Este tutorial explica cómo encontrar la magnitud y la dirección de vectores usando sus componentes o ángulos dados. Se presentan varios ejemplos resueltos con explicaciones claras.
Si un vector v se da en forma de componentes
\[ \mathbf{v} = \langle a , b \rangle \]su magnitud se calcula usando el teorema de Pitágoras:
\[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{a^2 + b^2} \]La dirección del vector se define como el ángulo \( \theta \) (en posición estándar) medido desde el eje x positivo hacia el vector. Satisface:
\[ \tan(\theta) = \frac{b}{a}, \quad 0 \le \theta < 2\pi \]Cuando se conocen la magnitud y la dirección, las componentes del vector se pueden recuperar usando:
\[ a = \|\mathbf{v}\|\cos(\theta), \qquad b = \|\mathbf{v}\|\sin(\theta) \]Encuentra la magnitud y dirección del vector
\[ \mathbf{v} = \langle 2, 2 \rangle \]Magnitud
\[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} \]Dirección
\[ \tan(\theta) = \frac{2}{2} = 1 \]Ambas componentes son positivas, por lo que el vector se encuentra en el Cuadrante I.
\[ \theta = \arctan(1) = 45^\circ \]Calcula la magnitud y dirección de
\[ \mathbf{u} = \langle -7\sqrt{3}, 7 \rangle \]Magnitud
\[ \|\mathbf{u}\| = \sqrt{(-7\sqrt{3})^2 + 7^2} = 14 \]Dirección
\[ \tan(\theta) = \frac{7}{-7\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \]Dado que la componente x es negativa y la componente y es positiva, el vector se encuentra en el Cuadrante II.
\[ \theta = 180^\circ - \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 150^\circ \]Calcula la magnitud y dirección de
\[ \mathbf{v} = \langle -5, -5\sqrt{3} \rangle \]Magnitud
\[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{(-5)^2 + (-5\sqrt{3})^2} = 10 \]Dirección
\[ \tan(\theta) = \frac{-5\sqrt{3}}{-5} = \sqrt{3} \]Ambas componentes son negativas, por lo que el vector se encuentra en el Cuadrante III.
\[ \theta = 180^\circ + \arctan(\sqrt{3}) = 240^\circ \]Compara la magnitud y dirección del vector \( \mathbf{u} \) y \( 3\mathbf{u} \), donde
\[ \mathbf{u} = \langle 4, 1 \rangle \]Usando la multiplicación por un escalar:
\[ 3\mathbf{u} = \langle 12, 3 \rangle \]Magnitudes
\[ \|\mathbf{u}\| = \sqrt{17}, \qquad \|3\mathbf{u}\| = 3\sqrt{17} \]Direcciones
\[ \tan(\theta) = \frac{1}{4} \]Ambos vectores se encuentran en el Cuadrante I y tienen la misma dirección:
\[ \theta \approx 14.04^\circ \]Conclusión: La multiplicación por un escalar positivo cambia la magnitud pero no la dirección.
Compara el vector \( \mathbf{u} \) y \( -6\mathbf{u} \), donde
\[ \mathbf{u} = \langle 1, 1 \rangle \]Magnitudes
\[ \|\mathbf{u}\| = \sqrt{2}, \qquad \|-6\mathbf{u}\| = 6\sqrt{2} \]Direcciones
\[ \theta_{\mathbf{u}} = 45^\circ, \qquad \theta_{-6\mathbf{u}} = 225^\circ \]Conclusión: Multiplicar por un escalar negativo invierte la dirección en \(180^\circ\).
Encuentra las componentes de un vector con magnitud 5 y dirección \(270^\circ\).
Los vectores \( \mathbf{u} \) y \( \mathbf{v} \) tienen magnitudes 2 y 4 y direcciones \(90^\circ\) y \(180^\circ\). Encuentra la magnitud y dirección de \(2\mathbf{u} + 3\mathbf{v}\).
Magnitud
\[ \|\mathbf{w}\| = \sqrt{(-12)^2 + 4^2} = 4\sqrt{10} \]Dirección
\[ \tan(\theta) = -\frac{1}{3} \]El vector se encuentra en el Cuadrante II.
\[ \theta = 180^\circ - \arctan\left(\frac{1}{3}\right) \approx 161.57^\circ \]
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