¿Qué es una ecuación diferencial?
Una ecuación que involucra una o más derivadas de una función desconocida se llama una ecuación diferencial. El orden de la derivada más alta incluida en una ecuación diferencial define el orden de esta ecuación.
\(y = f(x)\) es una solución de una ecuación diferencial si la ecuación se satisface al sustituir \(y\) y sus derivadas en la ecuación diferencial.
Ejemplo 2
Verifique que \(y = Ce^{4x} + e^{3x}\), donde \(C\) es una constante, es una solución de la ecuación diferencial
\[
y' - 4y = -e^{3x}
\]
\(y'\) está dado por
\(y' = 4Ce^{4x} + 3e^{3x}\)
Ahora sustituimos \(y'\) y \(y\) en el lado izquierdo de la ecuación y simplificamos
\(y' - 4y = 4Ce^{4x} + 3e^{3x} - 4(Ce^{4x} + e^{3x})\)
\(= 4Ce^{4x} + 3e^{3x} - 4Ce^{4x} - 4e^{3x}\)
\(= 4Ce^{4x} - 4Ce^{4x} + e^{3x}(3 - 4)\)
\(= -e^{3x}\)
Lo cual es igual al lado izquierdo de la ecuación dada y por lo tanto \(y = Ce^{4x} + e^{3x}\) es una solución de la ecuación diferencial \(y' - 4y = -e^{3x}\).
La mayor parte del trabajo en ecuaciones diferenciales consiste en resolver estas ecuaciones. Por ejemplo, para resolver el siguiente ejemplo diferencial
\[
y' = 2x
\]
Integremos ambos lados de la ecuación dada de la siguiente manera
\br
\[
\int y' \, dx = \int 2x \, dx
\]
lo que da
\(y + C_1 = x^2 + C_2\)
donde \(C_1\) y \(C_2\) son constantes de integración. La solución \(y\) de la ecuación anterior se da por: \(y = x^2 + C\), donde \(C = C_2 - C_1\).
