Integrale von Funktionen berechnen

Berechnen Sie Integrale mit verschiedenen Techniken anhand von Beispielen mit detaillierten Lösungen und Erklärungen. Weitere Übungen mit Lösungen finden Sie am Ende der Seite.
In allen Beispielen und Übungen stellt \( c \) die Integrationskonstante dar.

Beispiele mit detaillierten Lösungen

Beispiel 1

Berechnen Sie das Integral \[ \int 6 \; \cos x \; \sin x \; dx \]

Lösung zu Beispiel 1

Wir verwenden zuerst die trigonometrische Identität \( 2 \sin x \cos x = \sin (2 x) \), um das Integral wie folgt umzuschreiben: \[ \int 6 \; \cos x \; \sin x \; dx = 3 \int \sin (2x) \; dx \] Verwenden Sie die Integration durch Substitution: Setze \( u = 2 x \), was zu \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) oder \( du = 2 dx \) bzw. \( dx = du / 2 \) führt, und setze in das obige Integral ein, um zu erhalten: \[ = 3 \int (1/2) \sin u \; du \] Wir verwenden nun die Integralformeln für die Sinusfunktion und erhalten: \[ = - (3/2) \cos u + c \]
Setzen Sie \( u \) wieder durch \( 2x \) ein, um das Endergebnis zu erhalten: \[ \int 6 \cos x \sin x \; dx = - (3/2) \cos (2 x) + c \] Als Übung leiten Sie \[ - (3/2) \cos 2 x + c \] ab, um \[ 6 \sin x \cos x \] zu erhalten, was dem Integranden des gegebenen Integrals entspricht. Dies ist eine Möglichkeit, die Antwort bei Integralberechnungen zu überprüfen.

Beispiel 2


Berechnen Sie das Integral \[ \int x \; \sqrt{x+1} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 2:

Verwenden Sie die Integration durch Substitution: Setze \( u = x + 1 \), was \( x = u - 1 \) ergibt. \[ \int x \sqrt{x+1} \; dx = \int (u-1) \cdot u^{1/2} \; dx \] Das Obige führt zu \( \dfrac{du}{dx}=1 \) und \( du = dx \), und das gegebene Integral ist gleich: \[ = \int (u^{3/2}-u^{1/2}) \; du \] Wir verwenden nun die Eigenschaft für das Integral der Summe von Funktionen und die Formel für die Integration von Potenzfunktionen: \( \int x^n dx = \left(\dfrac{1}{n+1}\right) \; x^{n+1} + c \), um zu erhalten: \[ = (2 / 5) u^{5/2} - (2 / 3) u^{3/2} + c \] Wir setzen nun \( u \) wieder durch \( x + 1 \) in das obige Ergebnis ein, um das Endergebnis wie folgt zu erhalten: \[ \int x \sqrt{x+1} \; dx = (2 / 5) (x + 1)^{5/2} - (2 / 3) (x + 1)^{3/2} + c \] Um die endgültige Antwort zu überprüfen, differenzieren Sie das erhaltene unbestimmte Integral, um den Integranden \( x \sqrt{x + 1} \) des gegebenen Integrals zu erhalten.

Beispiel 3

Berechnen Sie das Integral \[ \int \cos^2 x \; dx \]

Lösung zu Beispiel 3

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cos^2 x = \dfrac{1+\cos(2x)}{2} \), um das gegebene Integral umzuschreiben als: \[ \int \cos^2 x \; dx = \int \dfrac{1+\cos(2x)}{2} \; dx \] Verwenden Sie die Integration durch Substitution: \( u = 2x \), so dass \( du = 2 dx \) und \( dx = du / 2 \), und das gegebene Integral kann geschrieben werden als: \[ = \int (1/4)(1+\cos u) \; du \] Integrieren, um zu erhalten: \[ = (1 / 4) u + (1 / 4) \sin (u) + c \] Setzen Sie \( u \) wieder durch \( 2 x \) ein und vereinfachen Sie: \[ \int \cos^2 x \; dx = x / 2 + (1 / 4) \sin (2 x) + c \] Überprüfen Sie die endgültige Antwort durch Differentiation.

