Grenzwerte mit Reihen finden
Frage 1
Finden Sie den Grenzwert \[ \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\dfrac12 x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1-x^2}\right)}{x^4} \]
Lösung
Um den Grenzwert \(\lim_{x \to 0}\dfrac{1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right)}{x^4}\) zu finden, verwenden wir Taylorreihenentwicklungen.
Entwickeln Sie das Argument der Kosinusfunktion:
\[
\dfrac{x}{1 - x^2} = x \left(1 + x^2 + x^4 + \cdots \right) = x + x^3 + x^5 + \cdots
\]
Für kleine \(x\) approximieren wir dies als \(\theta = x + x^3\).
Entwickeln Sie \(\cos(\theta)\) mit der Taylorreihe:
\[
\cos(\theta) = \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{\theta^2}{2} + \dfrac{\theta^4}{24} - \cdots
\]
Berechnen Sie \(\theta^2\) und \(\theta^4\) bis zu \(x^4\)-Termen:
\[
\theta^2 = (x + x^3)^2 = x^2 + 2x^4 + \cdots
\]
\[
\theta^4 = (x + x^3)^4 = x^4 + \cdots
\]
Setzen Sie diese in die Kosinusentwicklung ein:
\[
\cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{x^2 + 2x^4}{2} + \dfrac{x^4}{24} = 1 - \dfrac{x^2}{2} - x^4 + \dfrac{x^4}{24}
\]
Vereinfachen Sie die Terme:
\[
\cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{23x^4}{24}
\]
Setzen Sie dies wieder in den Zähler des ursprünglichen Ausdrucks ein:
\[
1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right) \approx 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \left(1 - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{23x^4}{24}\right)
\]
und vereinfachen Sie ihn
\[
1 - \dfrac{1}{2}x^2 - 1 + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{23x^4}{24} = \dfrac{23x^4}{24}
\]
Teilen Sie den vereinfachten Zähler durch den Nenner \(x^4\) und vereinfachen Sie:
\[
\dfrac{\dfrac{23x^4}{24}}{x^4} = \dfrac{23}{24}
\]
Somit ist der Grenzwert \[ \boxed{ \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\dfrac12 x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1-x^2}\right)}{x^4} = \dfrac{23}{24}}\].
Frage 2
Finden Sie den Grenzwert
\[ \lim_{x\to 0} \left(\dfrac 1{\sin^2 x} + \dfrac 1{\tan^2x} -\dfrac 2{x^2} \right) \]
Lösung
Um den Grenzwert \(\lim_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{1}{\tan^2 x} - \dfrac{2}{x^2} \right)\) zu finden, beginnen wir mit der Verwendung trigonometrischer Identitäten und Taylorreihenentwicklungen.
Schreiben Sie den Ausdruck mit trigonometrischen Identitäten um:
\[
\dfrac{1}{\tan^2 x} = \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}
\]
Somit wird der Ausdruck zu:
\[
\dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{1 + \cos^2 x}{\sin^2 x} - \dfrac{2}{x^2}
\]
Entwickeln Sie \(\cos x\) und \(\sin x\) mit Taylorreihen:
\[
\cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}
\]
\[
\sin x \approx x - \dfrac{x^3}{6}
\]
Quadrieren der obigen Entwicklungen:
\[
\cos^2 x \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\right)^2 \approx 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}
\]
\[
\sin^2 x \approx \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^2 \approx x^2 - \dfrac{x^4}{3}
\]
Setzen Sie diese Entwicklungen in den Ausdruck ein:
\[
1 + \cos^2 x \approx 2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}
\]
\[
\dfrac{1 + \cos^2 x}{\sin^2 x} \approx \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 - \dfrac{x^4}{3}} = \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 \left(1 - \dfrac{x^2}{3}\right)}
\]
Vereinfachen:
\[
\dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 \left(1 - \dfrac{x^2}{3}\right)} \approx \left( \dfrac{2}{x^2} - 1 + \dfrac{x^2}{3} \right) \left( 1 + \dfrac{x^2}{3} \right)
\]
Ausmultiplizieren und vereinfachen:
\[
\approx \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9}
\]
Subtrahieren Sie \(\dfrac{2}{x^2}\) von dem Ergebnis:
\[
\left( \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \right) - \dfrac{2}{x^2} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9}
\]
Bilden Sie den Grenzwert für \(x \to 0\):
\[
\lim_{x \to 0} \left( -\dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \right) = -\dfrac{1}{3}
\]
Somit ist der Grenzwert \[ \boxed{\lim_{x\to 0} \left(\dfrac 1{\sin^2 x} + \dfrac 1{\tan^2x} -\dfrac 2{x^2} \right) = -\dfrac{1}{3}} \].
