La conversión de coordenadas rectangulares a polares está dada por
Sustituye lo anterior en la ecuación (I)
Divide todos los términos en la ecuación anterior por
y simplifica
Resuelve para r2
La ecuación de una elipse centrada en el origen se da por
La conversión de coordenadas rectangulares a polares está dada por
Sustituye lo anterior en la ecuación (I)
Divide todos los términos en la ecuación anterior por
y simplifica
Resuelve para r2
El área \( A \) en coordenadas polares encerrada por una curva se da por la fórmula
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} r(\theta)^2 d \theta \]
donde \( r(\theta) \) es la ecuación de la curva en coordenadas polares,
Sustituye \( r^2 \) de la elipse encontrada anteriormente
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} a^2 b^2 \dfrac{\sec^2 \theta}{b^2+a^2\tan^2 \theta} d\theta \qquad (II) \]
Utiliza el método de sustitución trigonométrica que transforma \( \quad a \tan \theta \) en \( b \tan \alpha \quad \) para que el denominador se pueda factorizar y así ocurran más simplificaciones.
Sea \[ b \tan \alpha = a \tan \theta \qquad (III) \]
Diferencia ambos lados de la ecuación anterior con respecto a \( \theta \), usando la regla de la cadena de diferenciación en el lado iz
quierdo,
\[ b \sec^2 \alpha \dfrac{d \alpha}{d \theta } = a \sec^2 \theta \]
lo cual da
\[ \sec^2 \theta d \theta = \dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha \; d \alpha \]
o
\[ d \theta = \dfrac{\dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha}{\sec^2 \theta } \; d \alpha \qquad (IV)\]
Límites de integración
De (III) anteriormente, podemos escribir \( \alpha = \arctan (\dfrac{a}{b} \tan \theta ) \)
Para \( \theta = 0 \) , \( \alpha =0 \)
Para \( \theta = 2\pi \) , \( \alpha = 2\pi \)
Sustituye \( d\theta \) en (IV) y los límites de integración en la integral
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} a^2 b^2 \dfrac{\sec^2 \theta}{b^2+b^2\tan^2 \alpha} \dfrac{\dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha}{\sec^2 \theta } \; d \alpha \]
Factoriza \( b^2 \) en el denominador y lleva todas las constantes fuera de la integral y simplifica
\[ A = \dfrac{ a b}{2} \int_0^{2\pi} \dfrac{1}{1+\tan^2 \alpha} \sec^2 \alpha \; d \alpha \]
Usa la identidad trigonométrica \( 1+1\tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha \) en el denominador y simplifica
\[ A = \dfrac{ a b}{2} \int_0^{2\pi} d \alpha \]
Evalúa la integral
\[ A = \dfrac{ a b}{2} \left[\alpha\right]_0^{2\pi} d \alpha \]
Simplifica
\[ A = a b \pi \]
