Reglas Básicas y Propiedades del Álgebra

Enumeramos las reglas y propiedades básicas del álgebra y damos ejemplos de cómo se pueden usar.

Sean \(a\), \(b\) y \(c\) números reales, variables o expresiones algebraicas.

1. Propiedad Conmutativa de la Suma.

\[ a + b = b + a \] Ejemplos:
1. números reales \[ 2 + 3 = 3 + 2 \] 2. expresiones algebraicas \[ x^2 + x = x + x^2 \]

2. Propiedad Conmutativa de la Multiplicación.

\[ a \times b = b \times a \] Ejemplos:
1. Números reales: \[ 5 \times 7 = 7 \times 5 \] 2. Expresiones algebraicas: \[ (x^3 - 2) \times x = x \times (x^3 - 2) \]

3. Propiedad Asociativa de la Suma.

\[ (a + b) + c = a + (b + c) \] Ejemplos:
1. números reales \[ (2 + 3) + 6 = 2 + (3 + 6) \] 2. expresiones algebraicas \[ (x^3 + 2x) + x = x^3 + (2x + x) \]

4. Propiedad Asociativa de la Multiplicación.

\[ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \] Ejemplos:
1. Números reales \[ (7 \times 3) \times 10 = 7 \times (3 \times 10) \] 2. Expresiones algebraicas \[ (x^2 \times 5x) \times x = x^2 \times (5x \times x) \]

5. Propiedades Distributivas de la Suma y la Multiplicación.

\[ a \times (b + c) = a \times b + a \times c \] y \[ (a + b) \times c = a \times c + b \times c \] Ejemplos:
1. Números reales \[ 2 \times (2 + 8) = 2 \times 2 + 2 \times 8 \] \[ (2 + 8) \times 10 = 2 \times 10 + 8 \times 10 \] 2. Expresiones algebraicas \[ x \times (x^4 + x) = x \times x^4 + x \times x \] \[ (x^4 + x) \times x^2 = x^4 \times x^2 + x \times x^2 \]

6. El recíproco de un número distinto de cero.

El recíproco de un número real \(a\) es \[\frac{1}{a}\]. y \[ a \times \left(\frac{1}{a}\right) = 1\] Ejemplos:
El recíproco de \(5\) es \[ \frac{1}{5}\] y \[ 5 \times \left(\frac{1}{5}\right) = 1\].

7. El inverso aditivo de un número.

El inverso aditivo de \(a\) es \[ -a \] y \[ a + (-a) = 0 \] Ejemplos:
el inverso aditivo de \(-6\) es \[ -(-6) = 6 \] y \[ -6 + (6) = 0 \]