Encuentra la primera derivada de \( y = u^v \) mostrando todos los pasos.
Nota que en general, una función de la forma \( y = u^v \), donde \( u \) y \( v \) son funciones, no es ni una función de potencia de la forma \( x^k \) ni una función exponencial de la forma \( b^x \), y por lo tanto las fórmulas comunes de diferenciación pueden no aplicarse. Aquí sugerimos un método para encontrar la primera derivada de una función de la forma \( y = u^v \) donde \( u \) y \( v \) son funciones cuyas derivadas existen.
Dada \[ y = u^v \]
Toma el \( \ln \) de ambos lados de la ecuación anterior
\[ \ln y = \ln (u^v) \]
Usa propiedades de las funciones logarítmicas \( \quad \ln u^v = v \ln u \; \) en el lado derecho de la ecuación anterior y obtén
\[ \ln y = v \ln u \]
Diferencia ambos lados de la ecuación anterior respecto a \( x \), usando regla de la cadena y la regla del producto.
\[ \dfrac{dy}{dx} \dfrac{1}{y} = \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \]
Multiplica ambos lados por \( y \)
\[ \dfrac{dy}{dx} = y \left( \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \right) \]
Sustituye \( y \) por \( u^v \) para obtener la respuesta final
\[ \boxed {\dfrac{dy}{dx} = u^v \left( \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \right) } \]
Encuentra la primera derivada de
