Quoziente di differenza (Difference quotient)
Qual è il quoziente di differenza nel calcolo infinitesimale?
Iniziamo con la definizione e poi calcoliamo il quoziente di differenza per diverse funzioni come esempi con spiegazioni dettagliate.
Tieni presente che è incluso un calcolatore del quoziente di differenza che può essere utilizzato per verificare i risultati e generare ulteriori pratica.
Definizione di quoziente di differenza (Definition of Difference Quotient)
Sia \( f \) una funzione il cui grafico è mostrato di seguito.
A e B sono punti sul grafico di \( f\). Una linea che passa per i due punti \( A ( x , f(x)) \) e \( B (x+h , f(x+h)) \) è chiamata retta secante. La pendenza \( m \) della linea secante può essere calcolata come segue:
\[ m = \dfrac{f (x + h) - f(x)}{(x + h) - x} \]
Semplificare il denominatore da ottenere
\[ m = \dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} \]
La pendenza \( m \) è chiamata quoziente di differenza . È un concetto molto importante nel calcolo infinitesimale dove viene utilizzato per definire la derivata di una funzione \( f \) che di fatto definisce la variazione locale di una funzione in matematica.
Esempi con soluzioni
Negli esempi seguenti, calcoliamo e semplifichiamo i quozienti di differenza di diverse funzioni.
Esempio 1
Trova la differenza quoziente della funzione \( f \) definita da \[f(x) = 2x + 5\]
Soluzione dell'Esempio 1
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Dobbiamo prima calcolare \( f(x + h) \).
\( f(x + h) = 2(x + h) + 5 \)
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Sostituiamo ora \( f(x + h) \) e \( f(x) \) nella definizione del quoziente differenziale con le loro espressioni
\( \dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h) + 5 - (2 x + 5) }{h} \) -
Semplifichiamo l'espressione precedente.
\( = \dfrac{2h}{2} = 2 \) -
La risposta è 2 quale è anche la pendenza della retta definita dalla funzione \( f \), perché?
Esempio 2
Trova la differenza quoziente della seguente funzione\[ f(x) = 2x^2 + x - 2 \]
Soluzione dell'Esempio 2
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Per prima cosa calcoliamo \( f(x + h) \).
\( f(x + h) = 2(x + h)^2 + (x + h) - 2 \) -
Ora sostituiamo \( f(x + h) \) e \( f(x) \) nel quoziente differenza
\( \dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{ 2(x + h)^2 + (x + h) - 2 - ( 2 x^2 + x - 2 )}{h} \) -
Espandiamo le espressioni al numeratore e raggruppiamo termini simili.
\( = \dfrac{ 4 x h + 2 h^2 + h}{h} = 4 x + 2 h +1 \)
Esempio 3
Trova la differenza quoziente della funzione \( f \) data da \[ f(x) = \peccato x \] e scrivi il risultato come prodotto.
Soluzione dell'esempio 3
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Per prima cosa calcoliamo \( f(x + h) \).
\( f(x + h) = \sin (x + h) \)
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Sostituiamo ora \( f(x + h) \) e \( f(x) \) nel quoziente differenza
\( \dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{ \sin (x + h) - \sin x}{h} \) -
Utilizziamo la formula trigonometrica che trasforma una differenza \( \ quad \sin (x + h) - \sin x \quad \) in un prodotto.
\( \sin (x + h) - \sin x = 2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2) \)
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Sostituiamo l'espressione sopra con \( sin (x + h) - sin x \) nel quoziente di differenza sopra da ottenere.
\( \dfrac{f (x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{ 2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h} \)
Altri riferimenti e collegamenti
Calcolatore del quoziente di differenzadifferenziazione e derivate
Quoziente di differenza
