Este tutorial presenta conceptos vectoriales que incluyen componentes, magnitud, multiplicación por un escalar y adición de vectores, con ejemplos resueltos y explicaciones detalladas.
Los vectores son cantidades matemáticas que tienen tanto una magnitud (tamaño) como una dirección. Se utilizan comúnmente para representar cantidades físicas como fuerza, velocidad y desplazamiento.
La siguiente figura muestra un vector v con punto inicial A y punto terminal B.
Si un vector v tiene punto inicial A\( (a_1, a_2) \) y punto terminal B\( (b_1, b_2) \), entonces su forma componente se obtiene restando coordenadas:
\[ \vec{v} = \langle b_1 - a_1,\; b_2 - a_2 \rangle \]Esto nos indica cuánto se mueve el vector horizontal y verticalmente.
Si un vector se da en forma componente \(\vec{v} = \langle v_1, v_2 \rangle\), entonces su magnitud (o longitud) se obtiene usando el teorema de Pitágoras:
\[ \|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} \]Encuentra los componentes y la magnitud del vector con punto inicial A\( (2,3) \) y punto terminal B\( (4,5) \).
Solución:
Primero, calcula los componentes:
\[ \vec{v} = \langle 4 - 2,\; 5 - 3 \rangle = \langle 2,\; 2 \rangle \]Ahora calcula la magnitud:
\[ \|\vec{v}\| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]Multiplicar un vector por un número real escala su longitud. Si \(\vec{v} = \langle v_1, v_2 \rangle\) y \(k\) es un número real, entonces:
\[ k\vec{v} = \langle kv_1,\; kv_2 \rangle \]Si \(k > 1\), el vector se alarga; si \(0 < k < 1\), se acorta; y si \(k < 0\), la dirección se invierte.
Si dos vectores están dados por \(\vec{v} = \langle v_1, v_2 \rangle\) y \(\vec{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\), su suma se obtiene sumando los componentes correspondientes:
\[ \vec{v} + \vec{u} = \langle v_1 + u_1,\; v_2 + u_2 \rangle \]Sean \(\vec{v} = \langle -2, 3 \rangle\) y \(\vec{u} = \langle 4, 6 \rangle\). Encuentra:
Solución:
Primero calcula las multiplicaciones por escalar, luego suma los vectores.
\[ \vec{v} + 2\vec{u} = \langle -2, 3 \rangle + \langle 8, 12 \rangle = \langle 6, 15 \rangle \] \[ \vec{u} - 4\vec{v} = \langle 4, 6 \rangle + \langle 8, -12 \rangle = \langle 12, -6 \rangle \]Sean \(\vec{v} = \langle 1, -2 \rangle\) y \(\vec{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\). Encuentra \(u_1\) y \(u_2\) tales que:
\[ \vec{v} + 3\vec{u} = \vec{0} \]Solución:
\[ \langle 1 + 3u_1,\; -2 + 3u_2 \rangle = \langle 0, 0 \rangle \]Iguala cada componente a cero:
\[ 1 + 3u_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad u_1 = -\frac{1}{3} \] \[ -2 + 3u_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad u_2 = \frac{2}{3} \]1. \(-\vec{v} + 2\vec{u} = \langle -1, -2 \rangle\), \(\vec{v} - \frac{1}{2}\vec{u} = \langle -2, 2 \rangle\)
2. \(u_1 = \frac{8}{3},\quad u_2 = \frac{2}{3}\)