Numerische und grafische Ansätze werden verwendet, um das Konzept von Grenzwerten anhand von Beispielen einzuführen.
Sei \( g(x) = \dfrac{\sin x}{x} \) und berechne \( g(x) \), wenn \( x \) Werte nahe 0 annimmt. Wir betrachten Werte von \( x \), die sich von links der 0 nähern (\( x \lt 0 \)) und Werte von \( x \), die sich von rechts der 0 nähern (\( x > 0 \)).
Hier sagen wir, dass \( \lim_{{x \to 0}} g(x) = 1 \). Beachte, dass \( g(0) = \dfrac{\sin 0}{0} = \dfrac{0}{0} \) an der Stelle \( x = 0 \) nicht definiert ist.
Die Grafik unten zeigt, dass sich \( y = f(x) \) dem Wert 2 nähert, wenn \( x \) sich von links der 1 nähert, und dies kann geschrieben werden als \[ \lim_{{x \to 1^-}} f(x) = 2 \] Wenn \( x \) sich von rechts der 1 nähert, nähert sich \( y = f(x) \) dem Wert 4, und dies kann geschrieben werden als \[ \lim_{{x \to 1^+}} f(x) = 4 \] Beachte, dass der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert und \( f(1) = 3 \) alle unterschiedlich sind.
Diese Grafik zeigt, dass
\[ \lim_{{x \to 1^-}} f(x) = 2 \]
Wenn \( x \) sich von rechts der 1 nähert, nähert sich \( y = f(x) \) dem Wert 4, und dies kann geschrieben werden als
\[ \lim_{{x \to 1^+}} f(x) = 4 \]
Beachte, dass der linksseitige Grenzwert \( \lim_{{x \to 1^-}} f(x) = 2 \) und \( f(1) = 2 \) gleich sind.
Diese Grafik zeigt, dass
\[ \lim_{{x \to 0^-}} f(x) = 1 \]
und
\[ \lim_{{x \to 0^+}} f(x) = 1 \]
Beachte, dass der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert gleich sind und wir schreiben können
\[ \lim_{{x \to 0}} f(x) = 1 \]
In diesem Beispiel ist der Grenzwert, wenn \( x \) sich 0 nähert, gleich \( f(0) = 1 \).
Diese Grafik zeigt, dass \( f(x) \) immer kleiner wird und gegen unendlich strebt (kein Grenzwert), wenn \( x \) sich von links -2 nähert. Wir schreiben
\[ \lim_{{x \to -2^-}} f(x) = -\infty \]
Wenn \( x \) sich von rechts \( -2 \) nähert, wird \( f(x) \) immer größer und strebt gegen unendlich (kein Grenzwert). Wir schreiben
\[ \lim_{{x \to -2^+}} f(x) = +\infty \]
Beachte, dass \( -\infty \) und \( +\infty \) Symbole und keine Zahlen sind. Dies sind Symbole, die anzeigen, dass der Grenzwert nicht existiert.
Die Grafik unten zeigt eine periodische Funktion, deren Wertebereich durch das Intervall [-1, 1] gegeben ist. Wenn \( x \) gegen unendlich strebt, nimmt \( f(x) \) Werte innerhalb von [-1, 1] an und hat keinen Grenzwert. Dies kann geschrieben werden als
\[ \lim_{{x \to +\infty}} f(x) = \text{existiert nicht} \]
Wenn \( x \) gegen minus unendlich strebt, nimmt \( f(x) \) Werte innerhalb von [-1, 1] an und hat ebenfalls keinen Grenzwert. Dies kann geschrieben werden als
\[ \lim_{{x \to -\infty}} f(x) = \text{existiert nicht} \]
Wenn \( x \) gegen unendlich strebt, nähert sich \( f(x) \) in der Grafik unten dem Wert 2. Dies kann geschrieben werden als
\[ \lim_{{x \to +\infty}} f(x) = 2 \]
Wenn \( x \) gegen minus unendlich strebt, nähert sich \( f(x) \) dem Wert 2. Dies kann geschrieben werden als
\[ \lim_{{x \to -\infty}} f(x) = 2 \]
