Encuentre la magnitud y dirección de los vectores; preguntas con soluciones.
Pregunta 1: Encuentre la magnitud y dirección del vector v dada por sus componentes como
v = < 2 , 2>
Solution to Question 1:
Magnitude: || v || = √(22 + 22) = 2 √ 2
Dirección: θ: tan(θ) = 2 / 2 = 1
Los dos componentes del vector v son positivos y por lo tanto el lado terminal de v está en el cuadrante I, por lo tanto θ = arctan(1) = 45°
Pregunta 2: Calcule la magnitud y dirección del vector u dada por sus componentes como
u = < - 7 √3 , 7>
Solución a la pregunta 2:
Magnitud: || u || = √((- 7 √3)2 + 72) = 14
Dirección: θ: tan(θ) = 7 / (- 7 √3) = - 1 / √3
La componente x del vector u es negativa y la componente y del vector u es positiva, por lo tanto el lado terminal de u está en el cuadrante II. Por tanto θ = 180° - arctan(1 / √3) = 180 - 30 = 150°
Pregunta 3: Calcule la magnitud y dirección del vector v dada por sus componentes como
v = < - 5 , - 5√3 >
Solución a la pregunta 3:
Magnitud: || v || = √((- 5)2 + (- 5√3)2) = 10
Dirección: θ: tan(θ) = - 5√3 / - 5 = √3
El lado terminal de u está en el cuadrante III, por lo tanto θ = 180 + arctan(√3) = 180 + 60 = 240°
Pregunta 4: Calcula y compara la magnitud y dirección del vector u y 3 u con u dada por
u = < 4 , 1 >
Solución a la pregunta 4:
3 u se calcula aplicando la regla de multiplicación escalar
3 u = < 3 × 4 , 3 × 1 > = < 12 , 3 >
Magnitud: || u || = √(42 + 12) = √ 17
Magnitude: || 3 u || = √(122 + 32) = 3 √17
Dirección de u: θ1: tan(θ1) = 1 / 4
El lado terminal de u está en el cuadrante I, por lo tanto θ1 = arctan(1/4) ≅ 14.04°,
Dirección de 3 u: θ2: tan(θ2) = 3 / 12 = 1 / 4
El lado terminal de 3 u está en el cuadrante I, por lo tanto θ2 = arctan(1/4) ≅ 14.04°,
Debido a la multiplicación de u por 3, la magnitud de 3 u es 3 veces la magnitud de u pero la dirección no cambia.
Pregunta 5: Calcula y compara la magnitud y dirección del vector u y - 6 u con u dada por
u = < 1 , 1 >
Solución a la pregunta 5:
Aplique la regla de multiplicación escalar para encontrar - 6 u.
- 6 u = < - 6 × 1 , - 6 × 1 > = < - 6 , - 6>
Magnitud: || u || = √(12 + 12) = √2
Magnitud: || - 6 u || = √((-6)2 + (-6)2) = 6 √2
Dirección de u: θ1: tan(θ1) = 1 / 1
El lado terminal de u está en el cuadrante I, por lo tanto θ = arctan(1) = 45°,
Dirección de - 6 u: θ2: tan(θ2) = - 6 / - 6 = 1
El lado terminal de -6u está en el cuadrante III, por lo tanto θ = 180 + arctan(1) = 225 °,
Debido a la multiplicación de u por - 6, la magnitud de - 6 u es 6 veces la magnitud de u, pero la dirección ha cambiado 180°. porque el lado terminal de - 6 u es opuesto al lado terminal de u; esto se debe al signo menos de -6.
Pregunta 6: Calcula las componentes del vector u cuya magnitud es 5 y dirección dada por el ángulo en posición estándar e igual a 270°.
Solución a la pregunta 6:
Sea u = < a , b >. Según las fórmulas dadas anteriormente,
a = || u || cosθ and b = || u || sinθ
donde
|| u || = 5 and θ = 270°
Por lo tanto
a = 5 cos(270°) = 0
b = 5 sin(270°) = - 5
Pregunta 7: Dos vectores u y v tienen magnitudes iguales a 2 y 4 y dirección, dada por el ángulo en posición estándar, igual a 90° y 180° respectivamente. Encuentra la magnitud y dirección del vector 2 u + 3 v
Solución a la pregunta 7:
Primero usemos la fórmula dada anteriormente para encontrar los componentes de u y v.
u = < 2 cos(90°) , 2 sin(90°) > = < 0 , 2 >
v = < 4 cos(180°) , 4 sin(180°) > = < - 4 , 0 >
Sea w = 2 u + 3 v y encuentre las componentes de w.
w = 2 < 0 , 2 > + 3 < - 4 , 0 > = < - 12 , 4 >
Magnitud: || w || = √((- 12)2 + 42) = 4√(10)
Dirección: θ: tan(θ) = 4 / (-12) = - 1 / 3
El lado terminal de w está en el cuadrante II, por lo tanto θ = 180 - arctan(1/3) ≅ 161.57°
Calculadora de magnitud y dirección
vectores.
Calculadoras vectoriales.