Wie man die Grenzwerte von Funktionen mit Beträgen findet; mehrere Beispiele und detaillierte Lösungen werden zusammen mit grafischen Interpretationen präsentiert. Eine Reihe von Übungen mit Antworten befindet sich am Ende der Seite.
Bestimmen Sie den Grenzwert: \[ \lim_{x \to -1} \frac{x}{|x|} \]
Die Schritte zur Bestimmung des Grenzwerts sind: \[ \lim_{x \to -1} \frac{x}{|x|} = \frac{-1}{|-1|} = \frac{-1}{1} = -1 \]
Berechnen Sie den Grenzwert: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x}{|x|} \]
Die Schritte zur Bestimmung des Grenzwerts sind: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x}{|x|} = \frac{1}{|1|} = 1 \]
Bestimmen Sie den Grenzwert: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x}{|x|} \]
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x}{|x|} = \frac{0}{|0|} \; \; \text{unbestimmte Form} \]
Zur Erinnerung:
\( | x | = x \) für \( x \ge 0 \) und \( | x | = - x \) für \( x \lt 0 \)
Berechnen wir den linksseitigen Grenzwert von \( x = 0 \), wo \( x \lt 0 \) und daher \( | x | = - x \) gilt: \[ \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{- x} = \lim_{x \to 0^-} - 1 = -1 \]
Berechnen wir den rechtsseitigen Grenzwert von \( x = 0 \), wo \( x \gt 0 \) und daher \( | x | = x \) gilt: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0^+} 1 =1 \]
Die links- und rechtsseitigen Grenzwerte von x = 0 sind nicht gleich, daher \[ \lim_{x \to 0} \frac{x}{|x|} \; \; \text{existiert nicht} \]
Der Graph von f(x) = x / |x| ist unten dargestellt, und wir sehen deutlich, dass die Grenzwerte von links und rechts von 0 nicht gleich sind.
Berechnen Sie den Grenzwert: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{|x|} \]
Wenn \( x \) unbegrenzt zunimmt, ist \( x \gt 0 \) und daher \( |x| = x \).
Daher
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} = \lim_{x \to \infty} 1 = 1
\]
Bestimmen Sie den Grenzwert: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{|x|} \]
Wenn \( x \) unbegrenzt abnimmt, ist \( x \lt 0 \) und daher \( |x| = - x \).
Daher
\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{ - x} = \lim_{x \to -\infty} - 1 = - 1
\]
Existiert der Grenzwert \[ \lim_{x \to - 2} \frac{|x + 2|}{x + 2} \]?
\[ \lim_{x \to - 2} \frac{|x + 2|}{x + 2} = \lim_{x \to - 2} \frac{|- 2 + 2|}{- 2 + 2} = \dfrac{0}{0} \;\; \text{unbestimmt} \]
Berechnen wir den linksseitigen Grenzwert von \( -2 \) (wo \( x \le -2 \)) und den rechtsseitigen Grenzwert von \( -2 \) (wo \( x \ge -2 \)) getrennt.
Zur Erinnerung:
Wenn \( x + 2 \ge 0 \) oder \( x \ge -2 \), dann
\[
|x + 2| = x + 2
\]
und
Wenn \( x + 2 \le 0 \) oder \( x \le -2 \), dann
\[
|x + 2| = - (x + 2)
\]
Berechnen wir den linksseitigen Grenzwert von \( x = - 2\): \[ \lim_{x \to - 2^-} \frac{|x + 2|}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} \frac{-(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} - 1 = -1 \]
Berechnen wir den rechtsseitigen Grenzwert von \( x = - 2 \): \[ \lim_{x \to - 2^+} \frac{|x + 2|}{x + 2} = \lim_{x \to - 2^+} \frac{x + 2}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} 1 = 1 \]
Die links- und rechtsseitigen Grenzwerte von \( x = - 2 \) sind nicht gleich, daher \[ \lim_{x \to - 2} \frac{|x + 2|}{x + 2} \; \; \text{existiert nicht} \]
Bestimmen Sie den Grenzwert: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2+2x-3}{|x - 1|} \]
\[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2+2x-3}{|x - 1|} = \frac{(1)^2+2(1)-3}{|(1) - 1|} = \dfrac{0}{0} \; \; \text{unbestimmt} \]
Bei \( x = 1 \) sind sowohl Zähler als auch Nenner gleich Null; sie haben daher einen gemeinsamen Faktor \( x - 1 \). Wir faktorisieren den Zähler. \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2+2x-3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+3)}{|x - 1|} \]
Zur Erinnerung: \[ | x - 1 | = x - 1 \quad \text{für} \quad x - 1 \ge 0 \quad \text{oder} \quad x \ge 1 \] und \[ | x - 1 | = - (x - 1) \quad \text{für} \quad x - 1 \le 0 \quad \text{oder} \quad x \le 1 \]
Berechnen wir den linksseitigen Grenzwert von \( x = 1 \): \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2+2x-3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1^-} \frac{(x-1)(x+3)}{-(x-1)} = \lim_{x \to 1^-} - (x + 3) = - 4 \]
Berechnen wir den rechtsseitigen Grenzwert von \( x = 1 \): \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2+2x-3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x+3)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} (x + 3) = 4 \]
Die links- und rechtsseitigen Grenzwerte sind nicht gleich, daher \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2+2x-3}{|x - 1|} \; \; \text{existiert nicht} \]
Der Graph von \( f(x) =\dfrac{x^2 + 2 x - 3}{|x - 1|} \) ist unten dargestellt, und wir sehen deutlich, dass die Grenzwerte von links und rechts von 1 nicht gleich sind.
Berechnen Sie den Grenzwert: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+5x+7}{|x + 2|} \]
Wenn \( x \) unbegrenzt zunimmt, nimmt \( x + 2 \) ebenfalls unbegrenzt zu und daher ist \( x + 2 \ge 0 \), folglich \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+5x+7}{|x + 2|} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+5x+7}{x + 2} = + \infty \]
Bestimmen Sie den Grenzwert: \[ \lim_{x \to - \infty} \frac{x^2+5x+7}{|x + 2|} \]
Wenn \( x \) unbegrenzt abnimmt, nimmt \( x + 2\) ebenfalls unbegrenzt ab und daher ist \( x + 2 \le 0 \), folglich \[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2+5x+7}{|x + 2|} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+5x+7}{-(x + 2)} = + \infty \]
Der Graph von \( f(x) = \dfrac{x^2+5x+7}{|x + 2|} \) ist unten dargestellt, und wir sehen deutlich, dass \( y = f(x) \) unbegrenzt zunimmt, wenn x unbegrenzt zunimmt und auch wenn \( x \) unbegrenzt abnimmt.
Bestimmen Sie die Grenzwerte
1) \(
\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{|x|}
\)
2) \(
\lim_{x \to - 6^-} \frac{-(x + 6)}{|x + 6|}
\)
3) \(
\lim_{x \to - 6^+} \frac{-(x + 6)}{|x + 6|}
\)
4) \(
\lim_{x \to 3} \frac{x^2-x-6}{|x - 3|}
\)
1) 0
2) 1
3) - 1
4) existiert nicht