Suma de vectores y multiplicación escalar

Se presentan tutoriales que incluyen ejemplos con soluciones detalladas sobre la suma y multiplicación escalar de vectores.

Los vectores son cantidades matemáticas que se utilizan para representar conceptos como fuerza o velocidad que tienen tanto una magnitud como una dirección.
La siguiente figura muestra el vector v con el punto inicial A y el punto terminal B.

puntos inicial y terminal del vector


Componentes de un vector

La forma componente del vector v con el punto inicial A(a1 , a2) y el punto terminal B(b1 , b 2) está dada por

v = < b1 - a1 , b2 - a2 >


Magnitud de un vector

Si un vector está dado por sus componentes v = < v1 , v2 > , su magnitud || v || es dado por

|| v || = √(v1 2 + v2 2)

Ejemplo 1: Encuentre las componentes y la magnitud del vector v con el punto inicial A(2,3) y el punto terminal B(4,5).
Solución al ejemplo 1:
Utilice la definición anterior para encontrar el vector v
v = < v1 , v2 > = < b1 - a1 , b2 - a2 >
= < 4 - 2 , 5 - 3 > = < 2 , 2 >
y su magnitud || v ||
|| v || = √(v1 2 + v2 2)
= √(2 2 + 2 2) = √(8) = 2 √(2)


Multiplicación escalar de un vector

La multiplicación escalar del vector v = < v1 , v2 > por un número real k es el vector k v dado por
k v = < k v1 , k v2 >


Suma de dos vectores

La suma de dos vectores v(v1 , v2) y u (u1 , u2) da vector
v + u = < v1 + u1 , v2 + u2>


A continuación se muestran subprogramas html5 que pueden usarse para comprender la explicación geométrica de la suma de dos vectores. Ingrese los componentes de los vectores A y B y use botones para dibujar, agregar, acercar y alejar, así como traducir el sistema de ejes.

Componentes del vector A
Componentes del vector B
Zoom
Translate origin
>

Un en línea Se puede utilizar la calculadora de suma de vectores para comprobar las respuestas a los ejemplos siguientes.

Ejemplo 2: Los vectores v y u están dados por sus componentes de la siguiente manera
v = < -2 , 3> and u = < 4 , 6>
Encuentra cada uno de los siguientes vectores.
1 : v + 2 u
2 : u - 4 v
Solución al ejemplo 2:
Primero realice la multiplicación escalar 2 u luego la suma

1 : v + 2 u = <-2 , 3> + 2 <4 , 6> = <-2 , 3> + <8 , 12>
= <6 , 15>
2 : u - 4 v = <4 , 6> + (- 4) <-2 , 3> = <4 , 6> + <8 , -12>
= <12 , -6>

Ejemplo 3: v y u son vectores dados por
v = < 1 , -2> and u = < u1 , u2>
Encuentra los componentes u1 y u2 del vector u de modo que v + 3 u = 0.
Solución al ejemplo 3:
Primero obtenemos v + 3 u en términos de u1 y u2

v + 3 u = <1 , -2> + 3 <u1 , u2>

= <1 , -2> + <3 u1 , 3 u2>
= <1 + 3 u1 , -2 + 3 u2>
Para que el vector anterior sea igual al vector 0, sus dos componentes deben ser iguales a 0, por lo tanto
1 + 3 u1 = 0 and -2 + 3 u2 = 0
Resuelve la primera ecuación para u1 y la segunda ecuación para u2
u1 = -1 / 3 and u2 = 2 / 3

Ejercicios
1. Vectores dados
v = <-3 , 2> and u = <-2 , 0>,
Encuentre los siguientes vectores.
- v + 2 u , v - (1/2) u
2. Los vectores v y u están dados por
v = <4 , 1> and u = <u1 , u2>,
encuentre los componentes u1 y u2 de modo que 2 v - 3 u = 0.

Respuestas a los ejercicios anteriores.
1.
- v + 2 u = <- 1 , -2>,
v - (1/2) = <- 2 , 2>,
2.
u1 = 8 / 3
u2 = 2 / 3


Más referencias relacionadas con vectores.

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