Beispiel 4

Berechnen Sie das Integral \[ \int x^3 e^{x^4} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 4

Verwenden Sie die Integration durch Substitution: Setze \( u = x^4 \), so dass \( du / dx = 4 x^3 \), was zu \( (1 / 4) du = x^3 dx \) führt, so dass das gegebene Integral geschrieben werden kann als: \[ \int x^3 e^{x^4} dx = \int (1 / 4) e^u \; du \] Wir verwenden nun die Formel für das Integral der Exponentialfunktion, um zu schreiben: \[ \int (1 / 4) e^u \; du = (1 / 4) e^u + c \] Setzen Sie \( u \) wieder durch \( x^4 \) ein, um die endgültige Antwort zu erhalten: \[ \int x^3 e^{x^4} dx = (1 / 4) e^{x^4}+ c \]

Beispiel 5

Berechnen Sie das Integral \[ \int \dfrac{\sin (2x)}{1-\cos^2(x)} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 5

Verwenden Sie die trigonometrischen Identitäten: \( \sin (2x) = 2 \sin x \; \cos x \) und \( 1-\cos^2(x) = \sin^2(x) \), um das gegebene Integral umzuschreiben als: \[ \int \dfrac{\sin (2x)}{1-\cos^2(x)}dx = \int \dfrac{2 \sin x \cos x}{\sin^2(x)}dx \] Vereinfachen und umschreiben als: \[ = \int 2 \dfrac{\cos x}{\sin x} \; dx \] Verwenden Sie die Integrationsformel \( \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \), um zu erhalten: \[ = 2 \ln |\sin x| + c \]

Beispiel 6

Berechnen Sie das Integral \[ \int (x+\sin x)^2 \; dx \]

Lösung zu Beispiel 6

Expandieren Sie \( (x+\sin x)^2 = x^2 + \sin^2 x + 2 x \sin x \) und wenden Sie die Summenregel der Integrale an, um das gegebene Integral umzuschreiben als: \[ \int (x+\sin x)^2 \; dx = \int x^2 \; dx + \int \sin^2 x \; dx + \int 2 x \; \sin x \; dx \] Berechnen Sie jedes Integral in der obigen Summe: \[ \int x^2 \; dx = (1/3) x^3 + c\] Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sin^2 x = (1 - \cos (2x)) / 2 \), um die Potenz zu reduzieren und das zweite Integral in der Summe umzuschreiben als: \[ \int \sin^2 x \; dx = \int \dfrac{1 - \cos (2x)}{2} \; dx = (1/2) x - (1/4) \sin (2x) + c\] Das dritte Integral wird mit der partiellen Integration berechnet: \[ \int u' v \; dx = u v - \int u v' \; dx \] Setze \( v = x \) und \( u' = \sin x \), so dass \( v' = 1 \) die Berechnungen vereinfacht und \( u = -\cos x \). \[ \int 2 x \; \sin x \; dx = 2 (- x \cos x - \int (-\cos x) dx ) = - 2 x \cos x + 2 \sin x + c \] Die endgültige Antwort für das gegebene Integral ergibt sich aus der Summe aller drei oben berechneten Integrale: \[ \int (x+\sin x)^2 \; dx = (1/3) x^3 + (1/2) x - (1/4) \sin (2x) - 2 x \cos x + 2 \sin x + c \]

Beispiel 7


Berechnen Sie das Integral \[ \int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 7

