Metodo di Newton per trovare gli zeri di una funzione (Newton's Method to Find Zeros of a Function)
Il metodo di Newton è un esempio di come il primo derivativo viene utilizzato per trovare zeri di funzioni e risolvere numericamente equazioni. Vengono presentati esempi con soluzioni dettagliate su come utilizzare il metodo di Newton.
Un calcolatore del metodo di Newton online
può essere utilizzato per verificare i risultati.
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Il metodo di Newton (Newton's method)
Il metodo di Newton o metodo di Newton-Raphson è una procedura utilizzata per generare approssimazioni successive allo zero della funzione f come segue:
\[ x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]
per \( n = 0,1,2,3,...\)
Per poter utilizzare il metodo di Newton è necessario ipotizzare una prima approssimazione allo zero della funzione e poi utilizzare la procedura sopra descritta. Di seguito ti mostriamo come utilizzare questo metodo per trovare buone approssimazioni allo zero di una funzione o soluzione di un'equazione.
Il metodo di Newton può essere facilmente programmato, utilizzando quasi tutti i linguaggi di programmazione con funzioni matematiche, per risolvere numericamente equazioni complicate.
Esempio 1
Utilizzare il metodo di Newton per approssimare lo zero più grande della funzione f dato da
\[ f(x) = x^2 + 3x + 1 \]
Soluzione dell'Esempio 1
La funzione data è quadratica e possiamo facilmente trovare i suoi zeri utilizzando le formule quadratiche. Partiamo comunque da questo esempio per poter confrontare lo zero trovato con il metodo di Newton con quello ottenuto con le formule quadratiche.
Come utilizzare il metodo di Newton per trovare lo zero più grande di f?
Innanzitutto dobbiamo trovare una buona approssimazione allo zero. Questo può essere fatto graficamente. Il grafico di f qui sotto mostra chiaramente che f ha due zeri, entrambi negativi e il più grande è più vicino allo zero. Possiamo usare zero come valore iniziale nella procedura del metodo di Newton
Calcoliamo ora la derivata prima f '
\[ f '(x) = 2 x + 3 \]
Ora iniziamo la procedura come segue:
Sia \( x_0 = 0 \) . Questo è il valore approssimativo iniziale rispetto allo zero più grande. Potresti decidere di prendere un altro valore purché sia vicino allo zero che stai approssimando.
Ora calcoliamo \( x_1 \) utilizzando la procedura sopra descritta per \( n = 0 \) come segue:
\[ x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f '(x_0)} \]
Sostituisci \( x_0 \) con il suo valore 0 e calcola \( x_1 \) utilizzando la formula sopra indicata
\( x_1 = 0 - \dfrac{f(0)}{f '(0)} \)
Sostituire
\( x_1 = 0 - \dfrac{(0)^2 + 3(0) + 1}{2(0) + 3} \)
Semplificare
\( x_1 = -1/3 \)
Ora calcoliamo nuovamente \( x_2 \) utilizzando la formula sopra
\[ x_2 = x_1 - \dfrac{f(x_1)}{f '(x_1)} \]
Sostituisci e semplifica
\( x_2 = -1/3 - \dfrac{f(-1/3)}{f '(-1/3)} \approx -0,38095238 \)
Ora calcoliamo \( x_3 \) come segue, utilizzando nuovamente la formula sopra
\[ x_3 = x_2 -\dfrac{f(x_2)}{f '(x_2)} \]
Sostitutivo e approssimativo
\( x_3 \approx -0,38196555 \)
Proseguire con la procedura per trovare
\( x_4 \approx -0,38196601 \)
\( x_5 \approx -0,38196601 \)
Poiché \( x_5 \) e \( x_4 \) sono molto vicini, non è necessario continuare poiché non saremo in grado di fare ulteriori progressi nell'approssimazione allo zero.
Notare che gli zeri di \( f(x) = x^2 + 3x + 1 \) possono essere trovati analiticamente risolvendo l'equazione \( x^2 + 3x + 1 = 0 \).
Usando le formule quadratiche, otteniamo due zeri reali:
Ora confrontiamo \( x_5 \) con il valore esatto del più grande dei due zeri che è \( z_2 = \dfrac{-3 + \sqrt 5}{2} \approx - 0,38196601125... \) e possiamo dire che sono uguali fino a 8 cifre decimali. Un altro modo per verificare l'accuratezza della nostra approssimazione è il calcolo
\( f(x_5) \approx 2,8 \; 10^{-9} \)
Poiché \( f(x_5) \) è molto vicino allo zero, \( x_5 \approx -0,38196601 \) è un buon valore approssimato a uno degli zeri di \( f(x) \).
