Funciones Trigonométricas
Preguntas con Respuestas
Un conjunto de preguntas de trigonometría relacionadas con funciones trigonométricas se presenta a continuación. Se proporcionan explicaciones completas, soluciones y respuestas finales.
Pregunta 1
Encuentra el valor exacto de \(\sin(x/2)\) si \(\sin x = \dfrac{1}{4}\) y \(\dfrac{\pi}{2} < x < \pi\).
Solución a la Pregunta 1
-
Para encontrar \(\sin(x/2)\), usamos la fórmula del ángulo mitad
\[
\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\dfrac{1-\cos x}{2}}
\]
-
Dado que \(\dfrac{\pi}{2} < x < \pi\), entonces \(\dfrac{\pi}{4} < x/2 < \dfrac{\pi}{2}\). Por lo tanto, \(x/2\) está en el cuadrante I y \(\sin(x/2)\) es positivo. Así que
\[
\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = \sqrt{\dfrac{1-\cos x}{2}}
\]
-
Dado \(\sin x = \dfrac{1}{4}\), usamos la identidad
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).
Como \(x\) está en el cuadrante II, \(\cos x\) es negativo:
\[
\cos x = -\sqrt{1-\sin^2 x} = -\sqrt{1-\dfrac{1}{16}} = -\dfrac{\sqrt{15}}{4}
\]
-
Sustituimos \(\cos x\) en la fórmula del ángulo mitad:
\[
\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = \sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{2}}
\]
-
Esto se simplifica a
\[
\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{4}\sqrt{8-2\sqrt{15}}
\]
Pregunta 2
\(x\) está en el cuadrante III. Aproxima \(\sin(2x)\) si \(\cos x = -0.2\). Redondea tu respuesta a dos decimales.
Solución a la Pregunta 2
-
Usa la identidad del ángulo doble
\[
\sin(2x) = 2\sin x\cos x
\]
-
Dado que \(x\) está en el cuadrante III, \(\sin x\) es negativo. Usando
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):
\[
\sin x = -\sqrt{1-(-0.2)^2}
\]
-
Sustituye en la fórmula del ángulo doble:
\[
\sin(2x) = 2\big[-\sqrt{1-(-0.2)^2}\big](-0.2) \approx 0.39
\]
Pregunta 3
\(\tan x = 4\) y \(x\) está en el cuadrante III. Encuentra el valor exacto de \(\cos x\).
Solución a la Pregunta 3
-
Usa la identidad
\[
1+\tan^2 x = \sec^2 x
\]
-
Dado que \(x\) está en el cuadrante III, \(\sec x\) es negativo:
\[
\sec x = -\sqrt{1+4^2} = -\sqrt{17}
\]
-
Por lo tanto
\[
\cos x = \dfrac{1}{\sec x} = -\dfrac{1}{\sqrt{17}}
\]
Pregunta 4
\(\cos(2x)=0.6\) y \(2x\) está en el cuadrante I. Encuentra el valor exacto de \(\csc x\).
Solución a la Pregunta 4
-
Usa
\[
\cos(2x)=2\cos^2 x-1
\]
lo que da
\[
\cos^2 x=0.8
\]
-
Usando \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\):
\[
\sin x = \sqrt{1-0.8}
\]
-
Por lo tanto
\[
\csc x = \dfrac{1}{\sqrt{1-0.8}}
\]
Pregunta 5
Encuentra el valor exacto de \(\cos 15^\circ\).
Solución a la Pregunta 5
-
Usando la fórmula del ángulo mitad
\[
\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1+\cos x}{2}}
\]
-
\[
\cos 15^\circ = \sqrt{\dfrac{1+\cos 30^\circ}{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}
\]
Pregunta 6
Encuentra el valor exacto de \(\tan(-22.5^\circ)\).
Solución a la Pregunta 6
-
\[
\tan(-22.5^\circ)=-\tan(22.5^\circ)
\]
-
Usando
\[
\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}
\]
con \(x=45^\circ\):
\[
\tan(22.5^\circ)=\sqrt{2}-1
\]
\[
\tan(-22.5^\circ)= 1 - \sqrt{2}
\]
Pregunta 7
\(x\) y \(y\) son ángulos en los cuadrantes I y III respectivamente. Si \(\cos x=a\) y \(\sin y=b\), encuentra \(\cos(x+y)\) en términos de \(a\) y \(b\).
Solución a la Pregunta 7
-
Usando
\[
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y
\]
-
Dado que \(x\) está en el cuadrante I:
\[
\sin x=\sqrt{1-a^2}
\]
-
Dado que \(y\) está en el cuadrante III:
\[
\cos y=-\sqrt{1-b^2}
\]
-
\[
\cos(x+y)=-a\sqrt{1-b^2}-b\sqrt{1-a^2}
\]
Pregunta 8
\(x\) está en el cuadrante III y \(\sin x= - \dfrac{1}{3}\). Encuentra \(\sin(3x)\) y \(\cos(3x)\).
Solución a la Pregunta 8
-
Usando
\[
\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3 x
\]
-
\[
\sin(3x)=3\left(-\dfrac{1}{3}\right)-4\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3 = - \dfrac{23}{27}
\]
-
Usando
\[
\cos(3x)= 4\cos ^{3}(x)-3\cos (x)
\]
-
Evaluamos \( \cos(x) \)
\[
\cos(x)= - \sqrt{1 - (- \dfrac{1}{3})^2} = - \dfrac{2\sqrt 2}{3}
\]
-
\[
\cos(3x)= 4 \left(-\dfrac{2\sqrt 2}{3}\right)^3-3\left(-\dfrac{2\sqrt 2}{3}\right) = - \dfrac{10 \sqrt 2}{27}
\]
Pregunta 9
Reduce la potencia de la expresión
\[
4\sin^3 x+4\cos^3 x
\]
Solución a la Pregunta 9
-
Usando identidades de reducción de potencia:
\[
\sin^3 x=\dfrac{3}{4}\sin x-\dfrac{1}{4}\sin(3x),\quad \cos^3 x=\dfrac{3}{4}\cos x+\dfrac{1}{4}\cos(3x)
\]
-
\[
4\sin^3 x+4\cos^3 x=3\sin x-\sin(3x)+3\cos x+\cos(3x)
\]
Pregunta 10
Factoriza la expresión
\[
\sin x+\sin(2x)
\]
Solución a la Pregunta 10
-
Usando \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\):
\[
\sin x+\sin(2x)=\sin x(1+2\cos x)
\]
Más Referencias y Enlaces
Problemas de matemáticas con soluciones detalladas disponibles en este sitio.