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \), um das gegebene Integral umzuschreiben als: \[ \int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx = \int \dfrac{\sin x}{1 - \cos^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx \] Verwenden Sie die Integration durch Substitution: Setze \( u = \cos x \), was \( \dfrac{du}{dx} = -\sin x \) und \( du = -\sin x \; dx \) ergibt, und setze in das Integral ein: \[ \int \dfrac{\sin x}{1 - \cos^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx = \int -\dfrac{1}{u^2 + 2 u - 3} du = \int \dfrac{1}{-u^2 - 2 u + 3} du\] Es ist einfacher, mit \( \int -\dfrac{1}{u^2 + 2 u - 3} du \) zu arbeiten. Faktorisieren Sie den Nenner \( u^2 + 2 u - 3 = (u+3)(u-1) \) und verwenden Sie die Partialbruchzerlegung, um \( -\dfrac{1}{u^2 + 2 u - 3} \) umzuschreiben. Zuerst zerlegen wir \( \dfrac{1}{u^2 + 2 u - 3} \): \[ \dfrac{1}{u^2 + 2 u - 3} = \dfrac{A}{u+3} + \dfrac{B}{u-1} = -\dfrac{1}{4(u+3)}+\dfrac{1}{4(u-1)} \] Daher ist: \[ -\dfrac{1}{u^2 + 2 u - 3} = \dfrac{1}{4(u+3)} - \dfrac{1}{4(u-1)} \] Setzen Sie in das Integral in \( u \) ein und verwenden Sie die Summenregel der Integrale, um zu schreiben: \[ \int -\dfrac{1}{u^2 + 2 u - 3} du = \int \dfrac{1}{4(u+3)} du - \int \dfrac{1}{4(u-1)} du \] Verwenden Sie die Integrationsformel \( \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \) für jedes Integral: \[ = (1/4) (\ln |u+3| - \ln|u-1|) + c \] Setzen Sie \( u = \cos x \) ein, um das Endergebnis zu erhalten: \[ \int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx = (1/4) \left(\ln | \cos x + 3| - \ln| \cos x - 1| \right) + c \] Unter Verwendung der Logarithmus-Eigenschaften \( \ln \dfrac {X}{Y} = \ln X - \ln Y \), um die endgültige Antwort umzuschreiben als: \[ \int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx = (1/4) \left(\ln \left|\dfrac{ \cos x + 3}{\cos x - 1} \right|\right) + c \]

Beispiel 8

Berechnen Sie das Integral \[ \int \dfrac{1}{x+\sqrt{x+2}} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 8

Verwenden Sie die Integration durch Substitution: Setze \( u = \sqrt {x + 2} \); quadrieren Sie beide Seiten und lösen Sie nach \( x \) auf, um \( x = u^2 - 2 \) zu erhalten.
Wir haben auch \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2} (x+2)^{-1/2} \), was \( dx = 2 (x+2)^{ 1/2} \; du = 2u \; du\) ergibt. Das Integral wird zu: \[ \int \dfrac{1}{x+\sqrt{x+2}} \; dx = 2 \int \dfrac {u}{u^2 - 2 + u} \; du \] Faktorisieren Sie den Nenner \( u^2 - 2 + u = (u+2)(u-1) \) und schreiben Sie die Partialbruchzerlegung von \( \dfrac {u}{u^2 - 2 + u} \) als: \[ \dfrac {u}{u^2 - 2 + u} = \dfrac{A}{u-1} + \dfrac{B}{u+2} \] Lösen Sie nach \( A \) und \( B \) auf, um zu erhalten: \[ \dfrac {u}{u^2 - 2 + u} = \dfrac{1}{3(u-1)} + \dfrac{2}{3(u+2)} \] Setzen Sie in das Integral in \( u \) ein und verwenden Sie die Summenregel der Integrale, um zu schreiben: \[ 2 \int \dfrac {u}{u^2 - 2 + u} \; du = 2 \int \dfrac{1}{3(u-1)} du + 2 \int \dfrac{2}{3(u+2)} du \] Verwenden Sie die Integrationsformel \( \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \) für jedes Integral: \[ = (2/3) \ln |u-1| + (4/3) \ln|u+2| + c \] Setzen Sie \( u = \sqrt {x + 2} \) ein, um das Endergebnis zu erhalten: \[ \int \dfrac{1}{x+\sqrt{x+2}} \; dx = (2/3) \ln |\sqrt {x + 2} - 1| + (4/3) \ln|\sqrt {x + 2} + 2| + c \]