Frage 3
Finden Sie den Grenzwert
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))} \]
Lösung
Um den Grenzwert \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))}\) zu finden, verwenden wir Taylorreihenentwicklungen:
Entwickeln Sie den Zähler mit Taylorreihen:
\[
\pi \sin x \approx \pi\left(x - \dfrac{x^3}{6}\right), \quad \sin(\pi x) \approx \pi x - \dfrac{(\pi x)^3}{6}
\]
Subtrahieren dieser:
\[
\pi \sin x - \sin(\pi x) \approx \dfrac{\pi(\pi^2 - 1)x^3}{6}
\]
Entwickeln Sie die Ausdrücke in Klammern im Nenner mit Taylorreihen:
\[
\cos x - \cos(\pi x) \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right) - \left(1 - \dfrac{(\pi x)^2}{2}\right) = \dfrac{(\pi^2 - 1)x^2}{2}
\]
Multiplizieren Sie mit \(x\), um den gesamten Nenner zu erhalten:
\[
x(\cos x - \cos(\pi x)) \approx \dfrac{(\pi^2 - 1)x^3}{2}
\]
Bilden Sie den Grenzwert:
\[
\dfrac{\dfrac{\pi(\pi^2 - 1)x^3}{6}}{\dfrac{(\pi^2 - 1)x^3}{2}} = \dfrac{\pi}{3}
\]
Somit ist der Grenzwert \[ \boxed{\lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))} = \dfrac{\pi}{3}} \]
Hinweis
Der Grenzwert in Frage 3 könnte auch mit der Regel von L'Hopital gelöst werden, indem man Zähler und Nenner dreimal ableitet.
Frage 4
Finden Sie den Grenzwert
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3} \]
Lösung
Wir werden den Grenzwert \(\lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3}\) mit Taylorreihenentwicklungen finden.
Die Binomialentwicklung für rationale Exponenten ist gegeben durch: \[ (1+\epsilon)^n = 1+n \epsilon + \dfrac{n(n-1)}{2!} \epsilon^2 + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!} \epsilon^3 +... \]
Entwickeln Sie \(\sqrt{x^2 + 1}\) mit der Binomialentwicklung
\[
\sqrt{x^2 + 1} = (1+x^2)^{1/2} = 1 + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{8} + \cdots
\]
Subtrahieren Sie \(x\) und bilden Sie den natürlichen Logarithmus:
\[
\ln(\sqrt{x^2 + 1} - x) = \ln\left(1 - x + \dfrac{x^2}{2} - \cdots\right)
\]
Entwickeln Sie den Logarithmus mit der Taylorreihe:
\[
\ln(1 - x + \dfrac{x^2}{2} - \cdots) \approx -x + \dfrac{x^3}{6} + \cdots
\]
Kombinieren Sie mit dem \(x\)-Term im Zähler:
\[
x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x) \approx x + (-x + \dfrac{x^3}{6}) = \dfrac{x^3}{6}
\]
Teilen Sie den vereinfachten Zähler durch den Nenner \(x^3\):
\[
\dfrac{\dfrac{x^3}{6}}{x^3} = \dfrac{1}{6}
\]
Somit ist der Grenzwert \[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3}= \dfrac{1}{6}}\]
Hinweis
Der Grenzwert in Frage 4 könnte auch mit der Regel von L'Hopital gelöst werden, indem man Zähler und Nenner dreimal ableitet.
