¿Qué son las ecuaciones diferenciales separables y cómo resolverlas?
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Este es un tutorial sobre cómo resolver ecuaciones diferenciales separables de la forma
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{f(x)}{g(y)} \]
Se presentan ejemplos con soluciones detalladas y un conjunto de ejercicios después de los tutoriales. Dependiendo de \( f(x) \) y \( g(y) \), estas ecuaciones pueden resolverse analíticamente.
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1:
Resuelve y encuentra una solución general para la ecuación diferencial.
\[ \dfrac{dy}{dx} = 3e^{y}x^{2} \]
Solución del Ejemplo 1:
Primero reescribimos las ecuaciones dadas en forma diferencial y con variables separadas, las y en un lado y las x en el otro lado de la siguiente manera.
\[ e^{-y} dy = 3x^{2} dx \]
Integramos ambos lados.
\[ \int e^{-y} dy = \int 3x^{2} dx \]
lo que da
\[ -e^{-y} + C_{1} = x^{3} + C_{2} \], \( C_{1} \) y \( C_{2} \) son constantes de integración.
Ahora resolvemos la ecuación anterior para y
\[ -e^{-y} = x^{3} + C_{2} - C_{1} \]
\[ e^{-y} = - x^{3} - C_{2} + C_{1} \]
\[ - y = \ln(- x^{3} - C_{2} + C_{1}) \]
\[ y = -\ln(-x^{3} - C) \], donde \( C = C_{2} - C_{1} \).
Como práctica, verifica que la solución \( y = -\ln(-x^{3} - C) \) obtenida satisface la ecuación diferencial dada arriba.
Ejemplo 2:
Resuelve y encuentra una solución general para la ecuación diferencial.
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sin x}{y\cos y} \]
Solución del Ejemplo 2: Separar variables y escribir en forma diferencial.
\[ y \; \cos y \;dy = \sin x \;dx \]
Integramos ambos lados
\[ \int y\cos y dy = \int \sin x dx \]
El lado izquierdo se puede integrar por partes
\[ y\; \sin y - \int \sin y \; dy = -\cos x \]
\[ y\sin y + \cos y + C_{1} = -\cos x + C_{2} \], \( C_{1} \) y \( C_{2} \) son constantes de integración.
En este caso no hay una fórmula simple para \( y \) como función de \( x \).
\[ y = \dfrac{-\cos x - \cos y + C}{\sin y} \], donde \( C = C_{2} - C_{1} \)
Ejercicios:
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales separables.
a) \( \dfrac{dy}{dx} = -9x^{2}y^{2} \)
b) \( \dfrac{dy}{dx} = -2xe^{y} \)
Soluciones a los ejercicios anteriores
a) \( y = \dfrac{1}{3x^{3} + C} \)
b) \( y = -\ln(x^{2} + C) \)