Beispiel 9


Berechnen Sie das Integral \[ \int \dfrac{1}{\tan x} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 9

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \), um das Integral umzuschreiben als: \[ \int \dfrac{1}{\tan x} \; dx = \int \dfrac {\cos x}{\sin x} \; dx \] Verwenden Sie die Integrationsformel \( \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \), um zu erhalten: \[ = \ln | \sin x | + c \] Daher: \[ \int \dfrac{1}{\tan x} \; dx = \ln | \sin x | + c \]

Beispiel 10

Berechnen Sie das Integral \[ \int \dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 10

Vervollständigen Sie das Quadrat im Nenner: \[ \int \dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} \; dx = \int \dfrac {1}{(x+1)^2} \; dx \] Verwenden Sie die Integration durch Substitution: Setze \( u = x + 1 \) und daher \( \dfrac{du}{dx} = 1 \), was \( dx = du \) ergibt: \[ = \int \dfrac {1}{u^2} \; du \] Schreiben Sie um als: \[ = \int u^{-2} \; du \] Verwenden Sie die Formel für die Integration von Potenzfunktionen: \( \int x^n dx = \left(\dfrac{1}{n+1}\right) \; x^{n+1} + c \), um zu erhalten: \[ = - u^{-1} + c \] \[ = -\dfrac{1}{u}+ c \] Setzen Sie zurück ein: \( u = x + 1 \), um das Endergebnis zu schreiben als: \[ \int \dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} \; dx = -\dfrac{1}{x+1} + c \]

Beispiel 11

Berechnen Sie das Integral \[ \int \dfrac{1}{x^2+x+1} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 11

Beachten Sie, dass der Nenner \( x^2+x+1 \) nicht über die rationalen Zahlen faktorisiert werden kann und daher die Methode der Partialbruchzerlegung nicht verwendet werden kann.
Ein bekanntes Integral, das dem gegebenen Integral nahe kommt, ist \( \int \dfrac{1}{x^2+1}dx = \arctan (x) + c \).
Beginnen Sie, indem Sie das Quadrat im Nenner vervollständigen: \[ x^2+x+1 = (x + 1/2)^2 + 3/4 \] Verwenden Sie die Integration durch Substitution: Setze \( u = x + 1/2 \), was \( dx = du \) ergibt, und schreiben Sie das Integral um als: \[ \int \dfrac{1}{x^2+x+1}dx = \int \dfrac{1}{u^2+3/4} du \] Faktorisieren Sie \( 3/4 \) im Nenner: \[ = \dfrac{4}{3} \int \dfrac{1}{\dfrac{4}{3} u^2+1} du \] Substituieren Sie: \( w = \dfrac{2}{\sqrt 3} u \), was \( w^2 = \dfrac{4}{ 3} u^2 \) und \( \dfrac{dw}{du} = \dfrac{2}{\sqrt 3} \) ergibt, was geschrieben werden kann als \( du = \dfrac{\sqrt 3}{2} dw \), und schreiben Sie das Integral um als: \[ = \dfrac{4}{3} \int \dfrac{1}{w^2+1} \dfrac{\sqrt 3}{2} dw \] Vereinfachen und schreiben Sie das Ergebnis um als: \[ = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \int \dfrac{1}{w^2+1} dw = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \arctan w + c \] Setzen Sie \( w = \dfrac{2}{\sqrt 3} u \) und \( u = x + 1/2 \) oder direkt \( w = \dfrac{2}{\sqrt 3} (x+1/2) \) ein, um die endgültige Antwort zu erhalten: \[ \int \dfrac{1}{x^2+x+1}dx = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left(\dfrac{2}{\sqrt 3} (x+1/2) \right) + c \]

Beispiel 12

Berechnen Sie das Integral \[ \int \dfrac{x^4-2x^2+x}{x^2+x+1} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 12

