Viene presentato passo passo il calcolatore del metodo di Newton .
Il metodo di Newton per approssimare la soluzione di un'equazione \( f(x) = 0 \) è un processo iterativo numerico scritto come
\( x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)} {f '(x_n) }\) per \( n = 0,1,2,3,... \)
e quindi partendo da un valore iniziale \( x_0 \) , calcoliamo \( x_1 \) utilizzando il processo precedente, quindi utilizziamo \( x_1 \) per calcolare \( x_2 \) e così via.
Il processo viene continuato fino ad ottenere la convergenza della soluzione.
Esempio
Sia \( \quad x^3 = \ln(x) + 2 \quad \) un'equazione da risolvere.
Questa equazione non può essere risolta analiticamente e quindi possiamo usare il metodo di Newton per trovare una soluzione approssimata.
Il primo passo è scrivere l'equazione con il lato destro uguale a zero come segue.
\(x^3 - \ln(x) - 2 = 0 \)
e che scrivi \( f(x) = x^3 - \ln(x) - 2 \)
che devi inserire nel calcolatore sottostante.
Hai anche la possibilità di selezionare un valore iniziale \( x_0 \) vicino alla soluzione approssimativa e anche il numero di iterazioni necessarie.
Nota questo
1) per equazioni con molte soluzioni come \( \sin(x) + 1/x \), tutto dipende dal valore iniziale \( x_0 \) che assegni. Di solito fornirà la soluzione approssimata più vicina a \( X_0 \).
2) il metodo non funziona se a un certo punto del processo di iterazione, \( x_n \) è al di fuori del dominio di \( f(x) \) o \( f'(x) \) o se \( f'( x) = 0\). Potrebbe essere possibile modificare semplicemente il valore iniziale \( x_0 \) per ottenere un'approssimazione alla soluzione.
3) Potresti voler rappresentare graficamente \( f(x) \) per avere graficamente un valore iniziale \( x_0 \) migliore da utilizzare nella calcolatrice.
1 - Inserisci e modifica la funzione \( f(x) \) e fai clic su "Inserisci funzione", quindi controlla cosa hai inserito. Immettere il valore iniziale \( x_0 \) che dovrebbe essere il più vicino possibile alla soluzione cercata.
2 - Fare clic su "Calcola".
3 - L'output include la derivata \( f'(x) \) e i valori numerici di \( x_n \), \( f(x_n) \) e \( f'(x_n) \)
Notare che
Nota questo
1) i cinque operatori utilizzati sono: + (più) , - (meno), / (divisione) , ^ (potenza) e * (moltiplicazione). (esempio: f(x) = x^3 - 1/x. (ulteriori note sulle funzioni di modifica si trovano di seguito)
2) il logaritmo naturale \( \ln(x) \) viene inserito come log(x) , l'esponenziale naturale \( e^x \) come esp(x) .
3) una funzione \( f(x) \) elevata a una certa potenza \(n\) viene inserita come: \( (f(x))^n \). Esempio: \( \sin^2(2x-1) \) viene inserito come (peccato(2x-1))^2.
4) le frazioni vengono inserite come numeri decimali. L'esempio 1/2 viene inserito come 0,5.
Note: nelle funzioni di modifica, utilizzare quanto segue:
1 - I cinque operatori utilizzati sono: + (più) , - (meno), / (divisione) , ^ (potenza) e * (moltiplicazione). (esempio: f(x) = x^2-1/(2x)-log(x) )
2 - La funzione radice quadrata è scritta come (sqrt). (esempio: sqrt(x^2-1) per \( \sqrt {x^2 - 1} \) )
3 - La funzione esponenziale è scritta come exp(x). (Esempio: exp(x+2) per \( e^{x+2} \) )
4 - La funzione log base e è scritta come log(x). (Esempio: log(x^2-2) per \( \ln(x^2 - 2 \) )
Ecco alcuni esempi di funzioni che puoi copiare e incollare per esercitarti:
sqrt(x^3+1) - log(x) - 2 exp(x^2+1) + 2 x - 4 x^2+log(2*x + 2) (x+2)^2(x^2+1)-1
