Ejemplo 1
Usa la definición de la derivada para encontrar la derivada de la función \( f \) definida por
\[
f(x) = m x + b
\]
donde \( m \) y \( b \) son constantes.
Solución al Ejemplo 1
Primero necesitamos calcular el cociente diferencial.
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{m(x+h)+b -(mx+b)}{h}
\)
Simplificar
\(
= \dfrac{m h}{h} = m
\)
La derivada \( f '\) está dada por el límite de \( m \) (que es una constante) cuando \( {h\to\ 0} \). Por lo tanto
\(
f'(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to\ 0} m = m
\)
La derivada de una función lineal \( f(x) = m x + b \) es igual a la pendiente \( m \) de su gráfica que es una recta.
Ejemplo 2
Usa la definición para encontrar la derivada de
\[
f(x) = a x^2 + bx + c
\]
Solución al Ejemplo 2
Primero encontramos el cociente diferencial
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{a(x + h)^2 + b(x + h) + c - ( a x^2 + b x + c )}{h}
\)
Expandir las expresiones en el numerador y agrupar términos semejantes.
\(
= \dfrac{a x^2 + 2 a x h + a h^2 + b x + b h + c - a x^2 - b x - c}{h}
\)
Simplificar.
\(
= \dfrac{2 a x h + b h + a h^2}{h} = 2 a x + b + a h
\)
La derivada de \( f(x) = a x^2 + bx + c \) está dada por el límite del cociente diferencial. Por lo tanto
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} (2 a x + b + a h) = 2 a x + b
\)
Ejemplo 3
Encuentra la derivada, usando
la definición, de la función \( f \) dada por
\[ f(x) = \sin x\]
Solución al Ejemplo 3
Primero calculamos el cociente diferencial
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\sin (x + h) - \sin x }{h}
\)
Usa la fórmula trigonométrica para transformar una diferencia sin (x + h) - sin x en el numerador en un producto.
\(
\dfrac{\sin (x + h) - \sin x }{h} = \dfrac{2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h}
\)
Reescribe el cociente diferencial como sigue.
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2}
\)
La derivada está dada por el límite del cociente diferencial. Por lo tanto
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2}
\)
Usa los teoremas del límite del producto de dos funciones para escribir
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2} = \lim_{h\to\ 0} cos [ (2 x + h)/2 ] \times \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\sin (h/2)}{h/2}
\)
Los límites en el producto anterior están dados por
\( \lim_{h\to\ 0} \cos [ (2 x + h)/2 ] = \cos (2 x / 2) = \cos x \)
y
\( \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\sin (h/2)}{h/2} = \lim_{t\to\ 0} \dfrac{\sin (t)}{t} = 1 \)
La derivada de \( f(x) = \sin x \) está dada por el límite del cociente diferencial. Por lo tanto
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \cos x \times 1 = \cos x
\)
Ejemplo 4
Usa la definición para diferenciar
\[ f(x) = \sqrt x \]
Ejemplo 5
Usa la definición para diferenciar
\[ f(x) = \dfrac{1}{x} \]
Solución al Ejemplo 5
El cociente diferencial está dado por
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h}
\)
Iguala las dos expresiones racionales en el numerador al mismo denominador y reescribe lo anterior como.
\(
= \dfrac{\dfrac{x}{x(x+h)} - \dfrac{x+h}{x(x+h)}}{h}
\)
lo que se simplifica a.
\(
= \dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)h}
\)
\(
= \dfrac{-1}{x(x+h)}
\)
La derivada de \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) está dada por el límite del cociente diferencial. Por lo tanto
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{-1}{x(x+h)} = -\dfrac{1}{x^2}
\)