Beachten Sie, dass der Grad des Zählers größer ist als der Grad des Nenners, und daher dividieren wir den Zähler durch den Nenner. \[ \dfrac{x^4-2x^2+x}{x^2+x+1} = x^2 - x - 2 + \dfrac{4x+2}{x^2+x+1} \] Das gegebene Integral kann geschrieben werden als: \[ \int \dfrac{x^4-2x^2+x}{x^2+x+1}dx = \int \left(x^2 - x - 2 + \dfrac{4x+2}{x^2+x+1} \right) dx \] \( \dfrac{4x+2}{x^2+x+1} \) kann geschrieben werden als: \[ \dfrac{4x+2}{x^2+x+1} = 2 \dfrac{2x+1}{x^2+x+1} \] Beachten Sie, dass der Zähler \( 2x+1 \) die Ableitung des Nenners \( x^2+x+1 \) ist, und daher verwenden wir die Integrationsformel \( \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \), um die endgültige Antwort zu erhalten: \[ \int \dfrac{x^4-2x^2+x}{x^2+x+1}dx = (1/3)x^3 - (1/2)x^2 - 2x + 2 \ln |x^2+x+1| + c \]

Beispiel 13

Berechnen Sie das Integral \[ \int \left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^4 \; dx \]

Lösung zu Beispiel 13

Verwenden Sie den binomischen Lehrsatz \( \left(x+y\right)^n=\sum _{i=0}^n\binom{n}{i}x^{\left(n-i\right)}y^i \), um den Integranden zu entwickeln. \[ \left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^4 = x^{12} - 4x^7 + 6x^2 - \dfrac{4}{x^3} + \dfrac{1}{x^8} \] Das gegebene Integral kann geschrieben werden als: \[ \int \left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^4 \; dx = \int \left(x^{12} - 4x^7 + 6x^2 - \dfrac{4}{x^3} + \dfrac{1}{x^8} \right) dx \] Verwenden Sie die Integration von Potenzfunktionen: \( \int x^n dx = \left(\dfrac{1}{n+1}\right) \; x^{n+1} + c \), um die endgültige Antwort zu erhalten: \[ = \dfrac{x^{13}}{13} - \dfrac{4x^8}{8} + \dfrac{6x^3}{3} - \dfrac{4x^{-2}}{-2} + \dfrac{x^{-7}}{-7} + c \] \[ = \dfrac{x^{13}}{13} - \dfrac{x^8}{2} + 2x^3 + \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{7x^7} + c \]

Beispiel 14

Berechnen Sie das Integral \[ \int \tan^2(x) \; dx \]

Lösung zu Beispiel 14

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \), um das Integral umzuschreiben als: \[ \int \tan^2(x) \; dx = \int (\sec^2 x - 1) \; dx = \int \sec^2 x \; dx - \int 1 \; dx \] Verwenden Sie die Formel \( \int \sec^2 x dx = \tan (x) + c \), um die endgültige Antwort zu erhalten: \[ \int \tan^2(x) \; dx = \tan (x) - x + c \]

Beispiel 15


Berechnen Sie das Integral \[ \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 15

Beachten Sie, dass die Ableitung von \( 4x^5 - 2 \) gleich \( 20 x^4\) ist, daher die Methode der Substitution: Setze \( u = 4x^5 - 2 \), was \( \dfrac{du}{dx} = 20 x^4 \) und \( dx = \dfrac{du}{20 x^4} \) ergibt.
Das Integral kann geschrieben werden als: \[ \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx = \int x^4 u^{10} \dfrac{1}{20 x^4} du \] Vereinfachen und schreiben als: \[ = \dfrac{1}{20} \int u^{10} du \] Verwenden Sie die Integration von Potenzfunktionen: \( \int x^n dx = \left(\dfrac{1}{n+1}\right) \; x^{n+1} + c \), um zu erhalten: \[ = \dfrac{1}{20} \cdot \dfrac{1}{11} u^{11} + c = \dfrac{1}{220} u^{11} + c \] Setzen Sie \( u = 4x^5 - 2 \) wieder ein: \[ \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx = \dfrac{1}{220} (4x^5 - 2)^{11} + c \]

