Grenzwerte mit Reihen finden

Um den Grenzwert \( \lim_{x \to 0}\dfrac{1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right)}{x^4} \) zu finden, verwenden wir Taylor-Reihenentwicklungen.

Entwickeln Sie das Argument der Kosinusfunktion:

\[ \dfrac{x}{1 - x^2} = x \left(1 + x^2 + x^4 + \cdots \right) = x + x^3 + x^5 + \cdots \]

Für kleine \( x \) approximieren wir dies als \( \theta = x + x^3 \).

Entwickeln Sie \( \cos(\theta) \) mithilfe der Taylor-Reihe:

\[ \cos(\theta) = \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{\theta^2}{2} + \dfrac{\theta^4}{24} - \cdots \]

Berechnen Sie \( \theta^2 \) und \( \theta^4 \) bis zu Termen der Ordnung \( x^4 \):

\[ \theta^2 = (x + x^3)^2 = x^2 + 2x^4 + \cdots \] \[ \theta^4 = (x + x^3)^4 = x^4 + \cdots \]

Setzen Sie diese in die Kosinusentwicklung ein:

\[ \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{x^2 + 2x^4}{2} + \dfrac{x^4}{24} = 1 - \dfrac{x^2}{2} - x^4 + \dfrac{x^4}{24} \]

Vereinfachen Sie die Terme:

\[ \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{23x^4}{24} \]

Setzen Sie dies wieder in den Zähler des ursprünglichen Ausdrucks ein:

\[ 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right) \approx 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \left(1 - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{23x^4}{24}\right) \]

Vereinfachen Sie:

\[ 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - 1 + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{23x^4}{24} = \dfrac{23x^4}{24} \]

Teilen Sie den vereinfachten Zähler durch den Nenner \( x^4 \) und vereinfachen Sie:

\[ \dfrac{\dfrac{23x^4}{24}}{x^4} = \dfrac{23}{24} \]

Somit ist der Grenzwert:

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0}\dfrac{1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right)}{x^4} = \dfrac{23}{24} } \]

Um den Grenzwert \( \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{1}{\tan^2 x} - \dfrac{2}{x^2} \right) \) zu finden, beginnen wir mit trigonometrischen Identitäten und Taylor-Reihenentwicklungen.

Schreiben Sie den Ausdruck mithilfe trigonometrischer Identitäten um:

\[ \dfrac{1}{\tan^2 x} = \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \]

Somit wird der Ausdruck zu:

\[ \dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{1 + \cos^2 x}{\sin^2 x} - \dfrac{2}{x^2} \]

Entwickeln Sie \( \cos x \) und \( \sin x \) mithilfe von Taylor-Reihen:

\[ \cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \] \[ \sin x \approx x - \dfrac{x^3}{6} \]

Quadrieren Sie die obigen Entwicklungen:

\[ \cos^2 x \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\right)^2 \approx 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{3} \] \[ \sin^2 x \approx \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^2 \approx x^2 - \dfrac{x^4}{3} \]

Setzen Sie diese Entwicklungen in den Ausdruck ein:

\[ 1 + \cos^2 x \approx 2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3} \] \[ \dfrac{1 + \cos^2 x}{\sin^2 x} \approx \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 - \dfrac{x^4}{3}} = \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 \left(1 - \dfrac{x^2}{3}\right)} \]

Vereinfachung:

\[ \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 \left(1 - \dfrac{x^2}{3}\right)} \approx \left( \dfrac{2}{x^2} - 1 + \dfrac{x^2}{3} \right) \left( 1 + \dfrac{x^2}{3} \right) \]

Ausmultiplizieren und Vereinfachen:

\[ \approx \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \]

Subtrahieren Sie \( \dfrac{2}{x^2} \):

\[ \left( \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \right) - \dfrac{2}{x^2} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \]

Nehmen Sie den Grenzwert für \( x \to 0 \):

\[ \lim_{x \to 0} \left( -\dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \right) = -\dfrac{1}{3} \]

Somit ist der Grenzwert:

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{1}{\tan^2 x} - \dfrac{2}{x^2}\right) = -\dfrac{1}{3} } \]

Um den Grenzwert \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))} \) zu finden, verwenden wir Taylor-Reihenentwicklungen.

Entwickeln Sie den Zähler mithilfe von Taylor-Reihen:

\[ \pi \sin x \approx \pi\left(x - \dfrac{x^3}{6}\right), \quad \sin(\pi x) \approx \pi x - \dfrac{(\pi x)^3}{6} \]

Subtraktion dieser Terme:

\[ \pi \sin x - \sin(\pi x) \approx \dfrac{\pi(\pi^2 - 1)x^3}{6} \]

Entwickeln Sie die Ausdrücke in den Klammern im Nenner mithilfe von Taylor-Reihen:

\[ \cos x - \cos(\pi x) \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right) - \left(1 - \dfrac{(\pi x)^2}{2}\right) = \dfrac{(\pi^2 - 1)x^2}{2} \]

Multiplizieren Sie mit \( x \), um den gesamten Nenner zu erhalten:

\[ x(\cos x - \cos(\pi x)) \approx \dfrac{(\pi^2 - 1)x^3}{2} \]

Bilden Sie das Grenzwertverhältnis:

\[ \dfrac{\dfrac{\pi(\pi^2 - 1)x^3}{6}}{\dfrac{(\pi^2 - 1)x^3}{2}} = \dfrac{\pi}{3} \]

Somit ist der Grenzwert:

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))} = \dfrac{\pi}{3} } \]

Hinweis: Dieser Grenzwert könnte auch mithilfe der Regel von L'Hôpital gelöst werden, indem Zähler und Nenner dreimal differenziert werden.