Frage 5
Finden Sie den Grenzwert
\[ \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} \]
Lösung
Um den Grenzwert \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}}\) zu finden, gehen wir wie folgt vor:
Sei \( L \) der zu findende Grenzwert:
\[
L = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}}
\]
Ziehen Sie den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten, um den Exponenten zu vereinfachen:
\[
\ln L = \lim_{x \to 0} \ln \left( \dfrac{\sin x}{x}\right)^{\dfrac{1}{x^2}}
\]
Vereinfachen Sie die rechte Seite:
\[
\ln L = \lim_{x \to 0} {\dfrac{1}{x^2}} \ln \left( \dfrac{\sin x}{x}\right)
\]
Entwickeln Sie \(\sin x\) mit der Taylorreihe um \(x = 0\):
\[
\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots \implies \dfrac{\sin x}{x} = 1 - \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} - \cdots
\]
Approximieren Sie den Logarithmus mit \(\ln(1 + y) \approx y - \dfrac{y^2}{2} + \cdots\) für kleine \(y\):
\[
\ln \left( \dfrac{\sin x}{x} \right) \approx \ln \left( 1 - \dfrac{x^2}{6} \right) \approx -\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{180} - \cdots
\]
Setzen Sie die Näherung in den Grenzwert ein:
\[
\ln L = \lim_{x \to 0} \dfrac{-\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{180} - \cdots}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( -\dfrac{1}{6} - \dfrac{x^2}{180} - \cdots \right) = -\dfrac{1}{6}
\]
Potenzieren Sie das Ergebnis, um nach \(L\) aufzulösen:
\[
L = e^{-\dfrac{1}{6}}
\]
und schließlich
\[
\boxed{ L = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} = e^{-\dfrac{1}{6}} }
\]
Frage 6
Finden Sie den Grenzwert
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} \]
Lösung
Um den Grenzwert \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4}\) zu finden, verwenden wir Taylorreihenentwicklungen für \(\sin x\) und \(\cos x\).
Taylorreihenentwicklungen:
\(\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \cdots\)
\(\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \cdots\)
Entwickeln Sie \(\cos(\sin x)\) :
Setzen Sie \(\sin x\) in die Taylorreihe für \(\cos \theta\) ein, wobei \(\theta = \sin x\):
\[
\cos(\sin x) = \cos\left(x - \dfrac{x^3}{6} + \cdots\right)
\]
Entwickeln Sie \(\cos(\theta)\) mit \(\theta = x - \dfrac{x^3}{6}\):
\[
\cos(\theta) = 1 - \dfrac{\theta^2}{2} + \dfrac{\theta^4}{24} - \cdots
\]
Berechnen Sie \(\theta^2\) und \(\theta^4\) bis zu \(x^4\)-Termen:
\[
\theta^2 = \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^2 = x^2 - \dfrac{x^4}{3} + \cdots
\]
\[
\theta^4 = \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^4 = x^4 + \cdots
\]
Setzen Sie diese in die Entwicklung von \(\cos(\theta)\) ein:
\[
\cos(\sin x) \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24} + \cdots
\]
Subtrahieren Sie \(\cos x\) von \(\cos(\sin x)\) :
\(\cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + \cdots\)
Subtrahieren Sie die Entwicklungen:
\[
\cos(\sin x) - \cos x \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24}\right) - \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\right) = \dfrac{4x^4}{24} = \dfrac{x^4}{6}
\]
Teilen Sie durch \(x^4\) und bilden Sie den Grenzwert:
\[
\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x^4}{6}}{x^4} = \dfrac{1}{6}
\]
Somit ist der Grenzwert \[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} = \dfrac{1}{6}} \].
Weitere Referenzen und Links