Beispiel 16


Berechnen Sie das Integral \[ \int x^2 \arcsin(x) \; dx \]

Lösung zu Beispiel 16

Partielle Integration: \( \int w' v \; dx = w v - \int w v' \; dx \).
Setze \( w' = x^2 \), also \( w = (1/3) x^3 \), und \( v = \arcsin(x) \), also \( v' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \): \[ \int x^2 \arcsin(x) \; dx = (1/3) x^3 \arcsin(x) - (1/3) \int x^3 \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \;dx \qquad (I) \] Das Integral auf der rechten Seite kann mit Substitution behandelt werden: Setze \( u = \sqrt {1-x^2} \), was \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = -\dfrac{x}{u} \) oder \( dx = -\dfrac{u}{x} du \) ergibt. \[ \int x^3 \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \;dx = \int x^3 \dfrac{1}{u} \left(-\dfrac{u}{x}\right) du \] Vereinfachen: \[ = - \int x^2 \; du \] Quadrieren Sie beide Seiten von \( u = \sqrt {1-x^2} \) und lösen Sie auf, um \( x^2 = 1 - u^2 \) zu erhalten, und setzen Sie in das obige Integral ein: \[ = - \int (1 - u^2) \; du = \int (u^2 - 1) \; du \] Berechnen Sie das obige Integral: \[ = (1/3) u^3 - u + c \] Setzen Sie \( u = \sqrt {1-x^2} \) zurück ein und setzen Sie in Integral (I) ein, um die endgültige Antwort zu erhalten: \[ \int x^2 \arcsin(x) \; dx = \dfrac{1}{3} x^3 \arcsin(x) - \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{3} (\sqrt {1-x^2})^3 - \sqrt {1-x^2} \right) + c \] \[ = \dfrac{1}{3} x^3 \arcsin(x) - \dfrac{1}{9} (1-x^2)^{3/2} + \dfrac{1}{3} \sqrt{1-x^2} + c \]

Beispiel 17

Berechnen Sie das Integral \[ \int \sqrt{x} \ln x \; dx \]

Lösung zu Beispiel 17

Verwenden Sie die partielle Integration: \( \int w' v \; dx = w v - \int w v' \; dx \). Setze \( w' = \sqrt{x} \), also \( w = (2/3)x^{3/2} \), und \( v = \ln x \), also \( v' = 1/x \): \[ \int \sqrt{x} \ln x \; dx = (2/3)x^{3/2} \ln x - \int (2/3)x^{3/2} (1/x) \; dx \] Vereinfachen Sie die rechte Seite: \[ = (2/3)x^{3/2} \ln x - \int (2/3)x^{1/2} \; dx \] Berechnen Sie das Integral, um die endgültige Antwort zu erhalten: \[ = \dfrac{2}{3} x^{3/2} \ln x - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} x^{3/2} + c = \dfrac{2}{3} x^{3/2} \ln x - \dfrac{4}{9} x^{3/2} + c \]

Beispiel 18

Berechnen Sie das Integral \[ \int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 18

