Se presentan ejemplos de las derivadas de las funciones logarítmicas, en cálculo. Se examinan varios ejemplos, con soluciones detalladas, que involucran productos, sumas y cocientes de funciones exponenciales.
Primera Derivada de una Función Logarítmica de cualquier Base
La primera derivada de \( f(x) = \log_b x \) está dada por
\( f '(x) = \dfrac{1}{x \ln b} \)
Nota: si \( f(x) = \ln x \), entonces \( f '(x) = \dfrac{1}{x} \)
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
Encuentra la derivada de \( f(x) = \log_3 x \)
Solución al Ejemplo 1:
Aplica la fórmula anterior para obtener
\( f '(x) = \dfrac{1}{x \ln 3} \)
Ejemplo 2
Encuentra la derivada de \( f(x) = \ln x + 6x^2 \)
Solución al Ejemplo 2:
Sea \( g(x) = \ln x \) y \( h(x) = 6x^2 \), la función \( f \) es la suma de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \). Usa la regla de la suma, \( f '(x) = g '(x) + h '(x) \), para encontrar la derivada de la función \( f \)
\( f '(x) = \dfrac{1}{x} + 12x \)
Ejemplo 3
Encuentra la derivada de \( f(x) = \dfrac{\log_3 x}{1 - x} \)
Solución al Ejemplo 3:
Sea \( g(x) = \log_3 x \) y \( h(x) = 1 - x \), la función \( f \) es el cociente de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Por lo tanto, usamos la regla del cociente, \( f '(x) = \dfrac{(h(x) g '(x) - g(x) h '(x))}{(h(x))^2} \), para encontrar la derivada de la función \( f \).
\( g '(x) = \dfrac{1}{(x \ln 3)} \)
\( h '(x) = -1 \)
\( f '(x) = \dfrac{(1 - x)(\dfrac{1}{(x \ln 3)}) - (\log_3 x)(-1)}{(1 - x)^2} \)
Ejemplo 4
Encuentra la derivada de \( f(x) = \ln(-4x + 1) \)
Solución al Ejemplo 4:
Sea \( u = -4x + 1 \) e \( y = \ln u \), usa la regla de la cadena para encontrar la derivada de la función \( f \) de la siguiente manera.
\( f '(x) = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \)
\( \dfrac{dy}{du} = \dfrac{1}{u} \) y \( \dfrac{du}{dx} = -4 \)
\( f '(x) = \dfrac{1}{u}(-4) = \dfrac{-4}{u} \)
Sustituye \( u = -4x + 1 \) en \( f '(x) \) arriba
\( f '(x) = \dfrac{-4}{(-4x + 1)} \)
Ejercicios
Encuentra la derivada de cada función.
1) \( f(x) = \ln(x^2) \)
2) \( g(x) = \ln x - x^7 \)
3) \( h(x) = \dfrac{\ln x}{(2x - 3)} \)
4) \( j(x) = \ln (x + 3) \ln (x - 1) \)