Fonctions rationnelles

fonctions rationnelles et les propriétés de leurs graphiques telles que le domaine, asymptotes verticales et horizontales, X et Y sont explorées intercepte l'aide d'un applet. L'étude de ces fonctions est effectué en changeant les paramètres inclus dans la formule de la fonction. Chaque paramètre peut être modifié en permanence qui permet une meilleure compréhension des propriétés des graphes de ces fonctions. Une fois que vous finissez avec le tutoriel présent, vous voudrez peut-être à un autre tutoriel sur les fonctions rationnelles d'explorer plus avant les propriétés de ces fonctions.




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Définition et domaine des fonctions rationnelles

Une fonction rationnelle est définie comme le quotient de deux fonctions polynômes.

f (x) = P (x) / Q (x)

Voici quelques exemples de fonctions rationnelles:

  • g (x) = (x 2 + 1) / (x - 1)
  • h (x) = (2x + 1) / (x + 3)

Les fonctions rationnelles à explorer dans ce tutoriel sont de la forme

f (x) = (ax + b) / (cx + d)


où a, b, c et d sont des paramètres qui peuvent être modifiées, l'aide de curseurs, de comprendre leurs effets sur les propriétés des graphes des fonctions rationnelles définies ci-dessus.

Exemple: Trouver le domaine de chaque fonction ci-dessous.

  1. g (x) = (x - 1) / (x - 2)
  2. h (x) = (x + 2) / x

Solution

  1. Pour la fonction g à définir, le dénominateur x - 2 doit être différent de zéro ou pas x 2 égale à. Ainsi le domaine de g est donnée par
    (-Infini, 2) U (2, + infini).

  2. Pour la fonction h à définir, le dénominateur x doit être différent de zéro ou x pas égal à 0. Ainsi le domaine de la H est donnée par
    (-Infini, 0) U (0, + infini).

Didacticiel interactif

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  1. Cliquez sur le bouton "Cliquez ici pour commencer", ci-dessus, pour démarrer l'applet et de maximiser la fenêtre obtenue.
  2. Définir un b à 1, à -1, c et d de 1 à -2 en vue de définir la fonction g donnée dans la partie A) de l'exemple ci-dessus. Vérifiez que le graphique est discontinue en x = 2 (pas de graphe à x = 2).
  3. Définir un b à 1, à 2, c à d 1 et à 0 en vue de définir la fonction h figure dans la partie b) de l'exemple ci-dessus. Vérifiez que le graphique est discontinue en x = 0 (pas de graphe à x = 0).

Trous dans les graphiques de fonctions rationnelles

Que faire si les zéros du numérateur et le dénominateur de la fonction rationnelle sont égaux?

Exemple
f (x) = (2x + 2) / (x + 1)
= 2 (x + 1) / (x + 1)
= 2, pour x non -1 égal.

Le graphique de la fonction f est une ligne horizontale avec un trou (fonction non définie) en x = -1.

Didacticiel interactif

  1. Retournez à la fenêtre et a fixé un applet à 2, à 2 b, c et d de 1 à 1. Vérifiez que le graphique est celle d'une ligne horizontale. Il n'est pas facile d'observer le trou depuis la discontinuité (trou) dans le graphique a la dimension d'un pixel qui est très petit pour voir.
  2. Définir une autre fonction rationnelle avec des zéros d'égalité dans le numérateur et le dénominateur et vérifier que le graphe est celui d'une ligne horizontale.

Vertical asymptotes de fonctions rationnelles

Soit f (x) = 1 / x. f (x) n'est pas définie en x = 0 (division par zéro n'est pas autorisée). Mais quel est le comportement de la courbe "proche" de zéro?

Dans les tableaux ci-dessous sont des valeurs de la fonction f quand x tend vers zéro à partir de la droite (x> 0) et que x tend vers zéro de la gauche (x <0).

tableau de valeurs pour f (x) quand x tend vers zéro de la droite

Nous constatons que l'approche de zéro x de la droite, f (x) prend des valeurs plus grandes. Y at-il une limite aux valeurs de f (x)? Non, f (x) augmente sans limite.

tableau de valeurs pour f (x) quand x tend vers zéro de gauche

Nous notons également que l'approche de x zéro à partir de la gauche, f (x) prend des valeurs plus petites. Y at-il une limite aux valeurs de f (x)? Non, f (x) diminue sans limite. La ligne verticale x = 0 est appelé l'asymptote verticale et elle est donnée par le zéro du dénominateur.

Didacticiel interactif

  1. Réglez les paramètres de A à 0, à 1 b, c et d de 1 à 0 (f (x) = 1 / x). Observez le comportement de la courbe à gauche et à droite de x = 0.
  2. Réglez les paramètres de A à 0, à 1 b, c et d de 1 à des valeurs différentes (0, 1, -1 ,.... Observez le comportement de la courbe à gauche et à droite de x = D.

Horizontal asymptotes de fonctions rationnelles

Soit f (x) = 1 / x. Quel est le comportement du graphe de f comme | x | devient très grand?

Contes en dessous des valeurs montrent des f lorsque x devient très grand, et quand x devient très faible.

tableau de valeurs pour f (x) lorsque x prend de grandes valeurs


tableau de valeurs pour f (x) lorsque x prend de petites valeurs

Comme x prend des valeurs plus petites ou x prend des valeurs plus grandes, f (x) prend des valeurs proches de zéro et le graphique se rapproche de la ligne horizontale y = 0. Cette ligne est appelée l'asymptote horizontale.

Didacticiel interactif

  1. Réglez les paramètres de A à 0, à 1 b, c et d de 1 à 0 (f (x) = 1 / x). Observez le comportement de la courbe que x prend de grandes valeurs (à droite) et que x prend des valeurs plus petites (à gauche). Notez que le graphique se rapproche de l'axe des x (y = 0). Zoom avant ou arrière si nécessaire.
  2. Réglez les paramètres a, b à 1, à 1, c à d 1 et à 2. Quelle est l'équation de l'asymptote horizontale? Changer de A et B seulement, les mettre à différents non nuls valeurs et note que l'équation de l'asymptote horizontale est donnée par y = a / c.

Exercices: Equation trouverez de fonction rationnelle du graphique

Cliquez sur "Cliquez ici pour commencer» ci-dessous pour démarrer l'applet et générer des graphiques de fonctions rationnelles de la forme

f (x) = (ax - b) / (x - c)


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L'idée est de trouver l'équation de la fonction à partir du graphique. Cliquez sur le bouton "nouveau graphique" pour générer un graphique. Utilisez le point d'intersection x, à l'horizontale et la verticale asymptotes de la courbe pour trouver les coefficients a, b et c. Utilisez les boutons de zoom si nécessaire. Une fois que vous avez trouvé un, b et c cliquez sur le bouton "Afficher / Masquer" pour afficher la réponse, les coefficients a, b et c.

Plus d'informations sur des sujets liés à des fonctions rationnelles

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Mise à jour: 27 Novembre 2007 (A Dendane)
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