Encuentre el área de un círculo usando integrales en cálculo
\( \) \( \)\( \)\( \)Encuentra el área de un círculo de radio \( a \) usando integrales en cálculo.
Problem : Encuentra el área de un círculo con radio \( a \).
Solución al problema:
La ecuación del círculo que se muestra arriba está dada por
El círculo es simétrico con respecto a los ejes x e y, por lo que podemos encontrar el área de un cuarto de círculo y multiplicar por 4 para obtener el área total del círculo.
Resuelva la ecuación anterior para \( y \)
\( y = \pm \sqrt{ a^2 - x^2 } \)
La ecuación del semicírculo superior (y positivo) viene dada por
\( y = \sqrt { a^2 - x^2 } \)
Factorizar \( a^2 \) dentro del radicando
\( y = \sqrt { a^2(1 - x^2/a^2) } \)
Tome \( a^2 \) debajo del radicando y reescriba \( y \) de la siguiente manera
\( y = a \sqrt { 1 - x^2 / a^2 } \)
Usamos integrales para encontrar el área del cuarto superior derecho del círculo de la siguiente manera
(1 / 4) area de circulo = \( \displaystyle \int_0^a a \sqrt{1-x^2/a^2} dx \)
Sustituyamos \( \; x / a \) por \( \; \sin t \) de modo que \( \sin t = x / a \) y \( dx = a \cos t \; dt \; \) y el área está dada por
(1 / 4) area de circulo = \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} a^2 \sqrt{1-\sin^2t} \cos t \; dt\)
Ahora usamos la identidad trigonométrica
\( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \)
lo que da
\( \sqrt{1-\sin^2t} = \cos t \quad \) ya que t varía de 0 a \( \pi/2 \) por lo tanto
(1 / 4) area de circulo = \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} a^2 \cos^2t \; dt\)
Usa la identidad trigonométrica \( \; \cos^2 t = ( \cos 2t + 1 ) / 2 \;\) para linealizar el integrando;
(1 / 4) area de circulo = \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} a^2 ( \cos 2t + 1 ) / 2 \; dt\)
Evaluar la integral
(1 / 4) area de circulo = \( \displaystyle (1/2)a^2 \left[(1/2) \sin 2t + t\right]_0^{\pi/2} \)
Simplificar
(1 / 4) area de circulo = \( (1/4) \pi a^2 \)
El área total del círculo se obtiene multiplicando por 4
area de circulo = \( 4 \times (1/4) \pi a^2 = \pi a^2 \)
Referencias
integrales y sus aplicaciones en cálculo.Ecuación del círculo
Identidades y fórmulas trigonométricas
