Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y una o más de sus derivadas. Si \( y = f(x) \), entonces expresiones como \( y' \), \( y'' \) o derivadas de orden superior pueden aparecer en la ecuación.
El orden de una ecuación diferencial se define como el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación.
a) \( \quad y' = 3x \)
La derivada más alta es \( y' \).
Por lo tanto, esta es una ecuación diferencial de primer orden.
b) \( \quad y'' + y' + y = 3x \)
La derivada más alta es \( y'' \).
Por lo tanto, esta es una ecuación diferencial de segundo orden.
c) \( \quad -2y''' + y'' + y^4 = 3x \)
La derivada más alta es \( y''' \).
Por lo tanto, esta es una ecuación diferencial de tercer orden.
Una función \( y = f(x) \) se llama solución de una ecuación diferencial si, después de sustituir \( y \) y sus derivadas en la ecuación, ambos lados son iguales.
Verificar que
\[ y = Ce^{4x} + e^{3x} \]es una solución de la ecuación diferencial
\[ y' - 4y = -e^{3x} \]Primero, calcular la derivada:
\[ y' = 4Ce^{4x} + 3e^{3x} \]Sustituir \( y \) y \( y' \) en el lado izquierdo:
\[ \begin{aligned} y' - 4y &= 4Ce^{4x} + 3e^{3x} - 4(Ce^{4x} + e^{3x}) \\ &= 4Ce^{4x} + 3e^{3x} - 4Ce^{4x} - 4e^{3x} \\ &= e^{3x}(3 - 4) \\ &= -e^{3x} \end{aligned} \]Esto coincide con el lado derecho de la ecuación diferencial. Por lo tanto, \( y = Ce^{4x} + e^{3x} \) es efectivamente una solución.
La mayoría de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales implican encontrar la función desconocida.
Integrar ambos lados:
\[ \int y' \, dx = \int 2x \, dx \]Esto da:
\[ y + C_1 = x^2 + C_2 \]Combinando las constantes:
\[ y = x^2 + C \]donde \( C = C_2 - C_1 \) es una constante arbitraria.