Producto Punto de Dos Vectores

Este tutorial explica el producto punto (producto escalar) de dos vectores, sus propiedades, significado geométrico y aplicaciones como encontrar ángulos y determinar si los vectores son ortogonales.

Definición del Producto Punto

Sean \[ \mathbf{v} = \langle v_1, v_2 \rangle \quad \text{y} \quad \mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle \] dos vectores en el plano. El producto punto de v y u se define como:

\[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = v_1u_1 + v_2u_2 \]

Importante: El resultado de un producto punto es un escalar (un número real), no un vector.

Ejemplo 1: Calcular un Producto Punto

Dados: \[ \mathbf{v} = \langle -2, 3 \rangle, \quad \mathbf{u} = \langle 4, 6 \rangle \] encuentra \( \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} \).

Solución

Aplica la definición del producto punto:

\[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = (-2)(4) + (3)(6) \] \[ = -8 + 18 = 10 \]

El producto punto de los dos vectores es 10.

Propiedades del Producto Punto

Ejemplo 2: Magnitud de un Vector Usando el Producto Punto

Sea: \[ \mathbf{v} = \langle 3, -4 \rangle \]

Solución

Método 1: Definición

\[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \]

Método 2: Propiedad del Producto Punto

\[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = 3^2 + (-4)^2 = 25 \] \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{25} = 5 \]

Ambos métodos dan la misma magnitud, confirmando la propiedad.

Interpretación Geométrica del Producto Punto

Si \( \theta \) es el ángulo entre los vectores \( \mathbf{v} \) y \( \mathbf{u} \), entonces:

\[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = \|\mathbf{v}\| \, \|\mathbf{u}\| \cos \theta \] Producto punto y regla del coseno

Esta fórmula nos permite calcular el ángulo entre dos vectores y determinar si son ortogonales.

Si \( \cos \theta = 0 \), entonces \( \theta = \frac{\pi}{2} \) y los vectores son perpendiculares.

Ejemplo 3: Vectores Ortogonales

Demuestra que: \[ \mathbf{v} = \langle 3, -4 \rangle, \quad \mathbf{u} = \langle 4, 3 \rangle \] son ortogonales.

Solución

\[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = (3)(4) + (-4)(3) = 12 - 12 = 0 \]

Como el producto punto es cero, los vectores son ortogonales.

Ejemplo 4: Ángulo Entre Dos Vectores

Encuentra el ángulo entre: \[ \mathbf{v} = \langle 1, 1 \rangle, \quad \mathbf{u} = \langle -4, 3 \rangle \]

Solución

\[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = (1)(-4) + (1)(3) = -1 \] \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{2}, \quad \|\mathbf{u}\| = 5 \] \[ \cos \theta = \frac{-1}{5\sqrt{2}} \] \[ \theta = \cos^{-1}\!\left(\frac{-1}{5\sqrt{2}}\right) \approx 98,1^\circ \]

Ejercicios

  1. Dados \( \mathbf{v} = \langle 10, -5 \rangle \) y \( \mathbf{u} = \langle 2, u_2 \rangle \), encuentra \( u_2 \) para que los vectores sean ortogonales.
  2. Encuentra el ángulo entre \( \mathbf{v} = \langle 1, 1 \rangle \) y \( \mathbf{u} = \langle -2, -2 \rangle \).

Respuestas

  1. \( u_2 = 4 \)
  2. \( 180^\circ \)

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