Wir bestimmen den Grenzwert \( \lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3} \) mithilfe von Taylor-Reihenentwicklungen.

Die Binomialreihe für rationale Exponenten ist gegeben durch:

\[ (1 + \epsilon)^n = 1 + n\epsilon + \dfrac{n(n-1)}{2!} \epsilon^2 + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!} \epsilon^3 + \cdots \]

Entwickeln Sie \( \sqrt{x^2 + 1} \) mithilfe des Binomialsatzes:

\[ \sqrt{x^2 + 1} = (1 + x^2)^{1/2} = 1 + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{8} + \cdots \]

Subtrahieren Sie \( x \) und nehmen Sie den natürlichen Logarithmus:

\[ \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x) = \ln\left(1 - x + \dfrac{x^2}{2} - \cdots\right) \]

Entwickeln Sie den Logarithmus mithilfe der Taylor-Reihe:

\[ \ln\left(1 - x + \dfrac{x^2}{2} - \cdots\right) \approx -x + \dfrac{x^3}{6} + \cdots \]

Kombinieren Sie dies mit dem \( x \)-Term im Zähler:

\[ x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x) \approx x + \left(-x + \dfrac{x^3}{6}\right) = \dfrac{x^3}{6} \]

Teilen Sie den vereinfachten Zähler durch den Nenner \( x^3 \):

\[ \dfrac{\dfrac{x^3}{6}}{x^3} = \dfrac{1}{6} \]

Somit ist der Grenzwert:

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3} = \dfrac{1}{6} } \]

Hinweis: Dieser Grenzwert könnte auch mithilfe der Regel von L'Hôpital gelöst werden, indem Zähler und Nenner dreimal differenziert werden.

Um den Grenzwert \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} \) zu finden, gehen wir wie folgt vor:

Sei \( L \) der zu findende Grenzwert:

\[ L = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} \]

Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten, um den Exponenten zu vereinfachen:

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \ln \left( \dfrac{\sin x}{x}\right)^{\dfrac{1}{x^2}} \]

Vereinfachen Sie die rechte Seite:

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} \ln \left( \dfrac{\sin x}{x}\right) \]

Entwickeln Sie \( \sin x \) mithilfe der Taylor-Reihe um \( x = 0 \):

\[ \sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots \implies \dfrac{\sin x}{x} = 1 - \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} - \cdots \]

Approximieren Sie den Logarithmus für kleine \( y \) durch \( \ln(1 + y) \approx y - \dfrac{y^2}{2} + \cdots \):

\[ \ln \left( \dfrac{\sin x}{x} \right) \approx \ln \left( 1 - \dfrac{x^2}{6} \right) \approx -\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{180} - \cdots \]

Setzen Sie die Approximation in den Grenzwert ein:

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \dfrac{-\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{180} - \cdots}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( -\dfrac{1}{6} - \dfrac{x^2}{180} - \cdots \right) = -\dfrac{1}{6} \]

Wenden Sie die Exponentialfunktion auf das Ergebnis an, um nach \( L \) aufzulösen:

\[ L = e^{-\dfrac{1}{6}} \]

Und schließlich:

\[ \boxed{ L = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} = e^{-\dfrac{1}{6}} } \]

Um den Grenzwert \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} \) zu finden, verwenden wir Taylor-Reihenentwicklungen für \( \sin x \) und \( \cos x \).

Taylor-Reihenentwicklungen:

\[ \sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \cdots \] \[ \cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \cdots \]

Entwickeln Sie \( \cos(\sin x) \):

Setzen Sie \( \sin x \) in die Taylor-Reihe für \( \cos(\theta) \) ein, wobei \( \theta = \sin x \) ist:

\[ \cos(\sin x) = \cos\left(x - \dfrac{x^3}{6} + \cdots\right) \]

Entwickeln Sie \( \cos(\theta) \) mit \( \theta = x - \dfrac{x^3}{6} \):

\[ \cos(\theta) = 1 - \dfrac{\theta^2}{2} + \dfrac{\theta^4}{24} - \cdots \]

Berechnen Sie \( \theta^2 \) und \( \theta^4 \) bis zu Termen der Ordnung \( x^4 \):

\[ \theta^2 = \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^2 = x^2 - \dfrac{x^4}{3} + \cdots \] \[ \theta^4 = \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^4 = x^4 + \cdots \]

Setzen Sie diese in die Entwicklung von \( \cos(\theta) \) ein:

\[ \cos(\sin x) \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24} + \cdots \]

Subtrahieren Sie \( \cos x \) von \( \cos(\sin x) \):

\[ \cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + \cdots \]

Subtrahieren Sie die Entwicklungen:

\[ \cos(\sin x) - \cos x \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24}\right) - \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\right) = \dfrac{4x^4}{24} = \dfrac{x^4}{6} \]

Teilen Sie durch \( x^4 \) und bestimmen Sie den Grenzwert:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x^4}{6}}{x^4} = \dfrac{1}{6} \]

Somit ist der Grenzwert:

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} = \dfrac{1}{6} } \]