Verwenden Sie die Integration durch Substitution: Setze \( u = \sqrt{x+1} \), was \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} = \dfrac{1}{2u} \) oder \( dx = 2u \; du\) ergibt.
Lösen Sie \( u = \sqrt{x+1} \) nach \( x \) auf, um \( x = u^2 - 1 \) zu erhalten, und schreiben Sie das Integral um als: \[ \int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x} \; dx = \int \dfrac{u}{u^2 - 1} \cdot 2u \; du = 2 \int \dfrac{u^2}{u^2 - 1} \; du \] Dividieren Sie den Zähler durch den Nenner in \( \dfrac{u^2}{u^2 - 1} \): \[ \dfrac{u^2}{u^2 - 1} = 1 + \dfrac{1}{u^2-1} \] und die Partialbruchzerlegung von \( \dfrac{1}{u^2-1} \) hilft, den Integranden \( \dfrac{u^2}{u^2 - 1} \) umzuschreiben als: \[ \dfrac{u^2}{u^2 - 1} = 1 - \dfrac{1}{2(u+1)} + \dfrac{1}{2(u-1)} \] Setzen Sie ein und berechnen Sie das Integral: \[ 2 \int \left(1 - \dfrac{1}{2(u+1)} + \dfrac{1}{2(u-1)}\right) du = 2 \left( u - \dfrac{1}{2} \ln |u+1| + \dfrac{1}{2} \ln |u-1| \right) + c \] \[ = 2u - \ln |u+1| + \ln |u-1| + c = 2u + \ln \left| \dfrac{u-1}{u+1} \right| + c \] Setzen Sie \( u = \sqrt{x+1} \) zurück ein, um die endgültige Antwort zu erhalten: \[ \int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x} \; dx = 2\sqrt{x+1} + \ln \left| \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1} \right| + c \]

Beispiel 19


Berechnen Sie das Integral \[ \int \sin\left(\sqrt{x}\right) \; dx \]

Lösung zu Beispiel 19

Verwenden Sie die Integration durch Substitution: Setze \( u = \sqrt{x} \), was \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{2u} \) oder \( dx = 2u \; du\) ergibt. \[ \int \sin\left(\sqrt{x}\right) \; dx = 2 \int u \sin u \; du \] Wenden Sie die partielle Integration auf \( \int u \sin u \; du \) an: \( \int w' v \; du = w v - \int w v' \; du \). Setze \( w' = \sin u \), also \( w = -\cos u \), und \( v = u \), also \( v' = 1 \): \[ \int u \sin u \; du = -u \cos u + \int \cos u \; du = -u \cos u + \sin u + c \] Setzen Sie \( u = \sqrt{x} \) zurück ein, um die endgültige Antwort zu erhalten: \[ \int \sin\left(\sqrt{x}\right) \; dx = -2 \sqrt{x} \cos \sqrt{x} + 2 \sin \sqrt{x} + c \]

Beispiel 20

Berechnen Sie das Integral \[ \int \dfrac{1}{e^x+e^{-x}} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 20

Verwenden Sie die Integration durch Substitution: Setze \( u = e^x \), was \( \dfrac{du}{dx} = e^x \) oder \( dx = \dfrac{1}{e^x} du = \dfrac{1}{u} du\) ergibt. \[ \int \dfrac{1}{e^x+e^{-x}} \; dx = \int \dfrac{1}{u + 1/u} \cdot \dfrac{1}{u} \; du \] Vereinfachen: \[ = \int \dfrac{1}{u^2+1} \; du \] Verwenden Sie das Standardintegral \( \int \dfrac{1}{u^2+1}du = \arctan (u) \), um zu erhalten: \[ = \arctan u + c \] Setzen Sie \( u = e^x \) zurück ein, um die endgültige Antwort zu schreiben als: \[ \int \dfrac{1}{e^x+e^{-x}} \; dx = \arctan(e^x) + c \]

Beispiel 21

Berechnen Sie das Integral \[ \int \log_5 x \; dx \]

Lösung zu Beispiel 21

Wir verwenden zuerst die Basisumrechnungsformel des Logarithmus: \( \log_5 (x) = \dfrac{\ln x}{\ln 5} \), um das gegebene Integral zu schreiben als: \[ \int \log_5 x \; dx = \dfrac{1}{\ln 5} \int \ln x \; dx \] Wenden Sie die partielle Integration auf \( \int \ln x \; dx \) an: \( \int w' v \; dx = w v - \int w v' \; dx \). Setze \( w' = 1 \), also \( w = x \), und \( v = \ln x \), also \( v' = 1/x \): \[ \int \ln x \; dx = x \ln x - \int x \cdot \dfrac{1}{x} \; dx = x \ln x - x + c \] Vereinfachen und schreiben Sie die endgültige Antwort als: \[ \int \log_5 x \; dx = \dfrac{1}{\ln 5} (x \ln x - x) + c \]

