Q1 = (60 + 65) / 2 = 62.5
Q3 = (90 + 95) / 2 = 92.5
Los diagramas de caja para ambos métodos se muestran a continuación:
Ejemplos de Lectura de Cuartiles en Diagramas de Caja
Ejemplo 3
Los diagramas de caja de las calificaciones de las clases A, B, C y D se muestran abajo. El número de estudiantes en cada clase es 12, 19, 22 y 28 respectivamente.
Usa los diagramas para responder:
a) Determina la calificación mínima y máxima, los cuartiles inferior y superior, la mediana, el rango y el rango intercuartílico (IQR) de cada clase.
b) ¿Qué clase tiene la calificación más alta?
c) ¿Qué clase tiene la calificación más baja?
d) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron una calificación por encima de la mediana en cada clase?
e) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron una calificación por debajo del cuartil inferior en cada clase?
f) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron una calificación entre el cuartil inferior y el máximo en cada clase?
g) Usando el rango y el rango intercuartílico, ¿qué clase tiene la mayor dispersión y cuál la menor?
Solución del Ejemplo 3
a)
Rango = valor máximo - valor mínimo
Rango intercuartílico (IQR) = Q3 - Q1
|
Mínimo |
Máximo |
Q1 |
Q3 |
Q2 (Mediana) |
Rango |
IQR |
| Clase A |
50 |
94 |
64 |
90 |
85 |
44 |
26 |
| Clase B |
20 |
100 |
60 |
94 |
76 |
80 |
34 |
| Clase C |
41 |
98 |
65 |
90 |
85 |
57 |
25 |
| Clase D |
30 |
98 |
60 |
90 |
82 |
68 |
30 |
b)
La clase B tiene la calificación más alta (100).
c)
La clase B tiene la calificación más baja (20).
d)
La mediana divide los datos ordenados en dos mitades, por lo que la mitad de los estudiantes están por encima de la mediana.
Clase A: (1/2) de 12 = 6 estudiantes
Clase B: (1/2) de 19 ≈ 10 estudiantes (se redondea al entero más cercano)
Clase C: (1/2) de 22 = 11 estudiantes
Clase D: (1/2) de 28 = 14 estudiantes
e)
Los cuartiles dividen los datos en 4 grupos con 1/4 cada uno. Por lo tanto, un cuarto de los estudiantes están por debajo de Q1.
Clase A: (1/4) de 12 = 3 estudiantes
Clase B: (1/4) de 19 ≈ 5 estudiantes
Clase C: (1/4) de 22 ≈ 6 estudiantes
Clase D: (1/4) de 28 = 7 estudiantes
f)
Tres cuartos de los datos están entre Q1 y el máximo.
Clase A: (3/4) de 12 = 9 estudiantes
Clase B: (3/4) de 19 ≈ 14 estudiantes
Clase C: (3/4) de 22 ≈ 17 estudiantes
Clase D: (3/4) de 28 = 21 estudiantes
g)
La clase A tiene el rango (44) e IQR (26) más pequeños.
La clase B tiene el rango (80) e IQR (34) más grandes.
Por lo tanto, las calificaciones de la clase A tienen la menor dispersión, y las de la clase B la mayor dispersión.
Más Referencias y Enlaces
Cuartil (Wikipedia)
Media, Mediana y Moda
Desviación Estándar
Media y Desviación Estándar.
John W. Tukey (1977). Exploratory Data Analysis. Addison-Wesley.