Presentamos ejemplos donde las ecuaciones diferenciales son ampliamente aplicadas para modelar fenómenos naturales, sistemas de ingeniería y muchas otras situaciones.
Aplicación 1: Crecimiento Exponencial - Población
Sea \( P(t) \) una cantidad que aumenta con el tiempo \( t \) y la tasa de aumento es proporcional a la misma cantidad \( P \) de la siguiente manera
\[
\frac{dP}{dt} = kP
\]
donde \( \frac{dP}{dt} \) es la primera derivada de \( P \), \( k > 0 \), y \( t \) es el tiempo.
La solución a la ecuación diferencial de primer orden anterior se da por
\[
P(t) = A e^{kt}
\]
donde \( A \) es una constante no igual a 0.
Si \( P = P_0 \) en \( t = 0 \), entonces
\[
P_0 = A e^0
\]
lo que da \( A = P_0 \).
La forma final de la solución se da por
\[
P(t) = P_0 e^{kt}
\]
Suponiendo que \( P_0 \) es positivo y como \( k \) es positivo, \( P(t) \) es un crecimiento exponencial. \( \frac{dP}{dt} = kP \) también se llama un modelo de crecimiento exponencial.
Aplicación 2: Decaimiento Exponencial - Material Radiactivo
Sea \( M(t) \) la cantidad de un producto que disminuye con el tiempo \( t \) y la tasa de disminución es proporcional a la cantidad \( M \) como sigue
\[
\frac{dM}{dt} = -kM
\]
donde \( \frac{dM}{dt} \) es la primera derivada de \( M \), \( k > 0 \), y \( t \) es el tiempo.
Resuelva la ecuación diferencial de primer orden anterior para obtener
\[
M(t) = A e^{-kt}
\]
donde \( A \) es una constante no nula.
Si asumimos que \( M = M_0 \) en \( t = 0 \), entonces
\[
M_0 = A e^0
\]
lo que da \( A = M_0 \).
La solución se puede escribir como sigue
\[
M(t) = M_0 e^{-kt}
\]
Suponiendo que \( M_0 \) es positivo y como \( k \) es positivo, \( M(t) \) es un decaimiento exponencial. \( \frac{dM}{dt} = -kM \) también se llama un modelo de decaimiento exponencial.
Aplicación 3: Objeto en Caída
Se suelta un objeto desde una altura en el tiempo \( t = 0 \). Si \( h(t) \) es la altura del objeto en el tiempo \( t \), \( a(t) \) la aceleración, y \( v(t) \) la velocidad. Las relaciones entre \( a \), \( v \), y \( h \) son las siguientes:
\[
a(t) = \frac{dv}{dt}, \quad v(t) = \frac{dh}{dt}.
\]
Para un objeto en caída, \( a(t) \) es constante y es igual a \( g = -9.8 \, \text{m/s}^2 \).
Combinando las ecuaciones diferenciales anteriores, podemos deducir fácilmente la siguiente ecuación
\[
\frac{d^2h}{dt^2} = g
\]
Integre ambos lados de la ecuación anterior para obtener
\[
\frac{dh}{dt} = gt + v_0
\]
Integre una vez más para obtener
\[
h(t) = \frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0
\]
La ecuación anterior describe la altura de un objeto en caída, desde una altura inicial \( h_0 \) a una velocidad inicial \( v_0 \), como función del tiempo.
Aplicación 4: Ley del Enfriamiento de Newton
Es un modelo que describe, matemáticamente, el cambio de temperatura de un objeto en un entorno dado. La ley establece que la tasa de cambio (en el tiempo) de la temperatura es proporcional a la diferencia entre la temperatura \( T \) del objeto y la temperatura \( T_e \) del entorno que rodea al objeto.
\[
\frac{dT}{dt} = -k(T - T_e)
\]
Sea \( x = T - T_e \) para que \( \frac{dx}{dt} = \frac{dT}{dt} \).
Usando el cambio de variable anterior, la ecuación diferencial anterior se convierte en
\[
\frac{dx}{dt} = -kx
\]
La solución a la ecuación diferencial anterior se da por
\[
x = A e^{-kt}
\]
sustituir \( x \) por \( T - T_e \)
\[
T - T_e = A e^{-kt}
\]
Supongamos que en \( t = 0 \) la temperatura \( T = T_0 \)
\[
T_0 - T_e = A e^0
\]
lo que da \( A = T_0 - T_e \)
La expresión final para \( T(t) \) se da por
\[
T(t) = T_e + (T_0 - T_e)e^{-kt}
\]
Esta última expresión muestra cómo cambia la temperatura \( T \) del objeto con el tiempo.
Aplicación 5: Circuito RL
Consideremos el circuito RL (resistor R e inductor L) mostrado arriba. En \( t = 0 \), el interruptor está cerrado y la corriente pasa a través del circuito. Las leyes de la electricidad establecen que el voltaje a través de un resistor de resistencia \( R \) es igual a \( R i \), y el voltaje a través de un inductor \( L \) es igual a \( L \frac{di}{dt} \) (donde \( i \) es la corriente). Otra ley da una ecuación que relaciona todos los voltajes en el circuito anterior como sigue:
\[
L \frac{di}{dt} + Ri = E, \quad \text{donde } E \text{ es un voltaje constante}.
\]
Resolvamos la ecuación diferencial anterior, que se puede escribir como sigue:
\[
L \frac{\frac{di}{dt}}{E - Ri} = 1
\]
Esto se puede escribir como:
\[
-\frac{L}{R} \frac{-Rdi}{E - Ri} = dt
\]
Integre ambos lados:
\[
-\frac{L}{R} \ln(E - Ri) = t + c, \quad c \text{ constante de integración}.
\]
Encuentre la constante \( c \) estableciendo \( i = 0 \) en \( t = 0 \) (cuando el interruptor está cerrado), lo que da:
\[
c = -\frac{L}{R} \ln(E)
\]
Sustituya \( c \) en la solución:
\[
-\frac{L}{R} \ln(E - Ri) = t - \frac{L}{R} \ln(E)
\]
Esto se puede escribir como:
\[
\frac{L}{R} \ln\left(\frac{E}{E - Ri}\right) = t
\]
Cambie a forma exponencial:
\[
\frac{E}{E - Ri} = e^{t(R/L)}
\]
Resuelva para \( i \) para obtener:
\[
i = \frac{E}{R} \left(1 - e^{-\frac{Rt}{L}}\right)
\]
El modelo inicial para el circuito es una ecuación diferencial que, cuando se resuelve, da una expresión de la corriente en el circuito como función del tiempo.