Nota: Abbiamo iniziato con l'esempio 1 in cui gli zeri sono stati ottenuti utilizzando metodi analitici e questo era solo per confronto. Il metodo di Newton viene utilizzato principalmente per risolvere equazioni senza soluzioni analitiche come vedremo negli esempi 2 e 3.
Esempio 2
Utilizza il metodo di Newton per risolvere la seguente equazione
\[ e^{x-3} = - x + 2 \]
Soluzione dell'Esempio 2
Si noti che la soluzione dell'equazione precedente non può essere trovata analiticamente, da qui l'uso del metodo di Newton.
Per prima cosa scriviamo l'equazione con il lato destro uguale a zero.
\( e^{x-3} + x - 2 = 0 \)
La soluzione dell'equazione data è uguale allo zero della funzione \( f(x) = e^{x-3} + x - 2\).
Calcola la derivata prima \( f ' \).
\[ f '(x) = e^{x-3} + 1 \]
Di seguito è riportato il grafico di \( f \) e si può facilmente vedere che lo zero di \( f \) è più vicino a \( 2 \) da qui la scelta di \( x_0 = 2 \) come valore iniziale.
Sia \( x_0 = 2\) e calcoliamo \( x_1 \)
\( x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f '(x_0)} \)
Sostituire
\( x_1 = 2 - \dfrac{e^{2 - 3} + 2 - 2}{e^{2 - 3} + 1} \)
Usa una calcolatrice e fai una stima approssimativa
\( x_1 \approx 1,73105857... \)
Continuiamo ora il processo per calcolare più valori che si avvicinano allo zero di \( f \).
\( x_2 = 1,72154537... \)
\( x_3 = 1,72153545... \)
\( x_4 = 1,72153545... \)
Ora che \( x_4 \) e \( x_3 \) sono uguali fino a 8 cifre decimali e abbiamo raggiunto il limite di precisione della nostra calcolatrice. Come controllo finale calcoliamo
\[ f(x_4) \approx -9,3 \; 10^{-9} \]
e calcola anche i lati sinistro e destro dell'equazione data \( e^{x-3} = - x + 2 \) in \( x_4 \) per dimostrare che sono molto vicini.
Lato sinistro: \( \quad e^{x_4 - 3} \approx 0,278464540... \)
Lato destro: \( \quad - x_4 + 2 \approx 0,278464550... \)
Possiamo dire che \( x_4 = 1,72153545 \) è una buona approssimazione alla soluzione dell'equazione data.
Esempio 3
Utilizza il metodo di Newton per approssimare \( \sqrt[3] 5 \).
Soluzione dell'Esempio 3
\( \sqrt[3] 5 \) è la soluzione dell'equazione
\( x = \sqrt[3] 5 \)
Eleva i due lati dell'equazione a potenza 3 per ottenere l'equazione
\( x^3 = 5 \)
che può essere scritto
\( f(x) = x^3 - 5 = 0 \)
Il grafico di \( f \) qui sotto mostra che c'è uno zero vicino a \( 2 \) e possiamo usarlo come valore iniziale.
La derivata prima di \( f \) è data da
\( f '(x) = 3 x^2 \)
Ora lasciamo che \( x_0 = 2 \) calcoliamo \( x_1 \)
\( x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f '(x_0)} \)
Sostituisci e calcola
\( x_1 = 2 - \dfrac{f(2)}{f '(2)} = 2 - \dfrac{2^3-5}{3 \; 2^2} = 1.75 \)
Calcoliamo più valori che approssimano lo zero di f.
\( x_2 = 1,71088435... \)
\( x_3 = 1,70997642... \)
\( x_4 = 1,70997594... \)
\( x_5 = 1,70997594... \)
\( 1,70997594 \) è una buona approssimazione di \( \sqrt[3] 5 \). Usa la calcolatrice per calcolare \( \sqrt[3] 5 \) e confronta il risultato del calcolo con quello ottenuto utilizzando il metodo di Newton sopra.
Ulteriori informazioni sulle applicazioni della differenziazione
