En cálculo, una ecuación diferencial separable es una ecuación diferencial de primer orden que se puede escribir como
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)} \] que puede escribirse como \[ g(y) \, dy = f(x) \, dx \]Las variables se pueden separar de modo que todos los términos que involucran a \(y\) aparezcan en un lado y todos los términos que involucran a \(x\) en el otro. Estas ecuaciones generalmente se pueden resolver mediante integración directa.
Este tutorial explica el método y proporciona ejemplos resueltos seguidos de ejercicios prácticos.
Resuelve la ecuación diferencial:
\[ \frac{dy}{dx}=3x^2 e^{y} \]Solución:
Separar variables: \[ e^{-y} \, dy = 3x^{2} \, dx \] Integrar ambos lados: \[ \int e^{-y} \, dy = \int 3x^{2} \, dx \] \[ - e^{-y} = x^{3} + C \] Resolver para \(y\): \[ e^{-y} = -x^{3} - C \] \[ -y = \ln(-x^{3} - C) \] \[ y = -\ln(-x^{3} - C) \]Esta es la solución general. Puedes verificarla derivando.
Resuelve la ecuación diferencial:
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{\sin x}{y\cos y} \]Solución:
Separar variables: \[ y\cos y \, dy = \sin x \, dx \] Integrar: \[ \int y\cos y \, dy = \int \sin x \, dx \] Usando integración por partes en el lado izquierdo: \[ y\sin y + \cos y = -\cos x + C \]Esta solución es implícita; no hay una fórmula explícita simple para \(y(x)\).
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales separables:
a) \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = -9x^{2}y^{2}\)
b) \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = -2xe^{y}\)
a) \(\displaystyle y = \frac{1}{3x^{3} + C}\)
b) \(\displaystyle y = -\ln(x^{2} + C)\)