Beispiel 22

Berechnen Sie das Integral \[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 22

Beachten Sie, dass, wenn es eine Möglichkeit gibt, den Ausdruck unter der Quadratwurzel als Quadrat zu schreiben, die Quadratwurzel vereinfacht würde.
In der Trigonometrie haben wir die Identität \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = \sqrt{\cos^2 t} = |\cos t| \). Wir müssen eine Variablenänderung vornehmen, so dass der Ausdruck unter der Quadratwurzel im gegebenen Integral dem obigen Beispiel ähnelt. \[ \sqrt{16 - x^2} = 4 \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{16}} = 4 \sqrt{1 - \left(\dfrac{x}{4} \right)^2} \] Verwenden Sie die Methode der trigonometrischen Substitution: Setze \( \dfrac{x}{4} = \sin t \), was \( x = 4 \sin t \) und \( \dfrac{dx}{dt} = 4 \cos t \) oder \( dx = 4 \cos t \; dt \) ergibt. \[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = \int \dfrac{ (4 \sin t)^2 }{4 |\cos t|} \; 4 \cos t \; dt \] Das obige Integral kann nur berechnet werden, wenn wir \( |\cos t| \) vereinfachen können. Für unbestimmte Integrale können wir annehmen, dass entweder \( |\cos t| = \cos t \) oder \( |\cos t| = -\cos t \) gilt. Das gegebene Integral ist unbestimmt, und wir werden annehmen, dass \( \cos t \ge 0 \) und daher \( |\cos t| = \cos t \). Daher kann das Integral vereinfacht und geschrieben werden als: \[ = 16 \int \sin^2 t \; dt \] Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sin^2 t = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2t)) \), um das Integral umzuschreiben als: \[ = 16 \int \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2t)) \; dt = 8 \int (1 - \cos(2t)) \; dt \] Berechnen Sie das obige Integral: \[ = 8t - 8 \cdot \dfrac{1}{2} \sin(2t) + c = 8t - 4 \sin(2t) + c \] Die Substitution \( x = 4 \sin t \) kann als \( t = \arcsin(x/4) \) geschrieben werden, was im obigen Ergebnis verwendet wird und die endgültige Antwort liefert: \[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = 8 \arcsin(x/4) - 4 \sin(2 \arcsin(x/4)) + c \] Dieser Ausdruck \( \sin(2 \arcsin(x/4)) \) kann vereinfacht werden, und die endgültige Antwort kann geschrieben werden als: \[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = 8 \arcsin\left(\dfrac{x}{4}\right) - \dfrac{x\sqrt{16-x^2}}{2} + c \]

Übungen

Verwenden Sie die Tabelle der Integrale und die obigen Eigenschaften, um die folgenden Integrale zu berechnen. [Beachten Sie, dass Sie für ein Integral möglicherweise mehr als eine der obigen Eigenschaften und Methoden verwenden müssen].

  1. \( \int (\sqrt{x} - \dfrac{x^3}{4} + x \ln x ) dx \)
  2. \( \int \sqrt{x+1} dx \)
  3. \( \int \sin^2 x dx \)
  4. \( \int x \cos(x^2) dx \)
  5. \( \int x e^{x^2} dx \)



Lösungen zu den obigen Übungen

  1. \( \dfrac{2}{3}x^{3/2} - \dfrac{x^4}{16} + \dfrac{1}{2}x^2 \ln x - \dfrac{x^2}{4} + c \)
  2. \( (2/3) (x+1)^{3/2} + c \)
  3. \( x/2 - (1/4)\sin(2x) + c \) (Äquivalent zu \( x/2 - (1/2)\sin x \cos x + c \))
  4. \( (1/2) \sin(x^2) + c \)
  5. \( (1/2) e^{x^2} + c \)


Weitere Referenzen und Links

  1. Integrale und ihre Anwendungen in der Analysis.